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2027 届高三开学模拟测试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集 ，集合 , ,则
A． B．
C． D．
2． 是虚数单位， ，则复数 的模
A．1 B． C． D．2
3．已知 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
4．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得 ， ，则
椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的部分图象如图所示， ， 是图象与 轴的交点，且
， ， ．则 （ ）
1
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}A． B． C． D．
7．将数列 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16 分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为
4且公差为 的等差数列，则 的最大可能值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．已知函数 ，若存在正实数 ， ，使得 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对
的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若随机变量 满足 ，则
B．数据 ， ， ， ， ， 的 分位数是
C．若随机变量 ， ，则
D．当相关系数 时，样本点都落在同一条直线上
10．数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 的前n项和
C．数列 的通项公式为 D．数列 为递减数列
2
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}11．已知曲线 ，点 在 上， 为坐标原点，则（ ）
A．
B． 的取值范围是
C．直线 与 有且仅有4个交点
D．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在 的展开式中， 的系数为_________．（用数字作答）
13．已知过点 作圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则直线 必过定
点________．
14．已知三个数 ， ， 成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不
等式 成立的自然数 的最大值为 __________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在等差数列 中，已知 ， .
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16．如图，在斜三棱柱 中， ，且三棱锥 的体积为 .
3
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}(1)求三棱柱 的高；
(2)若平面 平面 为锐角，求二面角 的余弦值.
17．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， 为 边上一点.
(1)若 为 的中点，且 ，求 的长；
(2)若 平分 ，且 ，求 的面积.
18．已知椭圆方程E： 的左焦点为F，直线 （ ）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，
直线 与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D．
(1)设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为常数；
(2)求 面积的最大值．
19．已知函数 （ ）．
（1）若 ，求证：当 时， ；
（2）若 ，其中 ，求证：
4
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}
