数学答案_2025年10月高一试卷_251023山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一上学期10月月考_山西大学附中2025-2026学年第一学期高一年级10月模块诊断数学试题含答案

山西大学附中高一年级数学模块诊断（一）答案 命题人：申敏敏 考试时长：120分钟 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U {3,1,0,1,3},A{1,0,1}，则ð A（ ） U A．{3,3} B．{3,0,3} C．{3,1,3} D．{3,1,0,3} 【详解】由U {3,1,0,1,3},A{1,0,1}，则ð A{3,3}.故选：A U 2．集合A0,1，B1,0，则AB的子集共有（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【详解】因为A0,1，B1,0，所以AU B1,0,1， 集合AB的子集有：23 8，有8个.故选：D. 1 3．函数 f(x) 2x3 的定义域为（ ） x3 3  3  3  A．  , B．,3  3, C．  ,3 3, D． ,3 3, 2  2  2  1 2x30 3 【详解】函数 f(x) 2x3 有意义，则 ，解得x 且x3， x3 x30 2 3  所以原函数的定义域为  ,33, .故选：C 2  4．若a＞b，c＞d，则（ ） A．ac2 bc2 B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【详解】 选项A：若c2 0，则ac2 bc2 0.所以选项错误. 选项B：若a7,b6,c4,d 1,满足ab,cd，但是acbd.所以选项B错误. 选项C：因为cd,所以d c,又因为ab，所以ad bc.所以选项C正确 选项D：若a7,b3,c1,d 2,满足ab,cd，但是acbd,所以选项D错误.故选： C. 1 5．已知x是实数，那么“0x1”是“ 1”成立的（ ） x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1 1x 1 【详解】由 1得 0，解得0x1，则“0x1”是“ 1”成立的充要条件.故选： x x x C. 1 学科网（北京）股份有限公司6．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ） 1 1 A． f x|x|2,gx x2 B． f x ,gx x ( x)2 C． f x x1 ,gx  x1 D． f x x3x ,gx2x x21 (x1)2 x21 【详解】A项：f x和gx的定义域均为R，对应法则也相同，所以 f x和gx是同 一个函数； B项：f x的定义域为 x x0  ,gx的定义域为  x x0  ，所以 f x和gx不是同一 个函数； C项： f x x1 ，其中x210，即  x x1  ,gx x1 ，其中(x1)2 0，即 x21 (x1)2  x x1  ， 所以 f x和gx的定义域不同，故 f x和gx不是同一个函数； D项： f x和gx的定义域均为R，但 f x x3x  x  x21   x ， x21 x21 而gx2x对应关系不同，所以 f x和gx不是同一个函数．故选：A 7．函数y x 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 x 表示不大于x的最大整 数，如 1.5 1，2.3 3， 3 3.那么使不等式4x212x50成立的x的范围是 （ ） 1 5 A．  x B．0x2 C．1x3 D．1 x3 2 3 【详解】由4x212x50可得 1 x 5 ，由题中定义可知 x 的可能取值有1、2， 2 2 当 x 1时，1 x2；当 x 2时，2x3. 综上所述，使不等式4x212x50成立的x的范围是 1,3 .故选：C. (a1)2 (b1)2 8．若ab，且ab2，则 的最小值为（ ） ab A．2 52 B．2 64 C．2 54 D．2 62 【详解】因为ab2， (a1)2(b1)2 a2b222a2b a2b2ab 所以由题意   2 ab ab ab ab23ab 6   2 a b  2 ， ab ab 因为ab，所以ab>0， (a1)2(b1)2 6 所以由基本不等式可得 ab 22 62， ab ab 2 学科网（北京）股份有限公司ab2  6 14  6 14 a a   2  2 当且仅当ab 6时等号成立，即当且仅当 或 时等号成    6 14   6 14 ab b b     2  2 (a1)2(b1)2 立，综上所述， 的最小值为2 62.故选：D. ab 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分． 9．设集合P x 0 x4  ,Q y 0 y4  ，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数 关系的有（ ） A． B． C． D． