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甘肃省多校2025-2026学年 高二上学期第一次月考考试数学试卷
一、单选题
1．已知数列 的通项公式为 ，则2025是这个数列的（ ）
A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项
2．在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A． B．3 C．4 D．
3．记 为等差数列 的前 项和，已知 ，则 取最小值时， 的取值为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
4．在等比数列 中，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前50项和为（ ）
A．24 B．26 C． D．
6．已知 是正项等比数列，若 ， ， 成等差数列，则 的公比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知单调递增数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设 的整数部分为 ，则数列 的前21项的和为（ ）
A．250 B．253 C．255 D．258
二、多选题9．数列 的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）
A．
B．
C． 最大时，
D． 的整数 的最大值为
11．在公比为q的等比数列 中， .记数列 的前n项积为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．若 ，则 的最大项为
D．若 ，则 的最小项为
三、填空题
12．已知等差数列 的前 项和为 .若 ，则 .
13．设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 .
14．已知 和 都是等差数列， 的公差为 ，记 分别为数列 的前 项和，且 ，则
四、解答题
15．已知等差数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
16．（1）已知数列 的前 项和 ，求 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求 的通项公式.
17．在递增的等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项和 .
18．某台商到大陆一创业园投资 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出 万美元，以后每
年比上一年增加 万美元，每年销售蔬菜收入 万美元，设 表示前 年的纯利润（ =前 年的总收入
—前 年的总支出—投资额）.
（1）从第几年开始获得纯利润？
（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以 万美
元出售该厂；②纯利润总和最大时，以 万美元出售该厂.问哪种方案较合算？
19．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ；(3)若数列 满足 ，记 的前 项和 ，判断是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，
则求出所有 值；若不存在，请说明理由．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C C A B AC ABD
题号 11
答案 AC
1．C
令 求解即可.
【详解】令 ，所以 ，解得 .
故选：C
2．A
由等比中项列出等式即可求解.
【详解】在正项等比数列 中，有 ，解得 .
故选：A
3．B
根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案.
【详解】由题意知 为等差数列，
由 ，知数列 为递增数列，
且当 时， ，当 时， ，
所以当 的取值为22时， 取最小值.
故选：B.
4．D
根据条件，求得 ，再利用 ，即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，则 ，得到 ，
又 ，故选：D.
5．C
根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解.
【详解】数列 满足 ， ，
可得 ， ， ， ，
⋯
所以 ，所以数列 的前50项和为：
．
故选：C．
6．C
由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由数列 为正项数列，则 ，
由 ， ， 为等差数列，则 ，即 ，
所以 ，整理得 ，解得 或 （舍去）.
故选：C.
7．A
变形得到 、 ，讨论 、 时判断数列性质，即可得.
【详解】由于 ，即 ，整理得 ，
当 时， 单调递增，符合；
当 时，则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，则 ，当 时 ，则 ， ，不符，
当 时 ，则 ，不符，
当 时 ，则 ， ，不符，
故选：A.
8．B
根据 即可结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 为小于1的分数，此时 ，所以
则数列 的前21项和为 .
故选:B.
9．AC
代入验证即可求解.
【详解】对于A项，分别把 代入 ，即得 与数列相符，故A项正确；
对于B项，把 代入 ，即得 与数列不符，故B项错误；
对于C项，分别把 代入 ，即得 ，故C项正确；
对于D项，把 代入 ，即得 ，与数列不符，故D项错误.
故选:AC.
10．ABD由 得到 ，根据 得 ，判断A选项，根据等差数列通项公式判断B选项，根据
和 求 的最大值，判断C选项，由等差数列前 项和公式判断D选项.
【详解】因为 ，所以 ，从而 ，
因为 ，所以 ，A正确； ，B正确；
因为 ，所以 ，所以 为 的最大值，C错误；
，令 ，解得 ，所以整数 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
11．AC
根据 可得选项A正确；根据 可得选项B错误；根据条件可得
， ，利用 可得选项C正确；类比选项C，比较
的大小可得选项D错误.
【详解】A.由题意得， ，
∵ ，∴ ，解得 ，故A正确.
B.由题意得， ，
∵ ， ，∴ ，即 ，故B错误.
C.∵ ， ，∴ ，故数列 中的奇数项为负数，偶数项为正数，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 的最大项为 ，故C正确.
D.∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵数列 中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， ，此时 ，故D错误.
故选：AC.
12．12
根据等差数列的片段和性质即可求解.
【详解】在等差数列 中， 成等差数列，即 成等差数列，所以
，解得 .
故答案为：12
13． /0.5
根据等比数列的前n项和与项之间的关系，结合等比数列的性质，即可求得答案.
【详解】因为 是公比为 的等比数列，
故 ，所以 ，故 .
故答案为：
14．2 或
根据题中条件可推出 之间的关系式，再由 求出 的值，继而解方程，即可求得答案.
【详解】 为等差数列， ，
又 ，知 ，所以 ，
，即 ，
解得 或 ，结合 ，则 ，且 为递增数列，故 ；
又由 得： ，即 ，
，即 ，
解得 或 （舍去），
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上， 或 .
故答案为：2 或
15．(1)
(2)(1)设等差数列 的公差为 ，首项为 ，根据已知条件列出方程组求解出 ， ，代入通项公式即可求
解；
(2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解.
【详解】（1）设 公差为d，由 得，
解得
故 ；
（2）因为 ，由（1）可得： ，
故 ．
16．（1） ；（2）
（1）根据 与 的关系求解即可；
（2）由题设可得 ，进而利用累加法求解即可.
【详解】解：（1）由 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 的通项公式为 .
（2）由 ，得 ，
当 时，，
显然 满足上式，
所以 的通项公式为 .
17．(1)
(2)
（1）根据条件求出 ，结合 可得公比 ，由此计算 可得数列 的通项公式.
（2）利用分组求和法可得 .
【详解】（1）∵ 是 和 的等差中项，∴ ，
∵ ，∴ ，解得 ，故 .
设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 或 （舍），
∴ ，
∴ .
（2）由（1）得 ，
∴
.18．（1）3年；（2）方案①比较合算.
【解析】（1）根据条件列出 的表达式，然后令 ，求解出 的取值范围，由此确定出从第几
年开始获得纯利润；
（2）分别计算出方案①和方案②的出售总收入并比较大小，再根据时间因素确定出哪一种方案更合算.
【详解】（1）由条件可知： ，即 ，
令 ，所以 ，解得 ，所以从第 年开始获得纯利润；
（2）方案①： ，
当且仅当 时，即 取“ ”，此时出售总收入为 （万美元）；
方案②：因为 ，所以当 时， ，此时出售总收入为
（万美元）；
因为出售时的总收入相同，但是方案①需要 年，方案②需要 年，
所以方案①比较合算.
19．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ；
当 时， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
；
（3）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
令 ，所以 ，
所以数列 是递增数列，
又 ， ，
所以不存在正整数 ，使得 ，
