数学答案A·2026年2月高一期末_2026年02月高一试卷_260208安徽省皖江名校联盟2025-2026学年上学期高一期末考试（全）_答案PDF

数学参考答案A
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项
符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A D B B D
1.【解析】N={x|-1<x<2},∴M∩N=0,1  ,故选B.
2.【解析】f(2)=-1<0,f(3)=3+log 2 3>0,又函数f(x)在区间2,3  上的图象是连续不断的曲线,
则函数f(x)在区间(2,3)上存在零点,故选C.
3.【解析】由f(x)是周期为6的奇函数,则f(11)= f(11-12)= f(-1)=-f(1)=-2,故选C．
4.【解析】y=x-2既是偶函数,又在区间(0,+∞)上是减函数；y=cosx是偶函数,但在区间(0,+∞)
上不是减函数；y=x-1
2 与y=2-x不是偶函数,故选A．
1
5.【解析】sin18°cos12°+sin72°sin12°=sin18°cos12°+cos18°sin12°=sin(18°+12°)=sin30°= ,选D．
2
6.【解析】由sinα=sinβ,得β=α+2kπ或β=π-α+2kπk∈Z  ,故选B.
b
7.【解析】c=8-0.9<80=1,a=log 7>log 6=1,b=log 8>log 7=1,又 =log 8⋅log 6<
6 6 7 7 a 7 7
log 8+log 6
 7 7
2

2 log 48
= 7
log 49
7

2
<1,则b<a,从而c<b<a,故选B．
1
8.【解析】不妨设这两种物质的初始质量都为1,则816天后甲、乙两种物质的质量分别为
2

816
T1 ,
1 
2
 816 1 T2 ,由题意知
2
 816 1 T1 =8×
2
 816 T2 ,即 816 = 816 -3,即 816 - 816 =-3,故选D．
T T T T
1 2 1 2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABD ACD AC
a+b
9.【解析】2a+2b≥2 2a⋅2b=2 2a+b=2 24=8,故A正确； ab≤ =2,即ab≤4,则
2
1 4 1 1 4
log a+log b=log (ab)≤log 4=2,故B正确； + = (a+b) +
2 2 2 2 a b 4 a b

1 b 4a
= 5+ +
4 a b
 ≥
1 b 4a
5+2 ⋅
4 a b

9 4 8 1 4 9
= ,当且仅当a= ,b= 时等号成立,所以 + 的最小值为 ,故C错误；
4 3 3 a b 4
由 a+3+ b+1  2=a+b+4+2 (a+3)(b+1)≤8+(a+3)+(b+1)=16,得 a+3+
b+1≤4,当且仅当a=1,b=3时等号成立,所以 a+3+ b+1的最大值为4,
故D正确．
π 10.【解析】f(x)=cos 2x+
6
   + π
 6
 π =cos2x+
2
 =-sin2x,则函数y=f(x)的最小正周期为T=
2π π
=π,故A正确；f
2 2

π
=-sinπ=0,则 ,0
2
 是函数y=f(x)的图象的对称中心,故B错误；
高一数学参考答案A 第1页（共6页）y=sin2x在区间  0, π
 4
 单调递增,则f(x)=-sin2x在区间  0, π
 4
 单调递减,故C正确；
π 3π π 3π 2 2
由- ≤x≤ ,得- ≤2x≤ ,则- ≤sin2x≤1,从而-1≤-sin2x≤ ,
8 8 4 4 2 2
π 3π 即f(x)在区间  - ,
 8 8
  2 的值域为-1,
 2
 ,故D正确．
11.【解析】fx+2  为偶函数,则f-x+2  = fx+2  ,即f2-x  = f2+x  ,从而fx  的图
象关于直线x=2对称,故A正确；f2x+1  为奇函数,则f-2x+1  =-f(2x+1),
即f1-x  +f(1+x)=0,从而fx  的图象关于点(1,0)中心对称,且f(1)=0,故B错误；
由两个对称可得f(2-x)= f2+x  ,fx  + f(2-x)=0,从而f2+x  =-f(x),所以fx+4  =
-f(x+2)= f(x),即函数 fx  的周期为4.且 f7  - f-2  = f3  - f2  = f(1)--f(0)  = f(1)+
f(0)=6,即a+2c-8=6,又f(1)=a+c-8=0,得a=2,c=6,故C正确；当x∈0,1  时,
75
f(x)=2x2-8x+6,所以f
2

