2025届四川省巴中市高三9月零诊考试-数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年09月试卷_09212025届四川省巴中市高三9月零诊考试

巴中市高 2022 级零诊考 试 数学参考答案与评分标 准 一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分. 答 案 ： 1 .C;2.A;3.B;4.D;5.A;6.B;7.C;8.B. 二 .多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符 合题 目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0 分. 答 案 ： 9 .ABD; 10.AC; 11.BC. 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 答案：12.-32; 13.80π; 14.[ √5,3]. 四.解答题：本大题共5小题，共77分. 15. (本小题满分 13 分，第(1)问 6 分，第(2)问 7 分) 已知数列{a,}的首项 ,且满足 (1)证明：数列 为等比数列； (2) 求满足条件的最大整数n. 解：(1)由 且 知 a,>0 … … … … … … … ………2 · 分 ………………… 变形 )…………… ………4分 由 得 1… …… ………………………… ………………5 分 ∴ 数 列 是以1为首项， 为公比的等比数列…………………………6 分 (2)山(1) , ...……… …… 7 分 · · …… … 8 分 等价于 即 7… … …… …… ……………… …….…9 分 ",则 ∴f(n) 单调递增… ………… …………… ………………… … … 10 分 , …………………… …………………11 分………… … ………………… …12 分 ∴ 使f(n)<47 成立的最大整数为47 数学答案与评分标准第1页(共7页)∴ 使 的最人整数为 …13分 … 47.. 16.(本小题满分15分，第(1)问7分，第(2) 问8分) 在直二棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1,AA =2,∠ABC=90°, D在BB₁上，且 . (1)证明：AC⊥AD: (2)当四棱锥A-BCC₁D的体积为 时，求平面AC₁D与 平面 ABC 所成二面角的正弦值. 解 ： (1)证明 连结A₁B,在矩形ABB₁A中 ，AA=2,AB=1, ∴tan ∠ADB=2=tan∠ABA,故∠ADB=∠ABA … … … ……2 又∠ADB+∠BAD=90°,故∠ABA₁+∠BAD=90° 分 . ∴AD⊥A₁B… … ……………………… ∵AB⊥BC,BB⊥CB …3 AB,BB₁c平面 ABB₁A,AB∩BB₁=B ∴BC⊥平面ABB₁A₁ … … … … …4 …… 又ADC 平面 ABB₁A,故BC⊥AD……… …………… …… … … …5分 ∵AD⊥A₁ B、AD⊥BC,BC,A₁BC平面ADC₁,H.BCNAB₁=B ∴AD⊥ 平面 A₁BC …………… …………… …6分 又ACc 平面A,BC,故AC⊥AD………………7分 (2)由题意知，AB,BC,BB₁两两垂直 以B为原点，以向量BC,BA,BB ₁分别为 轴 的正方向建立空间直角坐标系 设BC=a(>0),出 AA₁=2AB=2, 得： C(a,0,0),A(0,1,0),B(0,0,2), A,(0,1,2),C₁(a,0,2) … … … ……………………8分 由题意可知AB⊥平面BCC₁B₁,平面ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1)……………9分 解得BC=3……… ………10 分 ,AC₁=(3,-1,2) … … … …… … …11 分 设平面AC₁D的一个法向量为ū=(x,y,z) 由 取y=1得M=(-1,1,2) … … …13分 得 … …… ……………14 分 设平而AC₁D与平面ABC 所成二而角的大小为0,则∴平面AC₁ D与平面iABC所成二面角的正弦值为 … ……… 15分 注：第(1)问也可用坐标法证明. 17. (木小题满分15分，第(1)问7分，第(2)问8分) 数学答案与评分标准第2页(共7页)在锐角△ABC中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 若a - c =2 ccosB. (1) 证明：B =2C; (2) 若a=2,求 的取值范围. 