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是P，故A错误； 对于B：定义域为P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，故B正确； 对于C：集合P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，故C错误； 对于D： 由函数定义可知符合函数定义，故D正确.故选：BD. 10．下列叙述正确的是（ ） A．xR，x23x30 B．命题“xR，1 y2”的否定是“xR，y1或y2” C．命题“xR，x2 0”的否定是真命题 D．设x，yR，则“x2且y2”是“x2 y2 ”的必要不充分条件 2  3 3 【详解】对于A：因为x23x3x   0，故A不正确；  2 4 对于B：命题“xR，1 y2”的否定是“xR，y1或y2”，故B正确； 对C：命题“xR，x2 0”的否定为：“xR，x2 0”，显然02 0， 则命题“xR，x2 0”为真命题，故C正确； 对于D：由“x2且y2”，得“x2 4且y2 4”，可以推得出“x2 y2 ”， 故“x2且y2”是“x2 y2 ”的充分条件，故D错误；故选：BC. 3 学科网（北京）股份有限公司11．下列说法正确的是（ ） 12x  1  A．不等式 1的解集是x   x0 3x1  3  1 B．若 a b 1 ，则ab的最小值为 2 3 9 C．若0 x y2，1 xy1，则 2xy 2 2 1 1 1 1 D．已知正数a，b满足  1，则  的最小值为2 a b a1 b1 12x 5x 1 【详解】对于A：不等式 1，即 0，解得  x0， 3x1 3x1 3 12x  1  即不等式 1的解集是x   x0，故A正确； 3x1  3   2 a b 对于B：因为 a b1 ，所以 ab  a 2   b 2   1， 2 2 1 1 当且仅当 a  b，即ab 时取等号，所以ab的最小值为 ，故B正确； 4 2  3 m 对于C：令2xymxynxymnxmny，所以   mn2 ，解得    2 ， mn1  n 1  2 3 1 所以2x y x y xy，因为0 x y2，1 xy1， 2 2 3 1 1 1 所以0 x y3，  xy ， 2 2 2 2 1 3 1 7 1 7 所以  x y xy ，即 2xy  ，故C错误； 2 2 2 2 2 2 1 1 对于D：因为正数a,b，满足  1，所以abab，即a1b11， a b 1 1 1 1 1 1 所以  2  2，当且仅当  ，即ab2时取等号， a1 b1 a1 b1 a1 b1 1 1 所以  的最小值为2，故D正确.故选：ABD a1 b1 三、填空题（共 3小题，满分 15分，每小题 5分） 12．已知函数y2x1，x1,2,3,4,5，则此函数的值域为 ． 【详解】由y2x1，且x1,2,3,4,5，则y3,5,7,9,11，所以函数的值域为 3,5,7,9,11 . 13．若“xa”是“x1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【详解】因为“xa”是“x1”的必要不充分条件，所有  x x1   x xa  ，所以a1， 即实数a的取值范围为,1． 4 学科网（北京）股份有限公司1 14．设实数m满足条件：关于x的方程x2m1x (m1)0至多一个实数根. 4 （1）则m的取值范围是 ； （2）在此条件下，使m2xmx10有解，则x的取值范围为 . 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足Δ0，其中判别式： 1 Δm124 (m1)m22m1m1m23m0，解得0m3，即m的取值范 4 围为 0,3  ; （2）对于m 0,3 ，使m2xmx10有解， 即x m21 在m 0,3 上能成立，令tm1，则mt1，t1,4，则 m1 m21 t121 2   t  2 ， m1 t t 2   因为对勾函数yt 2在1, 2 上单调递减，在 2,4上单调递增，所以   t 2 5 5 5 y 4 2 ，则x ，即实数x的取值范围(, ]. max 4 2 2 2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 15．已知集合A  1,3,a2 ,B1,a2． (1)若AB1,4，求集合AB,AB； (2)设U  A，若ð B3，求实数a的值． U 【详解】（1）解：由集合A  1,3,a2 ,B1,a2， a2 4 若AB1,4，可得4A且4B，则 ，解得a2， ……3分 a24 所以A1,3,4,B1,4，可得故AB1,3,4,AB1,4． ……7分 （2）解：由集合A  1,3,a2 ,B1,a2， 若ð B3，则a2 a2，解得a2或a1， ……10分 U 当a2时，A1,3,4,B1，4，满足ð B3； U 当a1时，B1,1，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，实数a的值为2． ……13分 16．已知命题 p:x x x1  ,a 1 x20 ，命题q:xR,x2ax160. 2 (1)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围； (2)若两个命题一真一假，求实数a的取值范围． 