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2023—2024 学年度（下）七校协作体高二联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在正项等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比 ，进而化简 求值即可．
【详解】设等比数列 的公比为
， 或 （舍）
则
故选：B
2. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型
拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知
， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知数据可求得样本中心点 ，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出 .
【详解】由 可得： ，
由 可得：
，
由回归方程 必过样本中心点 ，即过点 ，
所以 ，解得 ，
故选：C.
3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称 ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一
连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图2中的直角三角形继续
作下去，则第 个三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】记 的长度构成的数列为 ，依题意可得 ，即可得到 是以
为首项， 为公差的等差数列，从而求出 ，再由面积公式计算可得.
【详解】记 的长度构成的数列为 ，
由题意知， ，且 都是直角三角形，
所以 ，且 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
由 ，所以 .
所以第 个三角形的面积为 .
故选：B．
4. 下列说法中正确的有（ ）
A. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的 分位数可能
等于原样本数据的 分位数；
B. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的线性相关
性强；
C. 设随机变量 ，则 ；
D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，
否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的计算方法，可得判定A错误；根据相关系数的概念，可判定B错误，根据正态分
布的定义和期望、方差的性质，可得判定C错误；设得分为随机变量 ，得到 的可能取值，求得相应
的概率，结合期望公式，求得数学期望，可判定D正确.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A中，原来30个样本数据，从小到大排列，设为 ，
可得 ，所以 分位数为 ，
若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据，可得 ，
可得 ，所以 分位数为 ，其中 ，所以A不正确；
对于B中，若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，
可得 ，所以则 组数据比 组数据的线性相关性强，所以B不正确；
对于C中，设随机变量 ，可得 ，
则 ，所以C不正确；
对于D中，设得分为随机变量 ，则 的可能取值为 ，
可得 ， ，
所以参加游戏得分的期望为 ，所以D正确.
故选：D.
5. 已知函数 ，曲线 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
平行，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导 ，问题转化为 有两个不同的根，利用导数研究函数
的单调性，结合单调性和最值可得结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，则 ，
令 ，整理得 ，
设 ，则 ，
时， ； 时， ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
当 趋近于 时， 趋近于0，当 趋近于 时， 趋近于 ，
由题意可知： 有两个不同的解，
即 与 的图像有两个不同的交点，
则 ，解得 ，
令 ，则 ，
可知 ，
即切点坐标为 ，则切线方程为 ，
代入点 可得： ，解得 ，
且 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事
件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互为对立事件 B.
C. D. 事件B与事件C相互不独立
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求 、 判断B、C；根据独立事件的判定判断
D.
【详解】由事件定义，事件A与事件B可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事 件 B 的 样 本 点 为
共18种，
事件C的样本点为 共有12种，
事件 的样本点为 共6种，
所以 ，B错误； ，C正确；
因为 ，所以事件B与事件C相互独立，D错误．
故选：C
7. 设数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 成等差数列，公差为
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学科网（北京）股份有限公司C. 当且仅当 时， 取得最大值
D. 时， 的最大值为33
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得数列 是以 为公差，32 为首项的等差数列，求出 ，然后利用
可求出 ，再逐个分析判断即可.
【详解】因为 ，
所以数列 是以 为公差，32为首项的等差数列，
所以 ，所以 ，
所以当 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
对于A，因为 ，
所以 是以 为公差的等差数列，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 成等差数列，公差为 ，所以B错误，
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学科网（北京）股份有限公司对于C， ，对称轴为 ，
因为 ，所以当 或 时， 取得最大值，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，且 ，所以 的最大值为33，所以D正确，
故选：D
8. 设函数 ，若不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
函数 的定义域为 ，不等式 ，即 ，
两边除以 ，则 ,注意到直线 ： 恒过定点 ，
函数 图象上恰有两个横坐标为整数的点落在直线 的上方，由图象可知，这两
个点分别为 ，所以直线 的斜率 的取值范围为 ，即
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学科网（北京）股份有限公司.
故选A
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列， ，则使 的最大正整数 的值为15
B. 若 是等比数列， （ 为常数），则必有
C. 若 是等比数列，则
D. 若 ，则数列 为递增等差数列
【答案】BD
【解析】
【分析】由等差数列，等比数列的性质与前 项和公式逐项判断即可.
【详解】若 是等差数列， ，
所以 ，则 ，
所以使 的最大正整数 的值为30.故A错误；
若 是等比数列， ，则 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，故B正确；
若 是等比数列，则 ，故C错误；
若 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的递增等差数列，故D正确；
故选：BD.
10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十
条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件 为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 为“只有甲
同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
.
A 四名同学看电影情况共有 种
B. “每部电影都有人看”的情况共有72种
C.
D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名同学先分组，再分到三部电影可判断B；由条件概率可
判断C；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断 D.
【详解】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
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学科网（北京）股份有限公司故四名同学的报名情况共有 种，A正确；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有 种情况，
再将其分到三个活动中，共有 种，由分步乘法计数原理得到 种，
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
对于C，由已知有： ， ，
所以 ， C正确；
对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是 ，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 存在唯一极值点 ，且
B. 令 ，则函数 无零点
C. 若 恒成立，则
D. 若 ， ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 在 单调递增，又 ， ，即可判断A；由导数判
断出 恒大于0， 恒大于0，即可判断B；由 的值域即可判断C；由 的单调性即可判断
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学科网（北京）股份有限公司D．
【详解】对于A， ，显然 在 单调递增，又 ，
，
所以 ，使得 ，故A正确；
对于B，由A得， ，使得 ，即 ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 恒大于0；
由 ，令 ，
，当 时， ，即 在 单调递增，
当 时， ，即 在 单调递减，
所以 ，即 ，即 在 单调递增，
又 时， ，所以 ，
由 恒大于0， 恒大于0，故 无零点，B正确；
对于C，由B得 ，由 恒成立，得 在 恒成立，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，因为 在 单调递增，又 ， ，则 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，
不等式两边同除以 得， ，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则使 的最小正整数 的值是
______．
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，根据题意，列出方程组求得 ，得到 的通项公式
为 ，令 ，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，即 ，
解得 ，所以数列 的通项公式为 ，
令 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以使 的最小正整数 的值是 .
