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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(3)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．有一组按从小到大顺序排列 的数据：3，5， ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的
中位数为（ ）
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 6.5
【答案】B
【解析】依题意可得极差为 ，平均数为 ，
所以 ，解得 ，
所以中位线为 .
故选：B.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，得 或 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
3．已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量 ，则
（ ）
A. B. C. 3 D. 7
【答案】B
【解析】由已知可得， 在 上的投影向量为 ，
又 在 上的投影向量 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
4．如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧
面积的2倍， ，则 （ ）A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】设两圆锥的高 ， ，则 ， ，
由 ，有 ，
可得 ，可得 ，
又由上下圆锥侧面积之比为 ，即 ，
可得 ，则有 ，即 ，
代入 整理为 ，解得 （负值舍），
可得 ， ．
故选：C．
5．已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】设 ，由 ，则 ，
由 在直线 上，故 ，
化简得 ，即 轨的迹为 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
6．已知 ，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D.
【答案】C
【解析】在 中，
而 ，
由二项式定理知 展开式的通项为 ，令 ，解得 ，令 ， ，
故 ，
同理令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 ，故 .
故选：C
7．已知 为抛物线 上一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：
因为 ， ，
设 ，
则 ，
当 时， 取得最小值 ，
此时 最大， 最小，
且 ，故C正确.
故选：C
8．已知函数 的定义域为 为 的导函数且
，若 为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 5
C. D.
【答案】D
【解析】对于D， 为偶函数，则 ，
两边求导可得 ，则 为奇函数，
则 ，令 ，则 ， ，D对；对于C，令 ，可得 ，则 ，C错；
对于B， ，可得 ，
可得 ，
两式相加可得 ，
令 ，即可得 ，B错；
又 ，
则 ，
，可得 ，
所以 是以 为周期的函数，
所以根据以上性质不能推出 ，A不一定成立.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若 ，则 的最大值为2
D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
因为 的等号成立条件 不成立，所以B错误；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
10．若函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为πB. 的图像关于直线 对称
C. 的最小值为-1
D. 的单调递减区间为
【答案】BCD
【解析】由 得 的定义域为 .
对于A：当 时， 不在定义域内，故 不成立，易知
的最小正周期为 ，故选项 错误；
对于B：又 ，所以 的图像关于直线
对称，所以选项 正确；
对于C：因为 ，设 ，所以函数转化为
，
由 得， . 得 .所以 在 上单调递减，在 上单调递
增，故 ，即 ，故选项 正确；
对于D：因为 在 上单调递减，在 上单调递增，由 ，令 得
，又 的定义域为 ，解得 ，
因为 在 上单调递增，所以 的单调递减区间为 ，
同理函数的递增区间为 ，所以选项D正确.
故选：BCD.
11．已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，则（ ）
A. 当 时， B.
C. 数列 单调递增， 单调递减 D. 当 时，恒有
【答案】ACD【解析】由题意可得： ， ，
由 可知： ，但 ，
可知对任意的 ，都有 ，
对于选项A：若 ，
则 ，
即 ，故A正确；
对于选项B： ，
即 ，故B错误.
对于选项C：因为 ， ，
则 ，且 ，
可知 是等比数列，则 ，
设 ， ，
可得 ， ，
因为 ，可知 为递增数列，
所以数列 单调递增， 单调递减，故C正确；
对于选项D：因为 ， ，由 ，可得 ，即 ，则 ，即 ；
由 ，可得 ，即 ，则 ，即 ；
以此类推，可得对任意的 ，都有 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在 （其中 ）的展开式中， 的系数为 ，各项系数之和为 ，则
__________.
【答案】5
【解析】由题意得 的展开式中 的系数为 ，即 ，
令 ，得各项系数之和为 ，则n为奇数，且 ，
即得 ，
故答案为：5
13.已知椭圆 的左、右焦点分别 ， ，椭圆的长轴长为 ，短轴长为
2，P为直线 上的任意一点，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】由题意有 ， ， ，
设直线 与x轴的交点为Q，
设 ，有 ， ，
可得 ，
当且仅当 时取等号，可得 的最大值为 .
故答案为：14.已知四棱锥 的底面为矩形， ， ，侧面 为正三角形且垂直于底面
，M为四棱锥 内切球表面上一点，则点M到直线 距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取 的中点为H， 的中点为N，连接 ， ，
，
球O为四棱锥 的内切球，
底面 为矩形，侧面 为正三角形且垂直于底面 ，
则平面 截四棱锥 的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为 的内切圆，半径为r，与 ， 分别相切于点E，F，
平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
为正三角形，有 ， 平面 ，
平面 ， ，
， ，则有 ， ， ，
则 中， ，解得 .
所以，四棱锥 内切球半径为1，连接 .
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，可得 ，
所以内切球表面上一点M到直线 的距离的最小值即为线段 的长减去球的半径，
又 .
所以四棱锥 内切球表面上的一点M到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：
