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2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试
数学参考答案
注意事项：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。
2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在
答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C D A D C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题不止一个选项符合题意。全
部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分。
9 10 11
AD ABC ACD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横线上。
12 13 14
√6 𝐴𝐴 = 6;𝑓𝑓(0)= 2 𝑗𝑗 =3
e =
6
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤。
15.(13分)
(1) 证明：在 中， 、 分别为 、 中点，
由三角形中位△线𝐴𝐴定𝐴𝐴𝐴𝐴理得：𝐷𝐷 𝐸𝐸 （1分𝐴𝐴）𝐴𝐴 。𝐴𝐴 𝐴𝐴
𝐷𝐷𝐸𝐸 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
数学参考答案 第 1 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司又 平面 （1分）， 平面 （1分），
根据𝐷𝐷𝐸𝐸线⊄面平行𝐴𝐴的𝐴𝐴判𝐴𝐴1定𝐴𝐴1定理，可得 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊂平面 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴1（1分）。
证毕。 𝐷𝐷𝐸𝐸 ∥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1𝐴𝐴1
原本有5个条件为了便于批改简化为3个主要条件，一个1分，结论1分，共4分。
(2) 解析：因为几何体为直三棱柱，所以侧棱 底面平面 （1分）。
由线面角定义：斜线 与平面 所成角为𝐴𝐴𝐴𝐴其1 ⊥射影 与 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 的夹角，即
∠ （2分）。
𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴1
∘
在 𝐴𝐴1𝐴𝐴𝐴𝐴 = 45 中，∠ ∠ ，
∘ ∘
故 Rt△𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴为1等腰直角𝐴𝐴1三𝐴𝐴𝐴𝐴角=形9，0 , 𝐴𝐴1𝐴𝐴𝐴𝐴 = 45（2分）。
由于△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴1 ，∠ 𝐴𝐴𝐴𝐴，= 𝐴𝐴𝐴𝐴1 = 2
∘
根据勾𝐴𝐴𝐴𝐴股=定𝐴𝐴理𝐴𝐴：= 2 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 90 （2分）。
2 2 2 2
又因为 为 𝐴𝐴中𝐴𝐴点=，√所𝐴𝐴𝐴𝐴以 +𝐴𝐴𝐴𝐴 = √2 +2（=2分2√）2。
1
𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 2𝐴𝐴𝐴𝐴 = √2
16.（15分）
(1) 解析：由余弦定理 （2分）
2 2 2
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝐴𝐴𝐴𝐴 −2∙𝐴𝐴𝐴𝐴∙𝐴𝐴𝐴𝐴 ∙cos𝐴𝐴
代入已知数据，得 （1分）
2 2 2 √3
故 （1分𝐴𝐴）𝐴𝐴。= 2 +(2√3) −2×2×2√3× 3 = 4+12−8 = 8
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2√2
(2) 解析：由 ，且 ，所以 （2
√3
2
1 √6
分）。 cos𝐴𝐴 = 3 𝐴𝐴 ∈ (0,𝜋𝜋) sin𝐴𝐴 = �1−(cos𝐴𝐴) = �1−3 = 3
由 ，得 （1分）。
在 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 𝐷𝐷中=，2根√据2 余弦𝐴𝐴定𝐷𝐷理=：2𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4√2 （2分）
