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山西大学附中 2025～2026 学年第二学期 3 月月考
高二数学试题
考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：孟洋
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义可求 ，由焦点坐标可求 ，根据 关系可得方程.
【详解】因为两个焦点的坐标分别是 ， ，所以椭圆的焦点在横轴上，并且 ，
所以由椭圆的定义可得： ，即 ，所以由 ， ， 的关系解得 ，
所以椭圆方程是 ．
故选：B．
2. 设 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设 的前三项为 ，则由等差数列的性质，可得 ，所以
，解得 ，由题意得 ，解得 或 ，因为 是递增的等差数列，所以
，故选B．
考点：等差数列的性质．
3. 函数 的导函数 图象如左图所示，则该函数 图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 的图像，先判断 和 ，进而得到 的单调区间，逐一验证即可
求解.
【详解】由图可知：当 或 时， ，所以 的单调减区间为 ，
当 或 时， ，所以 的单调增区间为 ，
故选：B.4. 设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；
解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.
【详解】解法一：因为等比数列 的前n项和为 ， ，
则公比 ，否则 ， ， ，不符题意；
所以 ，解得 ，
所以 ．
所以 ．
解法二：由 ，不妨设 ， ，而 ， ， 也成等比数列，
则 ，即 ，
求得 ，故 ，所以 ．5. 已知数列 满足 ，设 ，则数列 的前2026项
和（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先应用已知等式作差计算得出 ，再应用裂项相消法计算求解.
【详解】因为 ①，
当 时， ②，
由①-②得到 ，得到 ，
又 时， ，满足 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
则数列 的前2026项和为 .
故选：C.
6. 已知 是椭圆 的左､右焦点，点 为抛物线 准线上一点，
若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 利 用 几 何 性 质 确 定 中 得 ， 利 用
可得 的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】解：如图，抛物线的准线与 轴的交点为
因为 是椭圆 的左､右焦点，所以
抛物线 准线为：直线 ，所以
因为 是底角为 的等腰三角形，则
则
则 ，整理得：
所以离心率 .
故答案为：A.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过点 且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与 相交于点 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先根据离心率 得出 及 ，从而得到渐近线方程；再设过右焦点 且与渐
近线 平行 的直线，并与双曲线方程联立解得交点 的坐标；接着利用两点距离公式求出 ，
结合双曲线定义 得到 ，最终计算出两线段长度的比值.
【详解】已知双曲线 离心率 ，所以： ，
又 ，代入 得： ，
故渐近线方程为 ，
取右焦点 ，并作平行于渐近线 的直线： ，
联立直线与双曲线方程得： ，
化简： ， ，
分子： ，所以 ，
，
代入直线方程求 ： ，
因此 ，点 位于双曲线右支，
故 ，
由双曲线定义 ，得： ，
故
故选：C
8. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取对数得 ，设 ，
利用导数判断出函数的单调性可得答案.
【详解】因为 ， ， ，
则 ，
设 ，则 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
则 ，所以 ，即 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，所以 .
故选：D
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 已知函数 ，若 ，则
C. 若 ，则
D. 曲线 上点P处切线的倾斜角 的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数公式求导判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项．
【详解】对于A，易得 ，故A错误；对于B， ，令 ，解得 ，故B正确；
对于C， ，则 ，解得 ，故C正确；
对于D， ，即 ，而 ，则 ，故D错误.
故选：BC
10. 为抛物线 上一点， 为 的焦点，直线 的方程为 ，则（ ）
A. 若 ，则 的最小值为3
B. 点 到直线 的距离的最小值为
C. 若存在点 ，使得过点 可作两条相互垂直的直线与圆 都相切，则 的取值
范围为
D. 过直线 上一点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ， ，则 到直线 距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，
利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，设 ，切点 ，
， 的斜率为 ，得到 ，再得到切点弦直线方程 ，
进而得到直线 过定点 ，即可判断D．【详解】
由 可得： ，焦点 ，准线方程为 ，
过点 作准线的垂线，垂足为 ，
则 ，故A正确；
设抛物线 上的动点 ，则由点到直线的距离公式可得：
，故B错误；
设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆 相切，圆心 ,
则 ，即 ，
从而把问题转化为抛物线上存在点P到点 的距离为 ，设 ，
则 ，
即 ，故C正确；设 ，切点 ， ， 的斜率为 ，
由题意知切线斜率存在，设为 ，
联立得 ，
，即 ，
，
原方程为 ，
，
所以切线 方程为： ，即 ，
同理切线 方程为： ，
由于切线 与切线 相交于点 ，
所以有： 与 成立，
由于切点 满足直线方程 ，
即直线 方程为： ，因为 ，
则 ，即 ，
所以直线 恒过定点 ，
故 到直线 距离的最大值为 ，故D正确．
故选：ACD．
11. 如图，曲线 上的点 与x轴非负半轴上的点 ， 构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为 ， ， ， （ 为坐标原点）．设
的斜边长为 ，点 ， 的面积为 ，则下列说法中正确的是（
）
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】已知 ，设 ，因为 为等腰直角三角形，
则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，即 ，则 ，
设 ，则 ， ，
则 ，
可得 ，即 ，
由 ，可得 ，故得 ，
所以数列 是以2为首项，以2为公差 的等差数列，则 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B正确；
对于C，因为 是等腰直角三角形，其面积 ，
则
由平方和公式 ，
可得 ，故C错误；
对于D，因为 ， ，
当 时， ，
则 ，故D正确．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可.