故答案为： .
13. 函数 .对于 ，都有 ，则实
数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用导数求出 在 上的最小值和 在 上的最大值，由题意
，列式求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，
所以 ，
对于 ，都有 ，则 ，
所以 ，即 .
故答案为：
14. 已知有 两个盒子，其中 盒装有3个黑球和3个白球， 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除
颜色外完全相同．甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全
部放入 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入 盒中．按上述方法重复操作两次后，
盒中恰有7个球的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】确定出两次取球后 盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、
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学科网（北京）股份有限公司第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.
【详解】若两次取球后， 盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为 ，
第一次取球后 盒中有2个黑球和3个白球， 盒装有4个黑球和2个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 ；
此时 盒中恰有7个球的概率为 ；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为 ，
第一次取球后 盒中有3个黑球和2个白球， 盒装有3个黑球和3个白球，
第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为 ；
此时 盒中恰有7个球的概率为 ；
所以 盒中恰有7个球的概率为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后， 盒中恰有7个球必须满足两次取球均为
乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求
得结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数进行求导，参数 进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由
题可得函数 在 上为增函数， 在 上恒成立，再利用
导数求函数的最值即可.
【小问1详解】
由题意得， ，
①当 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，
【小问2详解】
因为函数 在 上为增函数，
所以， 在 上恒成立．
即 在 上恒成立．
令 ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增， ．
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，解得 ，
的
所以，实数 取值范围为 ．
16. 已知数列 为等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，
①求 ；
②若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式可构造方程求得公差 ，由此可得 ；利用 与 关系可证得数
列 为等比数列，由等比数列通项公式可求得 ；
（2）①由（1）可得 ，采用错位相减法可求得 ；
②分别在 为奇数和 为偶数的情况下分离参数，根据数列单调性可求得 的取值范围.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
由 ， 得： ，即 ，
解得： ， ；
当 时， ，解得： ；
当 且 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .
【小问2详解】
①由（1）得： ；
，
，
，
；
②由①知： 对 恒成立；
当 为奇数时， ，
为递增数列， 当 为奇数时， ， ；
当 为偶数时， ，
为递减数列， 当 为偶数时， ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假
期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
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学科网（北京）股份有限公司（1）请完成上面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经
常性有关系；
（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.以样
本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望 和方差
；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，
其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行
访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： ，
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）表格见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
（2） ，
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据题意完成 列联表，代入公式可得 ，即可得到结论；
（2）依题意可得X近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者 的概率为 ，
从而可得 ，即可求得 和 ；
（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分
布列和期望值．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
根据题意可得 列联表如下；
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
【小问2详解】
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 ，即可得 ，
故 ， ．
【小问3详解】
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，
且Y服从超几何分布：
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
可得
18. 已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，函数 取得极小值 ，求函数 的极大值．
（2）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，若
在 内恒成立，则称点 为 的“类优点”，若点 是函数 的“类优点”．
①求函数 在点 处的切线方程．
②求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）① ；② .
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，利用给定的极值点及极值求出 ，进而求出极大值.
（2）①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用给定的定义可得当 时，
恒成立，再利用导数分类探讨函数的单调性及函数取值情况即可判断得解.
【小问1详解】
依题意， ，解得 ，函数 定义域为 ，
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学科网（北京）股份有限公司求导得 ，当 或 时， ；当 时，
，
所以 在 ， 上严格增，在 上严格减，
所以当 时， 有极大值 ．
【小问2详解】
①函数 的定义域为 ，
求导得 ，则 ，而 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 .
②若点 是函数 的“类优点”，
令 ，常数 ，
则当 时，恒有 ，
又 ，且 ，
令 ，得 或 ，
（i）当 时， 在 上严格增，
则当 时， ，当 时， ，
因此当 时，恒有 成立；
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学科网（北京）股份有限公司（ii）当 时，由 ，得 ，则 在 上严格减， ，
所以 时， 不成立；
（iii）当 时，由 ，得 ， 在 上严格减， ，
所以 时， 不成立．
综上可知，若点 是函数 的“类优点”，则实数 .
19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
（1）已知等比数列{a}满足： ，求证：数列{a}为“M-数列”；
n n
（2）已知数列{b}满足： ，其中S 为数列{b}的前n项和.
n n n
①求数列{b}的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M-数列” ，对任意正整数k，当 时，都有 成立，求m的
最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ;②5
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明；
（2）①根据 可得 ，即可判断数列 为等差数列，即可求出通项公式；
②根据题意有 ，构造函数 ，利用导数可得 ，
即可求解.
【小问1详解】
设等比数列 的公比为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，解得 ，
所以数列 为“M-数列”；
【小问2详解】
①因为 ，则 ，则 ，
当 时，由 ，得 ，整理得 ，
所以数列 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以 ；
②由①知， ，
因为数列 为“M-数列”，设公比为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，其中 ，
当 时，有 ；
当 时，有 ，
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，
取 ，当 时， ，即 ，经检验知 也成立，
因此所求 的最大值不小于5，
若 ，分别取 ，得 ，且 ，从而 且 ，所以 不存在，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上，所求 的最大值为5.
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