2 2 2
△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 +𝐴𝐴𝐷𝐷 −2⋅𝐴𝐴𝐴𝐴⋅𝐴𝐴𝐷𝐷⋅cos𝐴𝐴
，得 （2分）。
√3
= 由正 4+ 弦 4 定 8 理 − ： 2×2×4√3× 3（ = 2 5 分 2− ） 1 6= 36 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 6
∠
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴
sin 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = sin𝐴𝐴
所以 ∠ （2分）。
√6
𝐴𝐴𝐴𝐴⋅sin𝐴𝐴 2×3 √6
sin 𝐴𝐴𝐷𝐷𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 6 = 9
数学参考答案 第 2 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司17.（15分）
(1) 解析：投篮结果互斥：3分（概率为 ）、1分（概率为 ）、不中，概率和为1。
2
不中 𝑝𝑝 𝑝𝑝
2
𝑃𝑃代(入 )=，1−𝑝𝑝 −𝑝𝑝 （3分）。
1 1 1 1
𝑝𝑝 = 2 𝑃𝑃 = 1−4−2 = 4
(2)(i) 解析：题目前置条件“在选手 经过 次投篮恰好每次都命中并获得 分的条件下”
𝐴𝐴 𝑋𝑋 6
所以在命中条件下：
命中三分的概率 ，
𝑝𝑝
2 1
𝑝𝑝
𝑃𝑃1 = 𝑝𝑝+2 = 3
命中一分的概率 （1分）
2
满足总分为 分的𝑃𝑃2全=命3中次数 （1分）
6 𝑋𝑋 = 2,4,6
（1分）
2
1 1
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2)= �3� = 9
（1分）
3
2 1 32
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 4)= 4×�3� (3)= 81
（1分）
6
2 64
所 𝑃𝑃( 以 𝑋𝑋 = 6)= �3� = 729 （1分）
总
1 32 64 433
由于𝑃𝑃我们=要9求+条81件+分72布9 =率7，29所以真实的情况为
（1分）
1
9 81
433
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2)=
729
=433
（1分）
32
81 288
433
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 4)=
729
=433
（1分）
64
729 64
433
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 6)=
729
=433
数学期望： （2分）
81 288 64 1698
𝐸𝐸(𝑋𝑋)= 2⋅433+4⋅433+6⋅433= 433
(2)(ii) 解析：本题采用特殊值说明的方法
1. 当 时，选手A三分概率 极小，得分效率低，后手B得分稳定性更强，后手
1 2
胜率更高；
𝑝𝑝 →3 𝑝𝑝
2. 当 时，先手A率先出手，积累分数更快，先手胜率更高；
1
结论： 𝑝𝑝 在 → 区2 间 内，先手方不总是具有更大的获胜可能性（3分）。
1 2
3 < 𝑝𝑝 < 3
数学参考答案 第 3 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
(1) 解析：由椭圆条件： ，
2𝑎𝑎 = 12⇒ 𝑎𝑎 = 6 2𝑐𝑐 = 2√11 ⇒𝑐𝑐 = √11
2 2 2
𝑏𝑏双曲=线𝑎𝑎：−𝑐𝑐 =36−11= 25⇒ 𝑏𝑏 = 5
2 2
2 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦
1 1
5𝑥𝑥 −6𝑦𝑦 = 1 ⇒ − = 1
5 6
双曲线参数：
2 1 2 1
𝑎𝑎1 = 5,𝑏𝑏1 = 6
2 2 2 11
𝑐𝑐1 = 𝑎𝑎1 +𝑏𝑏1 =
离心率 30 （2分）。
𝑐𝑐1 11 √66
𝑒𝑒 = 𝑎𝑎1 = �30×√5 = 6
(2) 解析：直线 ，椭圆
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
联立消去 ： 𝑙𝑙:𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥+2 36+25 = 1
2 2
设 𝑦𝑦 (25+36，𝑘𝑘 )𝑥𝑥 +288𝑘𝑘𝑥𝑥−756 = 0