75
=f -36
2

3
=f
2

1
=-f
2

5
=- ,故D错误．
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
4 2sinθcosθ
12.【答案】- 【解析】角θ终边在直线y=-2x上,则tanθ=-2,所以sin2θ= =
5 sin2θ+cos2θ
2tanθ -4 4
= =- ．
tan2θ+1 4+1 5
13.【答案】8【解析】函数 f x  的定义域为 R,由 f (-x)= f (x),得4x+lne-ax+1  =-4x+
lneax+1  ,即8x=lneax+1  -lne-ax+1 
eax+1
=ln =lneax=ax,又x∈R,则a=8.
e-ax+1
3 13π π 3π 2π
14.【答案】-1【解析】由图可知 T= - = ,即T= =π,所以ω=2,f(x)=
4 12 3 4 ω
π
2cos(2x+φ),又 ,0
3

π π
是函数y=f(x)位于减区间中的对称中心,则2⋅ +ϕ= +2kπ,k∈Z,从而
3 2
π π
ϕ=- +2kπ,k∈Z,所以 f(x)=2cos2x- +2kπ
6 6

π
=2cos2x-
6

29π
,所以 f
12

14π
=2cos
3
 =
2π
2cos4π+
3

2π
=2cos
3

1
=2×-
2
 =-1．
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
33
15.【答案】(1)2；(2)- ．
65
π
【解析】（1）因为tanα+
4
 =-2,
π 所以tanα=tan α+
4
   - π
 4

tanα+π
4 =

-tanπ
4
1+tanα+π
4

-2-1 = =34分
tanπ 1+(-2)⋅1
4
sinα+cosα tanα+1 3+1
所以 = = =2 6分
sinα-cosα tanα-1 3-1
π
(2)因为cos -α
4

3 π
= ,所以cosα-
5 4

3 π 3π
= ,又α∈ ,
5 4 4
 ,
高一数学参考答案A 第2页（共6页）π π
所以α- ∈0,
4 2

π
,所以sinα-
4

4
= .8分
5
5π
由sin +β
4

12 π
=- 得sinβ+
13 4

12 π
= ,又β∈0,
13 4
 ,
π π π
所以β+ ∈ ,
4 4 2

π
,所以cosβ+
4

5
= .10分
13
所以cosα+β 
π
=cos α-
4

π
+β+
4
  

 11分
π
=cosα-
4

π
cosβ+
4

π
-sinα-
4

π
sinβ+
4

3 5 4 12
= × - ×
5 13 5 13
33
=- .13分
65
π 2π
16.【答案】(1)ω=1；(2)   - +2kπ, +2kπ
 3 3
 ,k∈Z；
π
【解析】(1)因为 f(x)=sin -ωx
4

π
sin +ωx
4
 + 3sinωxcosωx,
π
所以 f(x)=sin -ωx
4

π
cos -ωx
4

3
+ sin2ωx
2
1 π
= sin -2ωx
2 2

3
+ sin2ωx2分
2
1 3
= cos2ωx+ sin2ωx
2 2
π
=sin2ωx+
6
 5分
π
由题设知 f
6

5ωπ π
=1,所以 + =kπ,k∈Z.
6 6
故ω=6k+1,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=1.7分
π
(2)由(1)得 f(x)=sin2x+
6

π π
所以g(x)=sinx+ -
6 3

π
=sinx-
6
 . 11分
π π π
由- +2kπ≤x- ≤ +2kπ,k∈Z 13分
2 6 2
π 2π
解得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z
3 3
π 2π
所以g(x)的单调递增区间为   - +2kπ, +2kπ
 3 3
 ,k∈Z(写成开区间也给分)15分
3
17.【答案】(1)奇函数；(2)   -2,-
 4
 ；
【解析】(1)函数fx  为奇函数；2分
证明如下：由1-x>0,1+x>0解得-1<x<1,
高一数学参考答案A 第3页（共6页）所以函数的定义域为(-1,1). 4分
任取x∈(-1,1),f-x  =ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x),  6分
所以函数fx  是奇函数.7分
(2)由题意fa  =-fb  = f(-b),
由于y=ln(1-x)在区间(-1,1)上是减函数,
由于y=ln(1+x)在区间(-1,1)上是增函数,
所以fx  在区间(-1,1)上是减函数,所以a=-b, 10分
于是g(a)+g(b)=4a-2a+1+4b-2b+1
=4a-2a+1+4-a-2-a+1
=(2a+2-a)2-2(2a+2-a)-2 12分
5
令t=2a+2-a,由a∈(-1,1),得t∈  2,
 2
 , 13分
3
因此g(a)+g(b)=t2-2t-2=(t-1)2-3∈  -2,-
 4
 ,
3
所以g(a)+g(b)的取值范围是   -2,-
 4
 .  15分
π π
18.【答案】(1)   x- <x<
4 4
 ；(2)a=-1；(3)(-∞, 5-2]
π π
【解析】(1)a=0, f(x)=cos2x,由x∈ - ,
 2 2
 ,得2x∈-π,π  ,
π π π π
cos2x>0,得- <2x< ,解得- <x< .
2 2 4 4
π π
所以f(x)>0的x的取值集合为   x- <x<
4 4
 ；  3分
(2)f(x)=2cos2x-2acosx-2a-1.
令t=cosx,-1≤t≤1.g(t)=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1].4分
a 1
1 当 <-1时,f(x) =g(t) =g(-1)=1≠ ,所以无解 6分
2 min min 2
a a
2 当-1≤ ≤1时,f(x) =g(t) =g
2 min min 2

