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专题19 函数中的数列问题
一、单选题
1．对于一切实数x，令 为不大于x的最大整数，则函数 称为高斯函数或取整函数.若
， ， 为数列 的前n项和，则 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，当 ， ， 时，均有 ，故可知：
.
故选：A
2．已知数列 是等比数列， ， 是函数 的两个不同零点，则 等于（ ）．
A． B． C．14 D．16
【解析】 是函数 的两个不同零点，所以 ，
由于数列 是等比数列，所以 .故选：C
3．若 ， ， 成等差数列，则二次函数 的图象与 轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解析】由 ， ， 成等差数列，可得 ，
所以 ，
所以二次函数 的图象与 轴交点的个数为1或2.故选：D.
4．已知数列 中，前 项和为 ，点 在函数 的图象上，则 等于（ ）A． B． C． D．
【解析】点 在函数 的图象上，则 ，
当 时，则 ，
当 时， ，满足 .故选：A
5．等差数列{an}中，a+a+a=12，那么函数 x2+（a+a）x+10零点个数为（ ）
2 5 8 4 6
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【解析】根据等差数列的性质只 ， ，故二次函数对应的判别式
，所以函数有两个零点，故选C.
6．已知函数 ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，
则该数列的前n项的和 ,则 ＝（ ）
A． B． C．45 D．55
【解析】函数 图像如图所示，y=x-1与该函数的交点的横坐标是0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9，求和得45
7．若数列 为等比数列，则称 为等比函数.下列函数中，为等比函数的是（ ）A． B．
C． D．
【解析】因为 ，所以 不是常数，A错误；
因为 ，所以 ，不是常数，B错误；
因为 ，所以 ，
所以数列 为等比数列，故 为等比函数，C正确；
因为 ，所以 ，不是常数，D错误.
故选：C
8．在等差数列 中，a，a 是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则 的值为
2 2020
（ ）
A．－3 B．－ C．3 D．
【解析】因为 ，a，a 是该函函数的两个不同的极值点，
2 2020
故可得a，a 是方程 的两个不等实数根，
2 2 020
故 ，又 是等差数列，故可得 ，
故 .故选：B.
9．已知函数 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．【解析】对任意的 ， ，
因此， .故选：C.
10．已知函数 ，若数列 满足 且 是递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为数列 是单调递增数列，则函数 在 上为增函数，可得 ，
函数 在 上为增函数，可得 ，可得 ，
且有 ，即 ，即 ，解得 或 .
综上所述， .故选：C.
11．设函数 ， ，若数列 是单调递减数列，则实数k的取值范围
为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】因为数列 是单调递减数列，
所以只需 且 ，即 且 ，
故实数k的取值范围为 ．故选：C．
12．已知数列 为等比数列，其中 ， ，若函数 ， 为
的导函数，则 （ ）A． B． C． D．
【解析】 ， ， 为等比数列， ，
，
则 .故选:C.
13．已知函数 的图象过点 ，且 ， ．记数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，可得 ，解得 ，则 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
14．已知函数 ，数列 是公差为1的等差数列，且 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ， ，所以 ， ，
所以数列 是公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，故选：D15．已知 是定义在 上的偶函数，令 ，若 是 的等差中项，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
是 的等差中项， ， ，
.
故选：B.
16．若函数 ，则称f（x）为数列 的“伴生函数”，已知数列 的“伴生函数”为
， ，则数列 的前n项和 （ ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，可得 ，所以 ，即 ，
故数列 为等比数列，其首项为 ，公比也为2，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
令 ，
则 ，
两式相减，得 ，所以 ，所以 .故选：C.
17．已知等差数列 中， ，设函数 ，记 ，则数列
的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
，由 ，可得 ，当 时， ，
故函数 的图象关于点 对称，
由等差中项的性质可得 ，
所以，数列 的前 项和为 .故选：D.
18．已知函数 ，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若
，使得 恒成立，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】函数 ，数列 满足 ，
， ，
， ， ，
，
，且 ，可知数列 为递增数列，
所以 ，因此 ， ， ，使得 恒成立整数 的最小值是2，故选：A
二、多选题
19．已知函数 ，数列 为等差数列，且公差不为0，若
，则（ ）
A． 是单调递增函数 B． 图像是中心对称图形
C． ， D．
【解析】对于A： ，所以 是单调递增函数.故A正确；
对于B：设 存在对称中心为 ，则 ，
所以 ，即 对任意x都成立，
所以只需 .不妨取 ，符合题意.
所以 为 的一个对称中心.故B正确；
对于D：因为 ，所以 .
即 .
因为 的值不含π，所以只需：
.所以 .故D正确；
对于C：数列 为等差数列，且公差不为0，所以 ，解得： .故C错误.
故选：ABD
20．已知函数 ，则( )A． ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等差数列
C． ， ， 成等比数列 D． ， ， 成等比数列
【解析】A： ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B： ， ， ，
则 ，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C： ， ，
则 ， ， 成等差数列，又 ，所以C错误；
D： ， ， ，
则 ，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.
故选：ABD.