解 ： ( 1 )方法一 山 a -c =2 ccosB 与正弦定理得 sinA -sinC =2 sinCcosB ……………………………1 分 又sin A=sin [π-( B + C)]= sin (B+ C )=sin BcosC +cos BsinC ……………………… 3 分 ∴ sinC = sin BcosC -sinCcos B =sin(B -C) ………………………………………4 分 由 0 ………………………………………………………5 分 < C=B-C,故 B = 2 C………………………………………………………………7 分 方法二 山 a -c =2 ccos B及余弦定理得a- c =2c · 化简得b²- c ²=ac ………1 分 由上式及正弦定理得sin² B - sin ² C = sin AsinC ……………………………………… 2 分 …………………………3 分 又cos2 C= cos [(B+ C )-( B- C)]= cos(B + C)cos (B- C )+ sin (B+ C )sin( B- C) cos 2B= cos [(B+ C )+( B- C)]= cos ( B+C )cos(B - C)- sin( B+ C)sin (B -C) ∴ sin² B-sin²C=sin(B+C)sin(B-C) ∴ sinAsinC = sin (B+C)sin (B-C) ……………………………………………………4 分 由 B +C =π- A,0< C,B, 知sin(B+C)= sinA>0, ……… 5 分 ∴ sinC = sin(B -C) ……………………………………………………………………6 分 ∴C=B-C, 故 B = 2 C………………………………………………………………7 分 (2) 方法一 由正弦定理及a =2 事 …………………………………………………… 分 由 ( 1 )知 B = 2C , 故sinB =2 sinCcosC ……………………………………………9 分 1 0 分 由sin A= sin (B+ C )=sin BcosC +cos BsinC =2 sinCcos ² C+(1-2 sin ² C )sinC ……11分 1 2 分 …………………………………… 由 0 0, A (x , y ),B (x₂, y ₂), M (x₀, ₀) 由 ’消去x 得 y²-4 my-4=0,显然△=16(m²+1)>0恒成立 ,y₁ y₂=-4 ………………………………………………………6分 ①方法一 h题意得M₁(-1,2 m), B ₁(-1, y₂) ∵ M, A=( x₁+1, y -2 m), B ₁ F =(2,- y₂), y ²=4x ……………………………7 分 ∴ AM,// FB , 故AM₁// FB₁…………………………………………………… 10分 ②由 yo=2 m得x =myo +1=2 m²+1 设P(t,0),由MP⊥AB得kmw· kpw=-1,故 ………… 11分 解得t =2 m²+3,故 |FP |=2 m²+2 …………………………………………………12分 ∴ △FPM 的面积 … … … … … … … … … … … … … 13 由△FPM 的面积为4得m(2 m²+2)=4,即m( m²+1)=2 ………………………14 分 设f(m)= m³+ m- 2 , 则f'( m)=3 m²+1>0, f (m)在(0,+0)上单调递增……15分 又f(1)=0,故 f (m)在(0,+)内有唯一零点m =1数学答案与评分标准第4页(共7页)即方程m( m²+1)=2有唯一解m =1 … … … … … ……………………16 分 ∴ 直线1的方程为x - y - 1=0. … … … … … … …………… … … … 17分 由 ( 1 ) 知 ，曲 线C 是以F 为焦点，x =-1为准线的 抛物线 ①方法二 . 由 M 为AB的中点且MM₁⊥M₁B 得 a … …..8 ∴ 等腰三角形△BBF∽△M₁MA …..B 9 …10 … 方法三 设A(s²,2 s), B (t²,21)( I<0< s ) , 则 Yw=8+t, ,B₁(-1,2r),M₁(-1,s+t) … … 6分 由 A ,F , B 共线得kFg=kpH 化简得(st +1)t - s) = 0 , 故st = - 1 … … … … … … 7分 … …………………8分 , 故kFg= kAM, … … … … … … … 9 分 ∴ AM₁// FB₁………………… ………… … ……… ……10分 19.