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第03课 不等式（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·高一课前预习）小李从甲地到乙地的平均速度为 ，从乙地到甲地的平均速度为 ，
他往返甲乙两地的平均速度为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2006·上海·高考真题）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． < B．a2>b2
C． > D．a|c|>b|c|
3．（2015·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若关于x的不等式 在 上有实数解，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”的否定形式是“ ”
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件6．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若命题“ ， ”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2023春·天津河西·高二统考期末）已知 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·江苏·高一专题练习）若 、 ，且 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023春·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则ab的最小
值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
11．（2022秋·青海海南·高三海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）设正实数m，n满足 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知点E是 的中线 上的一点（不包括端点）．若
，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A． B．
C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， （m是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．若 的最小值为 ，则
B．若 的最大值为4，则
C．若 的最大值为m，则
D．若 ，则 的最小值为2
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 、 满足 ， ，则 的取值范
围为 ．
18．（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知命题p：“ ， ”为真命题，则实数
a的最大值是 ．19．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）若 ，则 的最小值是
.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·辽宁·高三校考阶段练习）“a>b>0”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）“不等式 在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）若两个正实数x，y满足 ，且不等式
恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
6．（2022秋·河北石家庄·高三校考期末）关于 的不等式 成立的一个充分不必要条件是
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．（2023·全国·高一专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛
的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立．根据权方和
不等式，函数 的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
8．（2022秋·高一校考课时练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（2023·高二课时练习）已知正项等比数列 满足 ，若存在 、 ，使得 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）已知 ，且 ，其中e为自然对数
的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． 在 上恒为正 B． 在 上单调递减
C．a，b，c中最大的是a D．a，b，c中最小的是b12．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知正实数 ， 满足 ，下列说法
正确的是（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为4
C． 的最小值为 D． 的最小值为
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ），且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为R上的增函数 B． 无极值
C． D．
14．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知 ，且 ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为9
C． 的最小值为 D． 的最大值为2
15．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知椭圆 的左，右焦点
分别为 ，长轴长为4，点 在椭圆 外，点 在椭圆 上，则（ ）
A．椭圆 的离心率的取值范围是
B．当椭圆 的离心率为 时， 的取值范围是
C．存在点 使得
D． 的最小值为2三、填空题
16．（2023·上海普陀·统考一模）设a、 且 ．若函数 的表达式为 ，
且 ，则 的最大值为 ．
17．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，且 ，则
的取值范围是 .
18．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）命题“ ， ”为
假命题，则实数 的取值范围为 .
19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，若 对一切 恒成立，则实数 的最大值为 .
20．（2023春·陕西商洛·高一镇安中学校考期中）已知向量 ， ， ， ，若
，则 的最小值 .
21．（2022·全国·高二专题练习）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的
下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，若直线 与双曲线 的一条渐近线
平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最小值为 ．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 有两个不同的极值点
，且不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数 满足等式 ，则下列不等式中可能成立的
有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·江西吉安·统考模拟预测）若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其定义域上的任意实
数 都满足 和 恒成立，则称直线 为 和 的“隔离直线”，已知
函数 ， ， ，下列命题正确的是（ ）
A． 与 有“隔离直线”
B． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围为
C． 和 之间存在“隔离直线”，且 的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知 是抛物线 的焦
点，点 在抛物线 上，过点 的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线 交于 ， 和 ， ，
过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【一层练基础】参考答案
1．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t，从乙地到甲地的时间为t，则
1 2
， ， ，
∴ ， ，
故选:D.2．C
【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但 ，a20，a>b，由不等式性质得 ，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
3．A
【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.
【详解】由 ，可得 ，即 ；
由 ，可得 或 ，即 ；
∴ 是 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A
4．A
【分析】根据题意转化为不等式 在 上有实数解，结合函数 的单调性，求得
，即可求解.
【详解】由不等式 在 上有实数解，
等价于不等式 在 上有实数解，
因为函数 在 上单调递减，在 单调递增，
又由 ，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.5．B
【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断
C的正误，利用对数的定义判断D的正误.
【详解】对A，若 中， 时 也成立，故A错；
对B，当 时， ，故 ，
若 ，则 ，故B对；
对C，存在量词命题的否定是 ，故C错；
对D，若 均为负数，则 无意义，故D错.