1 1 【详解】（1）若 p为真命题，则对任意x1，a x2恒成立，所以a ； ……3分 2 2 若q为真命题，则Δa24160，解得a8或a8； ……6分 5 学科网（北京）股份有限公司若 p,q都是真命题，则实数a应同时满足上述条件，即a8． 综上，当 p,q都为真命题时，实数a的取值范围为  a a8  ． ……8分  1 a 1 （2）当 p为真命题，q为假命题时， 2 ，解得8a ； ……10分  8a8 2  1 a 当 p为假命题，q为真命题时， 2 ，解得a8． ……12分  a8或a8 综上，当 p,q只有一个为真命题时，实数a的取值范围为  a a8或8a 1 }． 2 ……13分 x,x0 17．已知 f x x22x1,x0 (1)求 f(f(2))的值； (2)若 f(x )2，求x 的值； 0 0 (3)解不等式 f(x)1． x,x0 【详解】（1）因为 f x ，20， x22x1,x0 所以 f 2222211， ……2分 因为10，所以 f  f 2 f 11， ……4分 （2）当x 0时， f x x ，又 f(x )2，所以x  2， ……6分 0 0 0 0 0 当x 0时， f x x 22x 1，又 f(x )2， 0 0 0 0 0 所以x 22x 12，故x 1， ……8分 0 0 0 综上，x 的值为1或2 ……9分 0 （3）当x0时， f xx1，所以0x1， ……11分 当x0时， f xx22x11，所以x2， ……14分 综上，原不等式的解集为,20,1 . ……15分 18．学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 1 2 已知a0,b0，且ab1，求y  的最小值． a b 子成和睿恩两位同学都“巧妙地用了ab1”，但结果并不相同． 1 2 1 2 1 2 子成的解法：由于ab1，所以y  11  ab1a b 1 ， a b a b a b 1 1 2 2 而a 2 a 2,b 2 b 2 2．那么y22 2112 2，则最小值为 a a b b 12 2． 6 学科网（北京）股份有限公司1 2 1 2 b 2a 睿恩的解法：由于ab1，所以y     ab3  ，而 a b a b a b b 2a b 2a 3  32  32 2，则最小值为32 2． a b a b (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） 1 1 1 (2)为巩固学习效果，请你解决：已知a0,b0,c0，且abc1，求   的最 a b c 小值； b 1 1 (3)基于以上研究，请你解决：已知a0,b0,a2b1，求   的最小值． 2a 2b 2ab 【详解】（1）子成的解法正确，睿恩的解法错误； 1 在睿恩的解法中，a ≥2，等号成立时a1； a 2 b 2 2，等号成立时b 2，那么取得最小值12 2时，ab1 2， b 这与已知条件ab1是相矛盾的． ……3分 1 1 1 abc abc abc （2）a0,b0,c0，且abc1，      a b c a b c b a c a c b b a c a c b 3      32  2  2  a b a c b c a b a c b c 32229，当且仅当abc时取等号． ……9分 （3）因为a2b1，即 b 1 1 b a 2b (a 2b)2 b a a2  4ab 4b2        1  2a 2b 2ab 2a 2b 2ab 2a 2b 2ab ……15分 b a a 2b 5b a   1  2   33 10 2a 2b 2b a 2a b  2 105  5b a a    3 b2a1 当且仅当 2a b ，即 时，等号成立，所以  3 10．  a2b1  b 4 10  2ab  min   3 ……17分 19（备选）．已知函数 f(x)(m1)x2mxm1（mR）． （1）若不等式 f(x)0的解集为，求m的取值范围； （2）当m2时，解不等式 f(x)m； （3）若不等式 f(x)0的解集为D，若1,1 D，求m的取值范围． 【详解】（1）①m10m1时， f(x)x2，不合题意，舍去； ……1分 ②m10m1时，  m10  m1 2 3 2 3   m24m1m10  3m240  m 3 .综上：m 3 . ……4分 7 学科网（北京）股份有限公司（2） fxm即(m1)x2mx10，所以 (m1)x1 x10， ①m1时，解集为：[1,)； ……5分 1 1 1 ②m1时，(x )x10，因为 01，所以解集为：(, ][1,)； m1 m1 m1 ……7分 1 1  1  ③2m1时，(x )x10，因为 1，所以解集为：  1, . m1 m1  m1 ……9分 （3）因为不等式 f x0的解集为D，且1,1 D， 即对任意的x1,1，不等式(m1)x2mxm10恒成立， ……11分 2 即m  x2x1  x21恒成立，因为x2x1  x 1   3 0， ……12分  2 4 x2 1 2x 所以m 1 ， x2x1 x2x1 设t2x 1,3  ,x2t， 2x t 1 1 1 2 33      所以 x2x1 t23t3 3 3 2 33 3 ， ……15分 t 3 2 t 3 t t 当且仅当t 3x2 3时取“=”. ……16分 2x 2 33 2 3 2 3 所以1 的最大值为：1  ，所以m . ……17分 x2x1 3 3 3 8 学科网（北京）股份有限公司