文档内容
武汉市部分重点中学 2023—2024 学年度下学期期末联考
高二数学试卷
命审题单位：武钢三中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2024年6月27日下午14：00—16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题
卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为（
）
A. B. C. D.
2.已知随机变量 服从正态分布 ，则 （ ）
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8
3.若函数 在 处取得极值，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.函数 的图象大致为（ ）
A. B.C. D.
5.若函数 的图象与 的图象恰好有四个交点，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
6.设某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ，记 ，若
是唯一的最大值，则 的值为（ ）
A.7 B.7.7 C.8.4 D.9.1
7.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设函数 ，若存在实数 ，使得 ，则 的最
小值为（ ）
A. B.2 C.1 D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法中，正确的命题是（ ）
A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于1
B.
C.用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
D.随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，则10.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢
的概率为0.6，乙贏的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用 表示事件“甲最终获胜”， 表示
事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”， 表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（
）
A. B.
C. 与 互斥 D. 与 独立
11.若直线 与曲线 ，相交于不同两点 ，曲线 在A，B点处
切线交于点 ，则（ ）
A. B.
C. D.不存在 ，使得
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3
若 ，则 __________.
13.已知函数 ，若 恒成立，则 的最小值为__________.
14.从 这10个数中随机抽一个数记为 ，再从 中随机抽一个数记为 ，则
__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
已知命题 ，不等式 恒成立；命题 ，使 成
立.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 中恰有一个为真命题，求实数 的取值范围.
16.（本题满分15分）随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车
公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量 （单位：
十万元）进行了汇总研究，情况如下：
年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
业务量 20 24 36 43 52
经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系.
（1）假设2019年为第1年，求第 年的业务量 关于 的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量；
（2）该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为
“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将 列联表补充完整
并根据小概率值 的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.
好评 差评 合计
青年 20
中老年 15
合计 45 100
附：经验回归直线方程 ，其中
独立性检验中的 ，其中 .
临界值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.（本题满分15分）
在数列 中， ，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
18.（本题满分17分）已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最大值；
（3）证明： .（参考数据： ）
19.（本题满分17分）
Catalan数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过
程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan，1814-
1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第 个Catalan数，其通项公式为
.在组合数学中，有如下结论：由 个+1和 个-1构成的所有数列
， 中，满“对任意 ，都有 ”的数列的个数等于 .
已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均
为 .
（1）设粒子第3秒末所处的位置为随机变量 （若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为-1；若粒子
第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求 的分布列和数学期望 ；
（2）记第 秒末粒子回到原点的概率为 .
（i）求 及 ；
（ii）设粒子在第 秒末第一次回到原点的概率为 ，求 .武汉市部分重点中学 2023-2024 学年度下学期期末联考
高二数学试卷参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D C D C A A C ACD ABC ABD
12. 13.-1 14.
15.（1）若命题 为真命题，则
，
.
（2）当 为真命题时：
，
.
当命题 中恰有一个为真命题时，
为真命题， 为假命题，即
.为假命题， 为真命题，即
.
综上： .
16.（1） ，
，
.
.
时， ，
预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元.
（2）列联表如下：
好评 差评 合计
青年 20 30 50
中老年 35 15 50
合计 55 45 100
，
根据小概率值 的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.
17.（1） ，
是公比为2的等比数列.
，
，
，.
（2） ，
法1：奇偶讨论
为偶数
.
为奇数
综上： .
法2：等比数列18.（1） ，
，
在 处的切线为 .
（2） ，
，
在 上单调递减，
时 ，
的最大值为-1.
（3）设 ，
在 上单调递增，
，
，使 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，，
.
19.（1） ，
，
，
，
的分布列如下：
-3 -1 1 3
.
（2）（i） ，
（ii）设事件 ：粒子在第 秒末第一次回到原点，
事件 ：粒子第1秒末向右移动一个单位.
，
记粒子往左移动一个单位为-1，粒子往右移动一个单位为+1，
以下仅考虑事件 .
设第 秒末粒子的运动方式为 ，其中 ；沿用（1）中对粒子位置的假设 ，
则粒子运动方式可用数列 表示，如： 表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.
由粒子在第 秒末第一次回到原点，可知
数列 的前 项中有 个1和 个-1.
，
，
粒子在余下 秒中运动的位置满足 ，
即 ，
粒子在余下 秒中运动方式的总数为 ，
，
