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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(10)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，
则.这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7
【答案】D
【解析】数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故选：D．
2．圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为圆心在 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为 ，
则圆的方程为 ，又点 在圆上，
所以 ，解得 ，
所以所求圆的方程为 ．
故选：A
3．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 20 B. 16 C. 14 D. 12
【答案】D
【解析】∵ 是等差数列，
∴ ， ，所以 ，
∴公差 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四
棱锥．已知每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设每个直三棱柱高为 ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为 ，设正四棱台的高为 ，因为每个直三棱柱的体积为 ，每个四棱锥的体积为 ，
则 ，可得 ，可得 ，
所以，该正四棱台的体积为 .
故选：C.
5．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长
的乘积．如图， ， 为椭圆 ： 的左、右焦点，中心为原点，椭圆 的
面积为 ，直线 上一点 满足 是等腰三角形，且 ，则 的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知， ，即 ， 是以 为顶角的等腰三角形，
则有： ， ， ，
所以 ，又因为 ，即 ， ，
可得： ，解得 ，故离心率为 ．
故选：B．
6．如图，在边长为2的菱形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，且 ，
若 ，则 （ ）A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】设 ，可得 ，
有 ， ，
故
，
又由 ，有 ，解得 ， （舍），
故 为边 ， 的中点，所以 为等边三角形，故 ．
故选：C．
7．如图，在正方体 中， ， 是正方形 内部(含边界)的一个动点，
若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若 ，则 为 中点， 为等腰直角三角形，外接圆半径为 ，三
棱锥 外接球的球心到平面 的距离为 ，则外接球的半径为 ，所以三棱锥
外接球的表面积为 ，A选项正确；
故选：A
8．方程 所有正根的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，令 ，则 ，即 ，
所以 或 ，
当 时，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时，即 ，
则 ，
因为 是奇数，所以 也是奇数，不成立；
所以方程所有正根的和为： ,
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．函数 的图象如图所示，将其向左平移 个单位长度，得到
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数 的图象关于点 对称
C. 函数 的图象关于直线 对称 D. 函数 在 上单调递减
【答案】ABD
【解析】函数 ，当 ，
此时 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
，所以 关于点 对称，故B正确；
函数图象向左平移 个单位长度后得到 ，
，当 时， ，所以函数 的图象不关于直线 对
称，故C错误；
，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，故D正确.
故选：ABD
10．已知复数 满足 ，则（ ）
A. 的实部为
B. 的虚部为
C. 满足： 的复数 对应的点所在区域的面积为
D. 对应的向量与 轴正方向所在向量夹角的正切值为
【答案】AC
【解析】由 ，
则 ，
所以 的实部为 ，虚部为 ，故A正确，B错误；
因为 ，
则 ，设 ，
则 ，即 ，
所以复数 对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域（包括圆），
则所在区域的面积为 ，故C正确；如图， 对应的向量为 ，
则向量 与 轴正方向所在向量夹角的正切值为 ，故D错误.
故选：AC.
11．在平面直角坐标系 中，圆 ，点 为直线 上的动点，则
（ ）
A. 圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为
B. 已知点 ，圆 上的动点 ，则 的最小值为
C. 过点 作圆 的一条切线，切点为 可以为
D. 过点 作圆 的两条切线，切点为 ，则直线 恒过定点
【答案】ABD
【解析】选项A，由题意知，圆心 到直线的距离为 ，圆的半径为 ，
由 ，
如图可知与直线 平行且与直线 距离为 的其中一条直线 与圆相交，有两个公共点，
另一条直线 与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线 的距离为 ，故A正确；
选项B，设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ，则 ，
即 的最小值为 ，故B正确；
选项C，由切点为 ，则在 中， ，
当 最小时， 取最大值， 最大，
过点 作 ，垂足为 ，此时 最小，最小值为 ，
即 最大值为 ， 最大为 ，不可能为 ，故C错误；
选项D，设点 ，切点 ，
可得切线 方程为 ，由点 在切线上，得 ，
同理可得 ，
故点 都在直线 上，
即直线 的方程为 ，
又由点 在直线 上，则 ，
代入直线方程整理得 ，
由 解得 ，即直线 恒过定点 ，故D正确.
.
故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 的展开式中 的系数为__________．（用数字作答）
【答案】
【解析】 的通项公式为 ，
令 得， ，此时 ，
令 得， ，此时 ，
故 的系数为
故答案为：
13.如图，圆锥底面半径为 ，母线PA＝2，点B为PA的中点，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行
一周，到达B点，其最短路线长度为________，其中下坡路段长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为 ，故圆心角∠APB＝ ，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝ ＝ ，
cos∠PBA＝ ＝ ；
过P作AB的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝ ．
故答案为： ， .
14.设严格递增的整数数列 ， ，…， 满足 ， .设 为 ， ，…，
这19个数中被3整除的项的个数，则 的最大值为________，使得 取到最大值的数列
的个数为________.
【答案】 ①. 18 ②. 25270
【解析】第一个空，设某个数除以 余数为 ，则称该数模 余 ( ， 均为整数，且 )，
为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这
样的组合，这样它们之和才会被3整除.
而 ， 均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，
例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，
所以 的最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满
足要求的20个数.
第一步，在 到 这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻
数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得 的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一
个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来
时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有 种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的
19个数中，由 种，共有 种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有 种，此时加回来的数必定是删去的
两端之一中的1或40，有1种选法，共 种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一
个数，而对于删去的数，假设为 ，它旁边两个数分别为 ，即排列为 ，在第三步捆绑时，
可能捆绑的组合为 ，然后删去，再补回 ；或者为 ，然后删去，再补回 ，这两种删去方式
结果相同.
综上，共有 种.
故答案为：18；25270