( 木小题满分 17 分，第(1)问 4 分，第(2)6 分，第(3)7 分) 已知函数f (x)= xInx - a( x²-1). (1) 若曲线y = f( x)在点(1,0)处的切线方程为x + y- 1=0,求实数a 的值； (2) 当x>1时f (x)<0恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明： 解：(1)f(x)=1+Inx -2 ax , 故f'(1)=1-2 a ………………………… ………………………1分 曲 线y= f( x)在点(1,0)处的切线方程为x + y -1=0 乂直线x + y -1=0的斜率为-1……………………… … …………………2分 ∴f'(1)=-1,故-1=1-2a ………… ……………………………………………3分 a=1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4分 (2) 由x>1时 f(x)<0即xlnx - a (x²-1)<0( x>1) 等价 (x>1) … … … … … … … … … … … ………… ………… 5分 1), 则 方法一 令h(x)=ax²- x+ a ( x>1) 若a≤0,则当x >1时h(x)<0恒成立，此时g '(x)<0, g (x)是减函数……………6 分 ∴ 当x>1时， g (x)< g(1)=0,不个题意… … … … … … … ………… 7分 若 a>0,△=1-4a² 当△>0,即 1-4a²>0 时，0<2a <1数学答案与评分标准第5页(共7页)出h(x)=0且x₁x₂=1知 事 1………………8 分 ∴当1 g (1)=0 综上可知，a 的取值范围是₂,+0) ………………………………………………10分 方法二 ∵g(1)=0, H.g(x)>0( x >1) ∴ g'(1)=2a-1≥0,解得 7 分 下证当 且x>1时，恒有f (x)<0 ; 由x>1可知， ∴ 当 时 ， ) …………………… 8分 , 则 故h(x)在(1,+0)上单调递增 4 ∴ h(x)>h(1)=0,故x>1时 f (x)<0恒成立…………………………………… 9 分 综上可知，a 的取值范围足t ₂,+0) ………………………………………………10分 方法三 由x>1知x²-1>0, …………………………………6 分 令 ), 则 1) 令G(x)= x²-1- x ² Inx -Inx , 则 令 , 则 当x >1时 ),H(x) 单调递减…7 分 ∴ G(x)=H(x)1时，恒有 …………………………………… 11分 令x= √ (t>1)得 ), 等 t>1) …………………12分 变形得 ∴ 当k≥2时， ………………… 13分 , 又当k≥2时， )………………………… 14分 当k≥2时， …………………………………… 1 5 分 数学答案与评分标准第6页(共7页)=2(√ n-1)=2√ n -2 ………………………………………… 16分 : · (n∈N*) ………………………………………………………17分 方法二 设T,=2 √n 是数列{a,}的前n 项和，则 2√n-2=T₁-《₁=a₂+a₃+ …+ an ……………………………………………………12分 故欲 只需记 (k≥2) 13分 ……………………………………………………………………… 由k≥2知，只需证( √k +√ k -1) lnk <2 k-2 ……………………………………… 14分 由k≥2知，( √k+√ k -1)<2√ k,故只需证 √k Ink < k-1 …………………………15分 山(2)知， 当 , x > 1 时 ，恒 有 …………………………… 16 分 取x= √k ,k ≥2得 故 √k Ink < k -1成立 ∴ 原不等式成立……………………………………………………………………17分 方法三 由 得 故 ……………………… 11分 ∴ 当n=2时，原不等式成立 假设当n =k , 且n≥2时原不等式成立 成立…………………………………………12分 那么n =k+1时， 由 得 , 故 ………………………13分 由重要不等式知2 √k(k+1)< k +( k+1)=2 k+1 · 15 ………………………………………… · 即 n =k +1时，原不等式也成立…………………………………………………… 16分 综上可知，对一切不小丁2的正整数 n,都有 成立………………17分 数学答案与评分标准第7页(共7页)