6．D
【分析】由 ，得到 ，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，
逐项判定，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，则 ，
对于A中，由 ，所以 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，且 ，则 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，且 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ，所以C不正确；对于D中，由 ，因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ，所以D正确.
故选：D.
7．A
【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】命题“ ， ”的否定为“ ， ”，该命题为真
命题，即 ，解得 .
故选：A
8．B
【分析】分别求出命题 ，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】因为 ； ，
所以 ， 推不出 ，所以 是 的必要不充分条件.
故选：B.
9．A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为 、 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，当仅
当 ，即 时，等号成立.
故选：A.
10．C
【分析】运用对数运算及换底公式可得 ，运用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】∵ ，
∴ ，即：∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
即： ，当且仅当 时取等号，
故 的最小值为16.
故选：C.
11．C
【分析】由基本不等式“1”的妙用进行求解
【详解】解：因为正实数m，n， ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，此时取得最小值 ，
故选：C
12．C
【分析】先根据向量共线可知 ，表达出 和 的关系式后利用基本不等式的代“1”法
解基本不等式即可.
【详解】解：由题意得：
点E是 的中线 上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：
设当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 .
故选：C
13．AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；
D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，B错误；
C选项， ，故 恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故 ，其中 ，
故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，D错误.
故选：AC
14．ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断
A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求 判断正误即可.
【详解】由已知得： ，令
A：若 ，即 是方程 的两个根，则 ，得 ，正确；B：若 ，则 ，解得 ，正确；
C：当 时， ，解得 或 ，正确；
D：当 时，有 ，所以 ，错误；
故选：ABC.
15．BC
【分析】根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】由已知得 ，
，解得 ，当 时取
等号，故A错误；
， ，当 时取等号，故B正确；
， ，当 时取等号，故C正确；
对于D，
，当 时取等号，又 ，且 ，所以等号取不
到，故D错误，
故选：BC.
16．ABC
【分析】由题意可知 ， ，根据对数函数的单调性可知D错误； ，可知A正确；
利用基本不等式可知 ，化简整理可知B正确；在根据 ，利用不等式的性质，
即可判断C正确.【详解】由题可知 ， ，又 ，所以 ，D错误；
因为 ，有 ．所以A正确；
由基本不等式得 ，所以 ，当且仅当 时，取等号；
又因为 ， ，所以 ，故 ，B正确；
由于 ， ，所以 ，C正确.
故选：ABC．
17．
【分析】设 ，利用待定系数法求出 的值，然后根据不等式的性质即可求
解.
【详解】解：设 ，则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
18．
【分析】分离参数 ，将问题转化为 ，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.
【详解】解：由题意， ， 恒成立，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即a的最大值是 ．
故答案为： .19．2
【分析】根据 ，结合已知解不等式即可得出答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是2.
故答案为：2.
【二层练综合】参考答案
1．C
【分析】由 ，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】解：对于选项A，因为 ，而 的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为 ，所以 ，故B错误；
对于选项C，依题意 ，所以 ，所以 ，故C正
确；
对于选项D，因为 与 正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
2．A【分析】 能推出 ，但是 则 ，则 或 ，再由充分必
要的定义可得出的答案.
【详解】若 ,则 ，即 成立，
若 则 ，则 或 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．C
【分析】根据对数和指数的单调性可判断 ， ；在构造函数 ， ，再根据换
元法和不等式放缩，可证明当 时， ，由此即可判断 的大小.
【详解】因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
4．A
【分析】根据不等式 在R上恒成立，求得 ，再由 ，说明不等式 在R
上恒成立，即可得答案.【详解】∵不等式 在R上恒成立，
∴ ，解得 ，
又∵ ，∴ ，则不等式 在R上恒成立，
∴“ ”是“不等式 在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
5．C
【分析】先由 结合基本不等式求出 的最小值，进而得
，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，
，
当且仅当 ，即 时取等，又不等式 恒成立，则不等式
，
即 ，解得 .
故选：C.
6．D
【分析】由题意可知， 是不等式 解集的一个真子集，然后对 与 的大小关系进行
分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数 的取值范围.
【详解】由题可知 是不等式 的解集的一个真子集.当 时，不等式 的解集为 ，此时 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
，合乎题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
由题意可得 ，此时 .
综上所述， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属
于中等题.
