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青海海南州高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．函数 在 上的平均变化率为（ ）
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
2．已知函数 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
3．数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知 是等差数列，且 ， ，则首项 等于（ ）
A．0 B． C． D．
5．已知数列 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
6．等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知实数列 为等比数列，其中 ， 是方程 的两根，则 （ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中有“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．意思是：一女子善于
织布，每天织的布是前一天的 倍， 天共织 尺，若该女子欲织满 尺，则至少需要（ ）日
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导数运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 在 处取得极小值 B． 有3个零点
C． 在区间 上的值域为 D．曲线 的对称中心为
11．已知首项为3的数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． 是等比数列
B．
C． 是等比数列
D． 的前 项和小于1
三、填空题
12．直线 是曲线 的一条切线，则实数 ___________．
13．函数 ，则 ______．
14．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则使 取得最小值的n的值为__________.
四、解答题
15．已知函数 .
(1)曲线 在点P处的切线与直线 互相垂直，求点P的坐标.(2)过点 作曲线 的切线，求此切线的方程.
16．已知函数 ，当 时， 取得极值 .
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值.
17．已知等比数列 的公比为 且 ，等差数列 的公差为 ，满足条件：
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18．已知数列 的前n项和为 ，且 ，且 .
(1)证明数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ；
(3)若 ，求正整数k的所有取值.
19．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调递增区间；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．参考答案
1．D
【详解】函数 在 上的平均变化率为 .
2．C
【详解】由 ，则 .
3．A
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，…
所以数列 是周期数列，周期为3，
所以 .
4．C
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ，即 ，
解得 .
5．D
【详解】数列 是等差数列，且 ， ，
所以 ，
则 .
6．A【详解】因为 为等比数列，所以 ，解得 或 ，
因为等比数列 ，所以 ，
则 ，所以 ，设公比为 ，则 ，
所以 ．
7．B
【详解】因为 ， 是方程 的两根，
所以由韦达定理可得 ，所以 ， .
因为 为等比数列，所以 ，解得 .
若 ，则 ，不符合要求，故 .
8．C
【详解】设女子第 天织布 尺，由于每天织布量是前一天的 倍，
因此第 天的织布量为 尺，前 天织布量的总和为 尺，
由题意得 ，
要使织布总尺数达到 尺，即 ，
代入得 ，所以最小的 是 ，
因此该女子欲织满 尺，则至少需要 日，故C正确.
9．BCD
【详解】对于选项A： ，所以选项A错误.
对于选项B： ，所以选项B正确.对于选项C： ，所以选项C正确.
对于选项D： ，所以选项D正确.
故选:BCD.
10．ABD
【详解】由 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，故A正确；
又 ， ， ， ，
，所以函数 在 有且仅有一个零点，
同理函数 在 有且仅有一个零点，在 上有且仅有一个零点，
即函数 共有3个零点，故B正确；
由前面得 在 上值域为 ，故C错误；
设 ， ， ，
所以函数 是奇函数，图象关于 对称，
又 是 向下平移1个单位得到，所以函数 的对称中心为 ，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；由 ，得 ，所以 ，故B正确；
当 时， ，
又 不符合上式，
则 ，
所以 不是等比数列，故C错误；
设 的前 项和为 ，
因为 ，
所以 ，故D正确.
12．
【详解】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点为 ，代入直
线方程，得 ，所以 ．
13． /
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
14．4或5
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
所以 ，
令 ，得 ，解得 ，
由 ，可知数列 是递增数列，
所以当 或 时， 取得最小值.
故答案为：4或5.
15．(1) 或
(2) 或
【详解】（1） ，由题意可得 ，故 ，
当 时， ，当 时， ，
故点P的坐标为 或 ；
（2）设切点坐标为 ，则有 ，
故 ，整理得 ，
即 ，故 或 ，
当 时，有 ，即 ，当 时，有 ，即 ，
故此切线的方程为 或 .
16．(1)
(2)最大值为1，最小值为 .
【详解】（1）依题意可得 ，又当 时， 取得极值 ，
所以 ，即 ，解得 ，经验证符合题意，
所以 .
（2）可知 ， .
令 ，则 得 或
0 2
+ 0 - 0 +
极大值1 极小值
， ，所以 在区间 上的最大值为1，最小值为 .
17．(1) ，
(2)
【详解】（1）由题意， ，则 .
，故 ，
由 可得 ，消去 ，可得 ，即 .
因为 且 ，所以 .
故数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ．
（2）根据题意得： ，
由（1）得 .
故
18．(1)证明见解析
(2)
(3) ， ，
【详解】（1）证明：因为 ，两边同时除以 得， ，
化简得 ，所以 ，
又 ，所以数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，
所以， .
（2）解：由（1）可知， ，所以 ，
则 ①，
又 ②，
① ②得 ，所以 .
（3）解：由（1）（2）可知， ， .
所以 ， .
由 可得， ，整理可得 .
令 ，易知 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
， ，
所以，当 时，有 ，即 ，在 ， 时不成立.
所以k可取 ， ， .
19．(1)当 时， 的单调增区间为 ，
当 时， 的单调增区间为 和 ；
(2)
【详解】（1）由题 ， ，
则 ，
①当 时， ， 在 上恒成立，则 的单调递增区间为 ，
②当 时， 在 上恒成立，则 的单调递增区间为 ，
③当 时， 时， ，
时， ，
时， ，
所以 的单调递增区间为 和 ，
综上：当 时， 的单调增区间为 ，
当 时， 的单调增区间为 和 ；
（2） ，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，即 在区间 上单调递增，且 ，
①当 时， ，又 在区间 上单调递增，
所以对任意 ，都有 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 满足条件；
②当 时， ， ，
所以 ，使得 ，
所以当 时， 单调递减，
即当 时， ，不满足题意．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