21．已知函数 是定义在 上的单调函数，且对任意的正数x，y都有 ，若数
列 的前n项和为 ，且满足 ，则下列正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【解析】由题意，知 ，又 ，
∴ ， ，两式相减得 ．又 时， ，∴ ，
∴数列 是首项为1，公比为 的等比数列，∴ ．故选：AD
22．数列 的各项均是正数， ， ，函数 在点 处的切线过点 ，
则下列正确的是（ ）
A．
B．数列 是等比数列
C．数列 是等比数列
D．
【解析】对函数 求导得 ，
故函数 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由已知可得 ，
对任意的 ， ，则 ，即 ，
所以， ，
所以，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，B对；
，A对；
且 ，故数列 不是等比数列，C错；
由上可知，因为 ，且 ，则 ，
即 ，所以， 且 ，故数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，因此， ，D对.
故选：ABD.
23．等差数列{an}的前n项的和为Sn，公差 ， 和 是函数 的极值点，则下列
说法正确的是（ ）
A． －38 B． C． D．
【解析】由题得 ，令 ，又因为公差
，所以 , ，所以 ，经计算， .所以 ，故选：ACD.
三、填空题
24．等比数列 中， ， ，函数 ，则 ______．
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 （舍负），
设 ，则 ，
所以 ，所以 .
25．已知对任意 ，函数 满足 ，设 ，
且 ，则 _____________．
【解析】因为 ，
所以 ，两边平方得 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，
26．已知 是函数 ， 的一个零点，令 ， ， 为
数列 的前 项和，则 ___________.
【解析】因为 为 的零点，则 ，
， ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
．
27．已知函数 有两个零点1和2，若数列 满足： ，记
且 ，则数列 的通项公式 ＝________．
【解析】由题意得： 的两个根为1和2，由韦达定理得： ， ，
所以 ，则 ，所以 ，因为
，所以 ，所以 为等比数列，公比为2，首项为3，
所以 .
28．已知函数 ，若递增数列 满足 ，则实数 的取值范围为
__________.
【解析】由于 是递增数列，所以 .
所以 的取值范围是 .
29．已知函数 ，若对于正数 ，直线 与函数 的图像恰好有
个不同的交点，则 ___________.
【解析】当 时， ，即 ， ；
当 时， ，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：
与函数恰有 个不同的交点，根据图象知，直线 与第 个半圆相切，
故 ，故 ，
.
30．已知等差数列 满足 ，函数 ， ，则数列 的前项和为______．
【解析】∵等差数列 满足 ，∴ ，即 ．
∵函数 ，∴ ，∴
，
∴数列 的前 项和为 ．
四、解答题
31．设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上.
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 是数列 的前 项和，求使 对所有 都成立的最小正整数 .
【解析】(1)依题意， ＝3n－2，即S＝3n2－2n，
n
n≥2时，a＝S－S ＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝1符合上式， 所以a＝6n－5(n∈N )
1 1 n ＋
又∵a－a ＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6，
n n－1
∴{a }是一个以1为首项，6为公差的等差数列.
n
(2)由(1)知， ＝ ＝
故T＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )]＝ (1－ )
n
因此使得 (1－ )< (n∈N )成立的m必须且仅需满足 ≤ ，
＋
即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10
32．已知数列 和 中，数列 的前 项和记为 . 若点 在函数 的图像上，点
在函数 的图象上.(1）求数列 的通项公式；
(2）求数列 的前 项和记为 .
【解析】（1）由已知得 ，
因为当 时， ；
又当 时， ，所以 ；
（2）由已知得 ，所以 ，
所以 ，
，
两式相减可得 ，
整理得 .
33．函数 的部分图象如图所示，
（1）求函数 的解析式；
（2）已知数列 满足 ，且 是 与 的等差中项，求 的通项公式.
【解析】（1）由图象可知 ， ，
从而 .又当 时，函数 取得最大值，故 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
（2）由已知数列 中有： ， ，
设递推公式 可以转化为
即 .故递推公式为 ，
令 ，则 ，且 .
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ，
所以 .
34．已知点 （ ）在函数 的图象上， ．
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设 ，记 ，求 ．
【解析】（1）∵点 在函数 的图象上，
∴ ，并且 ，即 ，
整理得 （ ， ）．∵ ，∴ ，
∴数列 是以1为首项、1为公差的等差数列．（2）由（1）知 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
35．已知函数 对任意实数p，q都满足 ，且 ．
(1)当 时，求 的表达式；
(2)设 （ ）， 是数列 的前n项和，求 ．
(3)设 （ ），数列 的前n项和为 ，若 对 恒
成立，求最小正整数m．
【解析】(1)依题意，当 时， ，而 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 .
(2)由（1）知 ，
， ，
两式相减得 ，所以 .
(3)由（1）知， ，于是得 ，
因此， ，
则 ，依题意， ，解得 ，
所以最小正整数m的值是2012.
36．已知函数 ，数列 满足 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ， ， ，若 对一切 都成立，求最小的正整
数 的值．
【解析】(1)因为 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ．
(2)当 时， ，
当 时，上式同样成立，故 ．
所以 ．
因为 对一切 都成立，即 对一切 都成立，
又 随着n的增大而增大，且 ，
所以 ，所以 ，所以最小的正整数 的值为 ．
