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青海海南州高级中学2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．化简：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
3．已知向量与的夹角是
，且
，
，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，已知
，
．
为
的中点，且
，则
的面积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，为测量河对岸
、
两点间的距离，沿河岸选取相距
米的
、
两点，测得
，
，
，
，则
、
两点的距离是（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
6．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
7．已知函数
（
）在区间
上单调递增，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
（
）在
上恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
图象关于直线
对称
B．函数
的最小正周期为
C．函数
图象可看作是把函数
的图象向左平移
个单位而得到
D．函数
在区间
的最大值为2
10．已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，
，
，则符合条件的△ABC 有两个
D．若△ABC 为锐角三角形，则
11．已知在
中，
，
，
，点
为
所在平面内一点，则（ ）
A．若
为
的垂心，则
B．若
为
的重心，则
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
.
三、填空题
12．函数
的最小值为___________.
13．在
中，三个内角
，
，
的对边分别是，，，若
，
，
，则
______.
14．若
，则
的值为__________.
四、解答题
15．已知向量
，
，
，且
，
.
(1)求与；
(2)若
，
，求向量
，的夹角的大小.
16．（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量
.
（2）设两个非零向量
，
不共线，
，
，
.
①若
和
共线，求实数的值；
②求证：
、
、
三点共线.
17．已知函数
.
(1)求
的最小正周期和对称中心；
(2)求
在区间
内的单调递增区间.
18．记
的内角
，
，
的对边分别为，，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求的最小值及
的面积.
19．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，求边a，b 的值．
参考答案
1．D
【详解】
.
2．B
【详解】
.
3．B
【详解】因为向量与的夹角是
，且
，
，
所以
，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：B
4．C
【详解】根据题意，
，
则
，即
，
则
，又
，所以
，
所以
.
5．B
【详解】在
中，
，
，故
，
由正弦定理
，得
，
在
中，
，
，
故
为等腰直角三角形，且
，
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
（米）.
故选：B.
6．B
【详解】因为
，所以
，而
，
故
，则
，
故
.
7．B
【详解】解：
，
，
，
，
又函数
（
）在区间
上单调递增，
，解得
．
8．D
【详解】因为
，所以
．
因为
在
上恰有3 个零点，所以
，解得
．
9．ABD
【详解】
，故A 正确.
，故B 正确.
向左平移
个单位，得
，故C 错误.
当
时，
，
，故
，D 正确.
10．BCD
【详解】对于A，由诱导公式知
，错误；
对于B，由
和正弦定理可得
，由大边对大角可知
，正确；
对于C，若
，
，
，则
，
即
，所以符合条件的△ABC 有两个，正确；
对于D，∵
，∴
，∴
，正确.
11．ACD
【详解】因为
为
的垂心，所以
，故
，
所以
，故A 正确；
延长
交
于
中点
，如图，
因为点O 是
的重心，
，
所以
，故B 错误；
如下图所示：
若
为
的外心，取线段
的中点
，连接
，由垂径定理知
，
所以
，故C 正确；
如图，
若
为
的内心，则
，过
作
，
由余弦定理得
，所以
，
内切圆半径为
，所以
，
所以
，而
，所以
，
所以
，故D 正确.
12．
/
【详解】
，
当
时，等号成立，所以函数
的最小值为
.
13．
或
【详解】在
中，由正弦定理得
，
又
，
，
，所以
，所以
，
又因为
，所以
或
.
14．
【详解】
.
15．(1)
，
；
(2)
.
【详解】（1）向量
，
，
，由
，得
，则
；
由
，得
，解得
，所以
.
（2）由（1）得
，
，
因此
，
，
，而
，则
，
所以向量
，的夹角的大小为
.
16．（1）
（2）①
；②证明见解析
【详解】（1）如图：保持不变，将
平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的
的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是
，
（2）①
和
共线，则有
，
，
因为非零向量
，
不共线，所以有
且
，得
即
；
②
，
因为
，所以
和
共线，所以A、B、D 三点共线.
17．(1)最小正周期
，对称中心为
；
(2)
和
.
【详解】（1）函数
，
所以
的最小正周期
，
令
，解得：
，此时
，
的对称中心为
；
（2）令
，
解得
，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；当
时，
的单调递增区间为
；
在区间
内单调递增区间
和
.
18．(1)
(2)
;
【详解】（1）由
和正弦定理，
可得
，整理得
，
由余弦定理，
，因
，则
.
（2）由
化简得
，
由余弦定理，
，
当且仅当
时等号成立，即当
时，的最小值为
.
的面积为
.
19．(1)
(2)
或
【详解】（1）由
，
结合正弦定理得：
，
即
，故
，
因为
，所以
，可得
，所以
．
（2）由
的面积
，
又
，所以
①.
由
及余弦定理得
，
故
，从而
，所以
②，
由①②联立解得
或
．
