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山西大学附中 2025～2026 学年第二学期 3 月月考
高二数学试题
考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：孟洋
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为（ ）
A. B. C. D.
2. 设 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
3. 函数 的导函数 图象如左图所示，则该函数 图象可能是（ ）
A. B.
C D.
.4. 设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足 ，设 ，则数列 的前2026项
和（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 是椭圆 的左､右焦点，点 为抛物线 准线上一点，
若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过点 且与该双曲
线的一条渐近线平行的直线与 相交于点 ，则 （ ）
.
A B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的一项是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题正确的有（ ）A. 若 ，则
B. 已知函数 ，若 ，则
C. 若 ，则
D. 曲线 上点P处切线的倾斜角 的取值范围是
10. 为抛物线 上一点， 为 的焦点，直线 的方程为 ，则（ ）
A. 若 ，则 的最小值为3
B. 点 到直线 的距离的最小值为
C. 若存在点 ，使得过点 可作两条相互垂直的直线与圆 都相切，则 的取值
范围为
的
D. 过直线 上一点 作抛物线 两条切线，切点分别为 ， ，则 到直线 距离的最大值为
11. 如图，曲线 上的点 与x轴非负半轴上的点 ， 构成一系列斜边在
x轴上的等腰直角三角形，记为 ， ， ， （ 为坐标原点）．设
的斜边长为 ，点 ， 的面积为 ，则下列说法中正确的是（
）
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为__________．
13. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 _____．
14. 抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，
平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一
条平行于 轴的光线从点 射入，经过抛物线上的点 反射后，再经过抛物线上的另一点 反射后
平行于入射光线射出，则 ______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和．
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求 的方程；
（2）若 为坐标原点，过点 且斜率不为0的直线 与 交于 两点，求 面积的最大值.
17. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调性；（2）若函数 在 上单调递减，求a的取值范围．
18. 已知数列 满足： ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）设 ，记数列 的前 项和 ，求证： .
19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只
可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，
并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 （离心率）的点的轨迹
叫作圆锥曲线：当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为双曲线．已知曲线 ：
．
（1）分别求出曲线 表示椭圆、双曲线时 的取值范围．
（2）已知曲线 的离心率为 ，曲线 向右平移. 个单位长度得到曲线 ．
（i）求曲线 的方程；
（ii）已知 为坐标原点， ， ， 是曲线 上3个不同的点， ，求 的
面积．
