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山西大学附中
2025～2026 学年第一学期高三 10 月模块诊断（总第四次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：鲍淑芳
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题 ，使得 ，则 为（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3. 在复平面内，复数 ，则 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 将六位数“ ”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216 D.
5. 在等比数列 中， ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. 2 B. 或 C. D.
6. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 上，且 ，
的面积为 ．若 为钝角，则 的焦距为（ ）
A. B. C. 7 D. 14
8. 已知函数 ，对任意 ，恒有 ，且 在 上单
调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A.
B. 为奇函数
C. 函数 图像向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的 得到函数 ，函数 的
对称轴方程为 ，
D. 在 上的最小值为
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量 的相关系数为 ，则 越小， 与 之间的相关性越弱
B. 设随机变量 ，若 ，则
C. 在回归分析中， 为0.89的模型比 为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司10. 设函数 ，则（ ）
A. 当 时， 在 处取极大值
B. 当 时，方程 有 个实根
C. 当 时， 是 的极大值点
D. 存在实数 ， 恒成立
11. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 ，若 ，
，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知向量 ， ，则 ______．
13. 已知 ，则 ______．
14. 已知数列 中， ，且 ，若存在正整数 ，使得
的
成立，则实数 取值范围为____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 前 项和 .
的
的
16. 如图，圆柱 中， 是底面圆 上 一条直径， ， 分别是底面 ， 圆周上的一点，
， ，且点 不与 ， 两点重合.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上， 的周长为6，
椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 交椭圆于 两点，交 轴于 点，设 ，试判断
是否为定值？请说明理由．
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 的极小值小于 ，求m的取值范围；
（3）讨论 的零点个数．
19. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间
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学科网（北京）股份有限公司移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分
钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为 0.5，已
知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为 ，
.
的
（1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1 概率；
（2）求证： ， 均为等比数列；
（3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？
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