2027版高三《上学期8月月考》（山西大学附属中学校）数学试题_2027版《高三上学期开学摸底模拟卷》全国多省（数学）

山西大学附中
2026～2027 学年第一学期高三 8 月月考（总第一次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本小题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数z=i(2+i)，则z的虚部为（ ）
A．1 B．2 C．i D．2i
2．样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若集合A= { x x=x3 } ，B={x|0≤x≤1}，则AB=（ ）
A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{0,−1,1}
4．记S 为等差数列{a }的前n项和，a =2，S =20，则a =（ ）
n n 1 4 3
A．7 B．6 C．5 D．4
3  π
5．已知0<α<π，cosα=− ，则sinα+ =（ ）
5  4
2 2 3 2 7 2
A． B． C． D．
10 5 10 10
6．设函数 f (x)=x2+2x+a,g(x)=cosx+2x，曲线y= f(x)与y=g(x)恰有一个交点，
则a=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
7．已知直线l:x−y+4=0，圆C:x2+y2 =r2(r>0)，若圆C上有且仅有三个点到直线
l的距离为2 2，则r=（ ）
A．2 B．4 C．2 2 D．4 2
8．设U ={(x,x ,x ) x ∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3 } 为空间中64个点构成的集合，点P(1,1,−2)，
1 2 3 i
记样本空间Ω=C P，从Ω中随机取一个点，定义随机变量X 如下：对Ω中的每个点
U
A(x,x ,x )，令X(A)=x +x +x ，则X 的数学期望值为（ ）
1 2 3 1 2 3
1 1 1
A．− B．− C．0 D．
21 63 7
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知正实数a，b，满足a+b=2，则（ ）
A． a+ b ≤2 B．2a +2b ≥4 C． a − b >1 D．a2+2b≥3
10．已知抛物线C: y2 =6x的焦点为F，过F 的一条直线交C于A,B两点，过A作直线
3
l：x=− 的垂线，垂足为D，则（ ）
2
A．F 的坐标为(3,0) B．|AD|=|AF| C．|AB|≥6 D．OA⊥OB
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司11．已知函数 f (x)及其导函数 f′(x)的定义域均为R，记g(x)= f′(x)，若g(x)为偶
函数且 f (1+2x)= f (1−2x)，g(0)=1，则（ ）
A．g(2026)=−1 B．g(x+4)=g(x)
2026 k
C． f (x)是奇函数 D．∑g =−1
2
k=1
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知双曲线C的虚轴长是实轴长的3倍，则C的离心率为__________.
     
13．已知向量a=(2,x)，b=(1,−1)，若a//b，则 a+b =____________．
π
14．在三棱锥S−ABC中，若SA=SC =1，AB=BC = AC = 2，二面角S−AC−B为 ，
4
则三棱锥S−ABC外接球的表面积为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（13分）在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
a(cosB+1)+b(cosA+1)=3c，a=2b
（1）证明：∆ABC为钝角三角形；
（2）若∆ABC的面积为3 15，求b的值.
x2 y2 2
16．（15分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，点(2,0)在椭圆C上．
a2 b2 2
(1)求C的方程；
(2)过点(0,−2)的直线l交C于A,B两点，O为坐标原点.若∆OAB的面积为 2，求直线
l的方程．
试卷第2页，共4页17．（15分）如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA= AC =2，BC =1,AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD//平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且AD= 3，求二面角A−CP−D的正弦值．
18．（17分）已知函数 f(x)=ln(x+1)−kx，其中0<k <1.
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)证明： f (x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(3)设x ，x 分别为 f (x)在区间(0,+∞)的极值点和零点，比较2x 与x 的大小，并证明
1 2 1 2
你的结论.
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基
石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无
记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件
均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋重复进行n
( n∈N*)
次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为
X ，其中恰有1个黑球的概率为p ，恰有2个黑球的概率为q .
n n n
(1)求p ，q ， p 的值；
1 1 2
(2)求p 的值（用n表示）；
n
(3)求X 的数学期望E(X ).
n n
试卷第4页，共4页