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2026-2027 学年度福建省福州市高三一轮复习阶段性检测
数学科试卷参考答案
一、单选题：每小题 5 分，满分 40 分。
1. B
2. C
3. C
4. C
5. B
6. D
7. C
8. C
二、多选题：每小题 6 分，满分 18 分。全部选对得 6 分，部分选对
得部分分，有错选得 0 分。
9.BC
10.ABD
11.BCD
三、填空题：每小题 5 分，满分 15 分。
12. 2或8
13. 8π
14.
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：共 5 小题，满分 77 分。
15.（13 分）（7+6）
（1）证明：
设 ， ， ，则 构成空间的一个基底。则
， 。
∴
∴
（2）解：
由已知可得： ∴ ∴ 的长为
16.（15 分）（6+3+6）
（1）
由已知可得圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半
径 。
所以两圆心之间的距离 。
∵
∴ 圆 与圆 外离
学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
（i）当直线 斜率不存在时，则直线 。
∵ 到直线 的距离与圆 半径相等
∴ 直线 符合题意
（ii）当直线 斜率存在，设直线 。
则 到直线 的距离 ，解得 。
∴ 直线
综上所述，直线 的方程为 或
17.（15 分）（5+10）
（1）
设椭圆 的方程为 （ ）。
则由题意可得： ， 。
解得 ， ， 。
∴ 的离心率为
学科网（北京）股份有限公司（2）
将椭圆 向右平移两个单位得到椭圆 ： ...①
设平移后的直线 ： （ ）...②
联立①②可得： 。
整理可得： 。
∴ 直线 与直线 的斜率之和为 。
∵ 为定值。
∴ （ ）。
整理可得： 。
∴ 直线 恒过 。
∴ ，即
18.（17 分）（4+5+8）
（1）证明：
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 。
又 平面 ，平面 平面 ，
∴ 。
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
学科网（北京）股份有限公司（2）解：
记 中点 ，因为 ，所以 。
∵ ， ， ， ，
∴ 。
∵ 面 面 ，面 面 ， ，
∴ 面 ，又 平面 ，
∴ 。
∴ 以 为原点，以 、 、 方向为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系。
由题意得： ， ， ， 。
∴ ， ， 。
设平面 的法向量 ，
∴ ， 。
令 ，则 ， ， ， 。
∴ 点 到平面 的距离
（3）
由（2）得， ，由题意得 ，
所以 ， 。
∴ ， 。
同理可得平面 的法向量 。
令 ， ，
∴ 。
由图中已知平面 的一个法向量 。
学科网（北京）股份有限公司令平面 与平面 的夹角为 ，
∴ 。
要使 ，则 。
整理可得： 。
令 ， ，
则只要证得在 内， 与 图像有且仅有1个交点，则原命题得证。
，当且仅当 时，等号成立。
∵ ，
∴ 在 内的最小值为 ，此时 。
∵ ，
又∵ 由对勾函数图像性质和偶函数的性质可推出 在 上单调递增，由
、 是减函数可得 在 上单调递减，
∴ 与 在 上有且仅有一个交点。
又 ， 与 在 上单调递减，
∴ 与 在 上无交点。
∴ 与 在 内有且仅有一个交点，原命题得证。
学科网（北京）股份有限公司19.（17 分）（4+8+5）
（1）
由题意得： ， ， 。
解得 ， ， 。
∴ 双曲线 的方程为： ...①
（2）
（i）当 ， ， ， 四点共圆时，则 。
设 ...②， ， 。
联立①② 得： 。∴ ...③，
...④，
∴ ...⑤。
∵ ， ，
∴ ， 。
（一）若 ：∴ 。
∵ ，
∴ ...⑥。
联立②③④⑤⑥可得：方程无解，
∴ （一）情况不符合题意。
学科网（北京）股份有限公司（二）若 ：∴ ， 轴。
由双曲线的对称性可得： 。
由 可得： ，即 ， ， ，
四点共圆，
∴ （二）满足题意。
由 ， 可得此时圆的标准方程为：
。
综上所述，当 ， ， ， 四点共圆时，该圆的标准方程为
。
（3）
由（2）可得：
， 。
不妨设线段 中点为 ，
∴ ，即 。
由 及 点坐标可得直线 的方程为 ，
∴ 必过定点 。
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