a2 1
=- -2a-1= ,
2 2
即a2+4a+3=0,
所以a=-1,或a=-3(舍去) 8分
a 1 1
3 当 >1时,f(x) =g(t) =g(1)=-4a+1= ,所以a= (舍去)；10分
2 min min 2 8
综上,a=-1
π
(3)因为x
2
∈

 0,
2

π π 5π
,2x
2
-
6
∈

 -
6
,
6
 ,
π
得sin2x -
2 6

3
-1∈  - ,0
 2
  12分
高一数学参考答案A 第4页（共6页）π
由已知,即任意x
1
∈

 0,
2

3
,f(x )≥- 恒成立,
1 2
2cos2x + 1
3 1 2
2cos2x -2acosx -2a-1≥- ,即 ≥2a恒成立.  13分
1 1 2 cosx +1
1
2(t-1)2+1
令t=cosx +1,1≤t≤2,代入得： 2 ≥2a
1 t
2(t-1)2+ 1
2 5
令h(t)= =2t+ -4≥2 5-4, 15分
t 2t
5 5
当且仅当2t= ,即t= 时等号成立.  16分
2t 2
所以,2 5-4≥2a,即a≤ 5-2,
所以a的取值范围是(-∞, 5-2].  17分
43
19.【答案】(1)否；(2)2；(3)7,
4

5
【解析】(1)令x =0,则f(x )+2f(x )=5,化简得sinx = ,此方程无解,
1 1 2 2 4
故f(x)=2sinx不是区间[0,π]上的“5阶自搭配函数”3分
k-f(x )
(2)f(x )+2g(x )=k成立,即g(x )= 1 ,
1 2 2 2
4-f(x ) 3-x 3-b 3-a
当x
1
∈[a,b],y=
2
1 =
2
1 单调递减,值域为 


2
,
2
 ,5分
1 1 1
x
2
∈[a,b],g(x
2
)=
x
单调递减,值域为 


b
,
a
2
 , 7分
3-b 3-a
由已知,则   ,
 2 2

1 1
⊆  ,
 b a
  8分
3-b 1 3-a 1
由于b>a>0,则 ≥ , ≤ ,解得1≤b≤2,a≤1,或a≥2, 9分
2 b 2 a
又b>a,所以a≤1,所以ab≤2,当且仅当a=1,b=2时等号成立,
即ab的最大值为2. 10分
t-f(x )
(3)f(x )+2g(x )=t成立,即g(x )= 1 ,
1 2 2 2
3
t-
对任意x
1
∈[0,3],y= t-f
2
(x 1 ) = x
2
1 +1 单调递增,值域为 

 t-
2
3 , 4t-
8
3  .  11分
g(x)=x2-4x+5在区间[0,2]单调递减,在区间(2,3]单调递增,
且g(x)在区间[1,3]上图像关于直线x=2对称；
t-f(x )
由题意,存在唯一的x 使g(x )= 1 ,所以x ∈[0,1)∪2
2 2 2 2
 ,13分
此时g(x )=x2-4x +5的值域为(2,5]∪1
2 2 2
 ,
高一数学参考答案A 第5页（共6页）t-3 4t-3
所以   ,
 2 8
 ⊆(2,5]∪1  , 15分
t-3
 2 >2 43 43 所以 ,解得7<t≤ ,所以t的取值范围是7,
4t-3 ≤5 4 4
8
 .  17分
高一数学参考答案A 第6页（共6页）