韦达𝐴𝐴(定𝑥𝑥1 理,𝑦𝑦： 1),𝐴𝐴(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)
288𝑘𝑘 756
弦长公式：
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 = −25+36𝑘𝑘 2 ,𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −25+36𝑘𝑘 2
（1分）
2 2
原点到直线|距𝐴𝐴𝐴𝐴离|：= √1+𝑘𝑘 ⋅（�(1𝑥𝑥分 1+）𝑥𝑥 2) −4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
2
2
面积 𝑑𝑑 = √1+𝑘𝑘
1 1 2
2 2
𝑆𝑆 = 2|𝐴𝐴𝐴𝐴|⋅𝑑𝑑 = 2∙√1+𝑘𝑘 ⋅�(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2) −4𝑥𝑥1𝑥𝑥2∙√1+𝑘𝑘 2
（ ） ，（2分）
288𝑘𝑘 2 756
2
= �(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2) −4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = � 25+36𝑘𝑘 2 +4×25+36𝑘𝑘 2
化简换元结合均值不等式, 时，可得 （2分）。
12√21
𝑘𝑘 = 0 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 = 5
(3)解析：
联立直线与双曲线：(2分)
联立，得
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+𝑚𝑚 2 2 2
� 2 2 5𝑥𝑥 −6(4𝑥𝑥 +4𝑚𝑚𝑥𝑥+𝑚𝑚 )= 1
5𝑥𝑥 −6𝑦𝑦 = 1
整理，得
2 2
19𝑥𝑥 +24𝑚𝑚𝑥𝑥+6𝑚𝑚 +1 = 0
所以
2 2 2
∆1=576𝑚𝑚 −4×19×(6𝑚𝑚 +1)= 120𝑚𝑚 −76
数学参考答案 第 4 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司2 2 76 19 19
∆1>0,120𝑚𝑚 −76> 0 ⟹ 𝑚𝑚 > = ⟹|𝑚𝑚|> �
120 30 30
2 2 76 19 19
∆1=0,120𝑚𝑚 −76= 0 ⟹𝑚𝑚 = = ⟹ |𝑚𝑚| = �
120 30 30
2 2 76 19 19
∆1<0,120𝑚𝑚 −76< 0 ⟹ 𝑚𝑚 < = ⟹|𝑚𝑚|< �
120 30 30
联立直线和椭圆：（2分）
联立，得
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+𝑚𝑚
2 2 2 2 2
�𝑥𝑥 𝑦𝑦 25𝑥𝑥 +36(4𝑥𝑥 +4𝑚𝑚𝑥𝑥+𝑚𝑚 )= 900
+ = 1
36 25
整理，得
2 2
169𝑥𝑥 +144𝑚𝑚𝑥𝑥+36𝑚𝑚 −900= 0
所以
2 2 2
∆2=(144𝑚𝑚) −4∙169∙(36𝑚𝑚 −900)= −3600𝑚𝑚 +608400
2 2 608400
∆2>0,−3600𝑚𝑚 +608400> 0 ⟹𝑚𝑚 < = 169⟹ |𝑚𝑚| < 13
3600
2 2 608400
∆2=0,−3600𝑚𝑚 +608400= 0 ⟹ 𝑚𝑚 = = 169 ⟹|𝑚𝑚|= 13
3600
2 2 608400
∆2<0,−3600𝑚𝑚 +608400< 0 ⟹𝑚𝑚 > = 169⟹ |𝑚𝑚| > 13
情形1：椭圆2个，双曲线0个， 3600
所以 （1分）
19
∆1> 0 |𝑚𝑚| > �30
� ⟹� 𝑚𝑚 ∈ (−∞,−13)∪( 13,+∞)
∆2< 0
|𝑚𝑚|> 13
情形2：椭圆1个，双曲线1个
由于四个值无法同时取到，所以不能取等（1分）
19
∆1=0
|𝑚𝑚|= �30
� ⟹� ⟹
∆2=0
|𝑚𝑚| = 13
情形3：椭圆0个，双曲线2个
所以 ， （1分）
19
∆1< 0 |𝑚𝑚| < �30 19 19
�
∆2> 0
⟹� 𝑚𝑚 ∈ (−�30 �30)
|𝑚𝑚|< 13 数学参考答案 第 5 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司综上所述，可以确定最终取值范围： （2 分）
√570 √570
𝑚𝑚 ∈(−∞,−13)∪(− 30 , 30 )∪( 13,+∞)
19.（17分）
(1) 令等式中 ，代入 ，得
得到两种可能𝑥𝑥：= 0,𝑦𝑦 = 0 或 𝑓𝑓（(01)分[1）−。𝑓𝑓( 0)]= 0
先令 ，得 𝑓𝑓(0)= 0 𝑓𝑓(0)= 1
若 𝑥𝑥 = 0 ：无𝑓𝑓矛(𝑦𝑦盾)[1；− 𝑓𝑓(0)]= 0
若 𝑓𝑓(0)= 1： ，由于 是常数函数，与题目条件矛盾；（1分）