【详解】因为方程 表示椭圆，
则 ，解得 且 ，所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 _____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设函数 在点 处的切线为 ，根据导数的几何意义列式计算
可求得 .
【详解】设函数 在点 处的切线为 ，
函数 的定义域为 .
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 （舍去）或 .
又 ，所以切点为 ，
又切点在直线 上，所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，
平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射入，经过抛物线上的点 反射后，再经过抛物线上的另一点 反射后
平行于入射光线射出，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可求得点 ，设直线 的方程为 ，联立方程组，可求得 ，从而可求
.
【详解】令 ，得 ，即 .
的
由抛物线 光学性质可知直线 经过焦点 ，设直线 的方程为 ，
代入 ，消去 得 ，则 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前n项和．
【答案】（1） ;
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系得到数列通项的递推关系式，再利用递推关系式构造基本数列求通项公
式；
（2）利用分组求和法求出 .
【小问1详解】
（1）解：由 ，
得 ，得 ，
则 ，
因 为， ，所以 ，满足上式，
所以 ，
又 ，所以数列 是以6为首项，3为公比的等比数列．
所以 ， ．
【小问2详解】
（2）由（1）得
所以
即 ．
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .（1）求 的方程；
（2）若 为坐标原点，过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，得出关于 的方程组求解.
（2）设出直线 的方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
由椭圆 的离心率为 ，得 ，则 ，
由点 在 ，得 ，联立解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得 ， ，
，则 的面积
，当且仅当 ，即 时取等号，所以 面积的最大值为1.
17. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调性；
（2）若函数 在 上单调递减，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究 的区间单调性，即可解得；
（2）将问题化为 在 上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围.
【小问1详解】
由已知， ， ，
当 时， ，
令 的图象开口向下，且 ，
所以 时， ，即 ，则 在 上单调递增，
时， ，即 ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 ，
所以 时， ，则 在 上单调递增，
时， ，则 在 上单调递减；
当 时， 的图象开口向上，且 ，
或 时， ，即 ，
则 在 ， 上单调递增，
时， ，即 ，
则 在 上单调递减．
当 时， 的图象开口向上，且 且不恒为0，
此时 ，即 ，则 在 上单调递增；
综上：当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，在 ， 上单调递增，在 上单
调递减，
当 时，在 上单调递增；
【小问2详解】在 上单调递减，
时， 恒成立，即 恒成立，
，而 ，
， ，
，
，故a的取值范围是 ．
18. 已知数列 满足： ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）设 ，记数列 的前 项和 ，求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 取倒数，判断数列 是等差数列，根据等差数列的通项公式可求数列的通项公式.
（2）利用“裂项求和法”求数列 的前 项和 .
（3）利用“错位相减法”求数列 的前 项和 ，再进行比较判断.
【小问1详解】
由题设 ，
又 ，
所以数列 是首项为1，公差为3的等差数列，
可得 ，故 .
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 ，
则 .
【小问3详解】
由（2）得 ，
则 ，
所以 ，
两式相减得： ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 .
19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只
可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，
并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 （离心率）的点的轨迹
叫作圆锥曲线：当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为双曲线．已知曲线 ：
．
（1）分别求出曲线 表示椭圆、双曲线时 的取值范围．
（2）已知曲线 的离心率为 ，曲线 向右平移. 个单位长度得到曲线 ．
（i）求曲线 的方程；
（ii）已知 为坐标原点， ， ， 是曲线 上3个不同的点， ，求 的
面积．
【答案】（1） ；
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可；
（2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可；
（ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点
到直线距离公式进行求解即可.
【小问1详解】因为 ，所以 ，
表示点 到原点的距离， 表示点 到直线 的距离．
若曲线 表示椭圆，则 ，解得 ，即 的取值范围为 ；
若曲线 表示双曲线，则 ，解得 ，即 的取值范围为 ．
【小问2详解】
（i）因为曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，
即曲线 的方程为 ，
曲线 向右平移 个单位长度得到曲线 ，
故曲线 的方程为 ，化简可得 ．
（ii）设 ， ， ．
因为 ，所以 ，
解得 ， ，则 ，
若直线 的斜率为0，则由双曲线的对称性可知 ，此时 在 轴上，
所以 不可能在双曲线 上，舍去．
设直线 的方程为 ，由 得 ，
则 且 ，即 ，又 ， ，
所以 ，故 ，
代入双曲线 的方程得 ，
化简得 ，又 ，所以 ，
点 到直线 的距离 ，
．
故 的面积 ．