7．B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，即 ，
于是得 ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以函数 的最小值为25.
故选：B
8．C
【分析】根据条件 ,变形 后，利用均值不等式求最值.
【详解】因为 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ，当且仅当 ， 时，等号成立，
故 的最小值为4.
故选：C
9．D
【分析】设等比数列 的公比为 ，则 ，根据已知条件求出 的值，由已知条件可得出 ，
将代数式 与 相乘，利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，由 可得 ，解得 ，
因为 ，则 ， ，可得 ，
由已知 、 ，所以，
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：D.
10．AC
【分析】构造函数 ，求导，计算出其单调性即可判断.
【详解】构造函数 ， ，
当 时， ， 时， ， 时， ，
在 处取最大值， ， ，
函数图像如下：， ，A正确；B错误；
， ，
，C正确，D错误；
故选：AC.
11．AC
【分析】根据当 时， 即可判断A；
利用导数讨论函数 在 上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；
结合选项A和对数函数的单调性可得 即可判断C；
利用作差法和结合选项B可得 ，根据C的分析过程可知 ，进而判断D.
【详解】A：当 时， ，所以 ，故A正确；
B：函数 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，所以 在 上恒成立，
即函数 在 上单调递增，故B错误；C：由选项A可知，当 时，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ；
当 时， ，得 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
即 ，所以 中最大的是a，故C正确；
D：
，
所以 ，由选项B可知函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
由选项C可知 ，有 ，所以 中最小的是c，故D错误；
故选：AC
12．BCD
【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将 代入 ，化简，利用基本不等式
求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.
【详解】对于A,因为 ，
即 ，解得 ，
又因为正实数 ， ，所以 ，则有 ，当且仅当 时取得等号，故A错误；
对于B， ，
即 ，解得 （舍） ，
当且仅当 时取得等号，故B正确；
对于C,由题可得 所以 ，解得 ，
，
当且仅当 即 时取得等号，故C正确；
对于D,
，
当且仅当 时取得等号，故D正确，
故选:BCD.
13．ABC
【分析】先求导，分析函数 的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大
小，利用函数 的单调性比较对应函数值的大小.
【详解】解：已知函数 （ 且 ），
则 ，则 ，
所以 ，故 在R上单调递增，A选项正确；
因为 为R上的增函数，所以 无极值，B选项正确；因为 是增函数，所以 ，
因为 是减函数，所以 ，
因为 是减函数，所以 ，
综上可知， ，又 为增函数，则 ，C选项正确，D选项错误；
故选：ABC.
14．BC
【分析】对A，直接运用均值不等式 即可判断；
对B， ，运用均值不等式即可判断；
对C， ，讨论二次函数最值即可；
对D， ，讨论最值即可.
【详解】 ， ，当 时，即 时，可取等号，A错；
，当 时，即 时，可取等号，B对；
，当 时，可取等号，C对；
，D错.
故选：BC
15．ABC
【分析】根据点 在椭圆 外，即可求出 的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断
A；
根据离心率求出 ，则 ，即可判断B；设上顶点 ，得到 ，即可判断C；
根据 利用基本不等式判断D.
【详解】由题意得 ，又点 在椭圆 外，则 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 ，即椭圆 的离心率的取值范围是 ，故A正确；
当 时， ， ，所以 的取值范围是 ，即 ，故B正
确；
设椭圆的上顶点为 ， ， ，由于 ，
所以存在点 使得 ，故C正确；
，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，
所以 ，故D不正确．
故选：ABC
16． /
【分析】由 结合 可得出 ，求出 的取值范围，利用不等式的基本性质可求得
的最大值.
【详解】因为 ，则 ，所以， 或 ， 或 .因为 ，所以， ，且 ，可得 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 .
故答案为： .
17．
【分析】根据不等式的性质判断 与 的大小关系是否满足不等式 ，从而可
结合线性规划求目标函数 的取值范围.
【详解】实数 ， 满足 ，且 ，
若 ，则 ，所以 ，又 ，所以 ，
则 ，即 ，则 ，所以 与已知矛盾，
故 ，要满足 ，则 ，
即 ，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：
设目标函数为 ，则 ，故直线 的纵截距的取值范围即可得 的取值范围，由可行域可得直线经过 时得纵截距的最大值，无最小值，又 ，所以 ，故 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
18．
【分析】分析可知命题“ ， ”为真命题，分 、 两种情
况讨论，结合已知条件可得出关于 的不等式（组），综合可求得实数 的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“ ， ”为真命题.