故 𝑓𝑓(0)= 0（𝑓𝑓2(分𝑦𝑦)）≡. 0 𝑓𝑓(𝑦𝑦)= 0
𝑓𝑓(0)= 1
(2) 固定 ，等式 两边同时对 求导，
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
得 ′ 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥+ ′ 𝑦𝑦)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑦𝑦 （ ) 2 = 分 𝑥𝑥𝑦𝑦 ） − 4 𝑦𝑦
2
𝑦𝑦𝑥𝑥
令 𝑓𝑓 (𝑥𝑥+ 得 𝑦𝑦)′−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓 (𝑦𝑦)′= 𝑥𝑥− 2 , ′ 为未知常数 ,
1 2
结
𝑦𝑦
合
= 0, 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓
，
(0
得
)= 𝑥𝑥 ⟹𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=
;（
𝑥𝑥
3
⇒
分
𝑓𝑓(
）
𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 +𝐴𝐴(𝐴𝐴 )
1 2
设 𝑓𝑓(0)= 1 ⟹ 𝐴𝐴，=证1明：𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 对+任1意 ℝ 恒成立
由 𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑥𝑥，得 𝑔𝑔(𝑥𝑥)> 0 𝑥𝑥 ∈
1 2 1 2 1 2 1
对任 𝑓𝑓( 意 𝑥𝑥) 实 = 数2 𝑥𝑥 ： +1 𝑔𝑔(𝑥𝑥)= 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 ， + 𝑥𝑥+1 ⟹ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)= 2(𝑥𝑥+1) +2
2 1 2
因此,
𝑥𝑥
.故
( 𝑥𝑥+1)ℝ， ≥ 0 ⟹ 2(𝑥𝑥
，
+
得
1
证
)
（
≥
2
0
分）。
1 1
𝑔𝑔(𝑥𝑥)≥ 2 ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)≥ 2
(3)证明：对任意实数 ，都有
2
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))> 𝑥𝑥
（1分）
1 1 2 2 1 4 1 2 3
𝑓𝑓
即
(𝑓𝑓
证
(𝑥𝑥
：
))= 2(2𝑥𝑥 +1) +1 = 8𝑥𝑥 +2𝑥𝑥 +2
1 4 1 2 3 2
就是证8明 𝑥𝑥 ： +2𝑥𝑥 +2 > 𝑥𝑥
1 4 1 2 3 4 2
换元令 8𝑥𝑥 −2，𝑥𝑥就+要2证>：0 ⟺ 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥 +12> 0
2 2
二次函数𝑡𝑡 =，𝑥𝑥开口≥向0上，对称轴ℎ：(𝑡𝑡)= 𝑡𝑡 −4𝑡𝑡+12> 0
最小值在 处： 𝑡𝑡 = 2
在定义𝑡𝑡 =域2 ℎ上(𝑡𝑡最)𝑚𝑚小𝑚𝑚𝑚𝑚值=为ℎ (2)=，4−故8对+任1意2=实8数 ， .
ℎ(𝑡𝑡) 𝑡𝑡 ≥ 0 8 > 0 𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥) > 0
数学参考答案 第 6 页 共 7 页
学科网（北京）股份有限公司所以命题“对任意实数 , 都有 ”得证（2分）。
2
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥)) > 𝑥𝑥
(4) 证明：移项整理：
1 2 2 2
解得 𝑓𝑓(（𝑥𝑥)1=分2）𝑥𝑥 +1 = 𝑥𝑥 ⟹ 𝑥𝑥 = 2
即证𝑥𝑥： 1 对=任−意√2,𝑥𝑥2 = √2 都有
2
就是证：对任𝑥𝑥意∈ (−√2 , √2) 都有𝑓𝑓(𝑥𝑥)> 𝑥𝑥 对任意 都有
1 2 2 2
由于 𝑥𝑥 ∈ (−，√所2 以 , √2) 2𝑥𝑥 +1 > 𝑥𝑥 ⟺ 𝑥𝑥 ∈ (−√2 , √2) 𝑥𝑥 < 2
2
命题𝑥𝑥对∈任意(−√2 , √2) 𝑥𝑥都有∈ (0 , 2) 显然成立！
2
所以命题“对𝑥𝑥任∈意(−√2 , √2) 𝑓𝑓都(𝑥𝑥有)> 𝑥𝑥 ”得证（2分）。
2
𝑥𝑥 ∈ (−√2 , √2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)> 𝑥𝑥
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