文档内容
2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(2)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 可得抛物线标准方程为： ， 其焦点坐标为 .
故选：D.
2．二项式 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以常数项为 ，
故选：A
3．已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ， .
故选：A．
4．若古典概型的样本空间 ，事件 ，甲：事件 ，乙：事件 相互独
立，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ， ，则 ，
而 ， ，
所以 ，所以事件 相互独立，反过来，当 ， ，
此时 ， ，满足 ，
事件 相互独立，所以不一定 ，
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
5．若函数 为偶函数，则实数 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数 为偶函数，
可得 ，即 ，
解之得 ，则 ，
故 为偶函数，符合题意.
故选：C
6．已知函数 的图象恰为椭圆 x轴上方的部分，若 ， ，
成等比数列，则平面上点（s，t）的轨迹是（ ）
A. 线段（不包含端点） B. 椭圆一部分
C. 双曲线一部分 D. 线段（不包含端点）和双曲线一部分
【答案】A
【解析】因为函数 的图象恰为椭圆 x轴上方的部分，
所以 ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以有 ，且有 成立，
即 成立，
由 ，
化简得： ，或 ，
当 时，即 ，因为 ，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；
当 时，即 ，
因为 ，所以 ，而 ，所以 不成立，故选：A
7．若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，解得 ，
所以，
.
故选：C.
8．函数 ，若 恰有6个不同实数解，正实数
的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知，
的 实 数 解 可 转 化 为 或 的 实 数 解 ， 即
，
当 时，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
如图所示：所以 时 有最大值：
所 以 时 ， 由 图 可 知 ，
当 时，因为 ， ，
所以 ，
令 ，则
则有 且 ，如图所示：
因为 时，已有两个交点，
所以只需保证 与 及与 有四个交点即可，
所以只需 ，解得 ．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 是关于x的方程 的两根，则下列说法中正确的是
（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】 ，∴ ，不妨设 ， ，
，A正确；，C正确；
，∴ ， 时， ，B错；
时， ， ，计算得 ，
， ，同理 ，D正确．
故选：ACD．
10．四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂直， ， ，动点 在线段
上，则（ ）
A. 不存在点 ，使得 B. 的最小值为
C. 四棱锥 的外接球表面积为 D. 点 到直线 的距离的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A：连接 ，且 ，如图所示，当 在 中点时，
因为点 为 的中点，所以 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
因为 为正方形，所以 .
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，所以A错误；
对于B：将 和 所在的平面沿着 展开在一个平面上，如图所示，则 的最小值为 ，直角 斜边 上高为 ，即 ，
直角 斜边 上高也为 ，所以 的最小值为 ，所以B正确；
对于C：易知四棱锥 的外接球直径为 ，
半径 ，表面积 ，所以C错误；
对于D：点 到直线 的距离的最小值即为异面直线 与 的距离，
因为 ，且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 ，
因为 平面 ，所以 ,又 ,且 ,
故 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离，
即为 的长，如图所示，
在 中， ， ，可得 ，
所以由等面积得 ，即直线 到平面 的距离等于 ，所以D正确，
故选：BCD.
11．今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调
动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大
小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿
球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的
是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
【答案】ACD
【解析】设 ， ， ，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，
设 表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：
，故A正确；
在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：
，故B错误；
由题意可知， ，
，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
，故C正确；
因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，
则 ，
，
，
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球 的机会最小，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且 ，若，则 ____________．
【答案】11
【解析】因为 ，边 的中点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，故 .
故答案为：11
13.已知圆锥 的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为______时，圆锥的体积最大，
最大值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】设圆锥的底面半径为 ，圆锥的母线与底面所成的角为 ，易知 .
圆锥的体积为
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，此时 .
故答案为： ；
14.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线
的右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ， 的内心，则当
时， ____________； 内切圆的半径为____________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】由双曲线方程知 ，如下图所示：由 ，则 ，
故 ，
而 ，所以 ，
故 ，
解得 ，所以 ，
若 为 内切圆圆心且 可知，以直角边切点和 为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义内切圆半径
所以 ；
即 内切圆的半径为 ；
故答案为： ， ；