①当 时，可得 .
若 ，则有 ，合乎题意；
若 ，则有 ，解得 ，不合乎题意；
②若 ，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
19． / 0.25
【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数 的最大值.
【详解】因为 ，故 的图象关于 中心对称
当 时， ，
故 的图象如图所示：结合图象可得：只需当 时， 即可，
即 ，故 ，
故答案为： .
20．
【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到 ，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.
【详解】 ， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形 ，展开后，即可利
用基本不等式求最值.
21．【分析】根据直线 与 的一条渐近线平行，得到 ，再结合双曲线与椭圆共焦点得到 ，再
利用基本不等式求解.
【详解】解：设 的半焦距为c（ ），则 ，又 ，
所以 ，又直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ．
故答案为：
【三层练能力】参考答案
1．A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围， 利用基本不等式判断 的范围，构造新函数并利用
导数讨论函数的单调性求出 的范围，进而得出结果.
【详解】由 ，得 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ，即 ；
由 ，即 ；设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时 ，即 ，
当 时 ，即 ，
又 ，则 ，
所以 ，即 ，
综上， .
故选：A
2．A
【分析】把函数 有两个不同的极值点 转化为根的分布求出a的范围，
利用分离参数法得到 .把 转化为
，令 ，利用导数求出 的值域，
即可得到答案.
【详解】 ，
因为函数 有两个不同的极值点 ， ，
所以方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 ，解得 .
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.，
设 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，所以 .
因此实数t的取值范围是 .
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
3．C
【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数
的单调性去求 的取值范围即可解决
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，则 ，即
故选：C
4．AC
【分析】将已知转化为 ，通过构造函数法，结合导数判断当 时，
，进而构造函数 ，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求
导即可判断AB.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
构造
，
所以 ，
当 ，即 时，
分析 即可，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
构造 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以由 得 ，
所以 ，
故此时 ， D选项错误；
当 时， ，此时 ，
所以 可能成立，故C选项可能正确，
由 ，即 ，
构造 ，
所以 ，设 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以当 时，
即 ，
所以 ，
构造 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数 以及 ，利用
导数以及参数的范围进行判断.
5．ABD
【分析】对于A，取直线 ，讨论 与 的符号判断A；对于
B，C，令隔
离直线为 ，利用二次不等式恒成立计算判断B，C；对于D，函数 与 有
公共点 ，求出 在点 处的切线，再证明此切线与 图象关系作答.
【详解】对于A，取直线 ，当 时， ，即 成
立，
当 时，令 ， ，则 在 递减，在 上递增，
， ，即 成立，直线 是 与 的“隔离直线”，
A正确；
对于B，C，令 和 的“隔离直线”为 ，则 ， ，
则 ，有 ， ，有 ，当 时，不等式成
立，
当 时， 的对称轴 ，而 时， ，则 ，即 ，
显然 满足此不等式，有 ，而 ，解得 ，同理， ，B正确，
C不正确；
对于D，因 ，即 和 的图象有公共点 ，若 和 有隔离直线，则该
直线必过点 ，设过点 的直线方程为 ，即 ，由 ， ，
即 恒成立，则 ，解得 ，即这条直线为 ，
令 ，求导得： ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上递增，
，即 ， ，
和 之间存在唯一的“隔离直线” ，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
6．ABD
【分析】根据给定条件，求出抛物线 的方程，确定四边形 形状，利用勾股定理及均值不等式计算
判断A，B；设出直线 的方程，与抛物线方程联立，求出弦 长即可计算推理判断C，D作答.
【详解】依题意， ，解得 ，即抛物线 ： ，焦点 ，准线方程为： ，直线
， 与坐标轴不垂直，
因为 ， ，则四边形 为矩形，有 ，
当且仅当 时取等号， ，即四边形 面积的最大值为2，A正确；
因为 ，则 ，
当且仅当 时取等号，因此四边形 周长 的最大值为 ，B正确；设直线 方程为： ， ，由 消去y得： ，则
，
，同理 ，
因此 ，C错误；
四边形 面积 ，
当且仅当 时取等号，所以四边形 面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形
上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
