数学参考答案B
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项
符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C D C D A
1 1
1. 【解析】Q=
x- <x<
2 2
,P∩Q={0}.故选B.
3. 【解析】当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1),即-f(x)=-x(-x-1)=x(x+1),因
此f(x)=-x(x+1).故选B.
4. 【解析】若a<0,且b<0,则a⋅b>0且a+b<0成立.反之,若“a⋅b>0”,则a<0,且b<0或
a>0,且b>0.而a>0,且b>0时,a+b>0.因此“a<0,且b<0”是“a⋅b>0且a+b<0”
的充要条件.故选C.
5. 【解析】集合元素无序,1,2,3 和3,2,1 表示同一个集合,A对.空集φ是任何非空集合的子集,B对.
a
当a>0,b>0时,
b
+
a b
a
=2;当a<0,b>0或a>0,b<0时,
b
+
a b
=0;当a<0,b<0时,
a b
+
a b
=-2,C对.(x,y)y=x2 是点集,yy=x2 是数集,D错.故选D.
6. 【解析】当a<x<b时,由y=(x-b)(a-x)2知,y<0,排除A,D.当x<a时,由y=(x-b)(a-x)2
知,y<0,排除B.故选C.
a+b=-1, a=-2, 1
7. 【解析】由题意得 - 2 a- 2b=0, 解得 b=1. f(x)=-2x+ x .定义域是-∞,0
2
∪0,+∞ .
1 1
因为f(-x)=2x+ =--2x+
-x x
1
=-f(x),所以f(x)是奇函数.①错.因为-2x, 均在(-∞,0)
x
1
和(0,+∞)内单减,所以f(x)在(-∞,0)内单减,f(x)没有最小值.②对③错.由f(x)=-2x+ 得,
x
1
f-
2
=1-2=-1.④对,故选D.
8. 【解析】f(x)=(ax-1)x =ax2-x .当a=0时,f(x)=-x =x 在(0,+∞)内单调递增,满足题意.
1
当a>0时,f(x)在0,
2a
1
, +∞
a
1 1
内单调递增,在 ,
2a a
内单调递减,不合题意.当a<0,x∈
(0,+∞)时,f(x)=-ax2+x,f(x)在(0,+∞)内单调递增, 满足题意.综上知,实数a的取值范围是
-∞,0 .故选A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BD ACD AD
9. 【解析】C
R
B=xx≠5且x≠2 , A错.当t=4时,A=4 ,B=2,5 ,A∪B=2,4,5 ,B对.当t≠4
时,t可以为2或5,此时A∩B≠Ø,C错.显然D对.故选BD.
数学参考答案 第1页（共4页）9
10.【解析】-3<0,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)内单减,A对.函数f(x)=x+ 在(0,+∞)内有最小
x
值6,B错.因为f(x)+f(2-x)=ex-e2-x+2+e2-x-ex+2=4,所以f(x)的图象关于点(1,2)对称,
C对.对∀a∈R,f(-x)=3-x+3x+a=f(x),f(x)均为偶函数,D对.故选ACD.
11.【解析】令x=y=0,则f(0)f(0)+1=f2(0)+f2(0),f2(0)=1,f(0)=-1.A对.令x=y,则f(2x)f(0)
+1=2f2(x),所以-f(2x)+1=2f2(x).B错.赋x为y,y为x,则f(y+x)f(y-x)+1=f2(y)+f2(x),
即f(y+x)f(y-x)+1=f(x+y)f(x-y)+1,所以f(y+x)f(y-x)=f(x+y)f(x-y).若f(y+x)
=0,则f(x)=0,与f(0)=-1不符,所以f(y+x)≠0.于是f(y-x)=f(x-y),即f(-x)=f(x),f(x)
为偶函数.故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 1
12.【答案】32 【解析】-
3
-1
=-3,3
1
2 =
3,8-2
3 =2-2=
1
,
1
4 4
0 1
=1,32 最大.
P(x) 1 300 1 300
13.【答案】300【解析】每台机器人的平均成本为 = x+1+ ≥2 x⋅ +1=
x 300 x 300 x
1 300
3,当且仅当 x= ,即x=300时取等号.因此应买300台机器人,可使每台机器人的平均成本
300 x
最低.
1
14.【答案】- 【解析】因为 f(x-1)是R上的奇函数,所以 f(x)的图象关于(-1,0)对称.故
2
3
f-
2
1
=-f-
2
1
=- .
2
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)m2-m-1=1得,m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.3分
当m=2时,f(x)=x2,在区间(0,+∞)内是增函数,舍去.
当m=-1时,f(x)=x-1,在区间(0,+∞)内是减函数,符合.故m=-1. 7分
(2)f 2x-1
1
=1就是
2x-1
=1,
等价于2x-1 =1,2x-1=±1, 10分
解得x=1或x=0.
故方程f 2x-1 =1的解集是0,1 . 13分
16.【解析】(1)f(x)==4x-2x+1+3=(2x)2-2⋅2x+3.
设2x=t,则f(x)=g(t)=t2-2t+3=(t-1)2+2. 4分
因为x∈-1,1 ,所以t∈ 1 ,2
2
.
当t=1时,f(x) =2;
min
当t=2时,f(x) =3. 8分
max
(2)由(1)知,f(x)=0就是t2-2⋅t+b=0,其中2x=t.
方程t2-2⋅t+b=0有两个不相等的正实数根即可,
则b>0,且(-2)2-4b>0,13分
解得0<b<1.
故b的取值范围是(0,1). 15分
数学参考答案 第2页（共4页）1-2x 1 1
17.【解析】(1)由 >0,,解得-1<x< ,所以A=-1,
1+x 2 2
. 2分
因为g(x)=4x2-2x=4(x-1)2-1,1<x<m,所以值域B= 1 ,4m2-2m
4
. 5分
(2)因为A∪B=A,所以B⊆A. 7分
于是4m2-2m≤
1 ,即4m2-2m≤4-1
2,m2-2m≤-
1
,
2 2
2- 2 2+ 2
解得 ≤m≤ . 14分
2 2
2+ 2
又m>1,所以1<m≤ .
2
2+ 2
故实数m的最大值是 .15分
2
1
18.【解析】(1)在f(x)+2f
x
x2-1 1
= (x≠0)中,将x用 替代,则
x2+1 x
1
f
x
1 x
+2f(x)=
2 -1
1
x
1
,即f
2 x +1
1-x2
+2f(x)= .2分
x2+1
1
联立f(x)+2f
x
x2-1 1
= 和f
x2+1 x
1-x2
+2f(x)= ,
x2+1
1-x2
解得f(x)= (x≠0). 4分
1+x2
1
因此f
x
1- 1
x2 1-x2 x2-1 1-x2
+f(x)= + = + =0.6分
1+ 1 1+x2 1+x2 1+x2
x2
1-x2 1-x2-2+2 2
(2)f(x)= = =-1+ . 8分
1+x2 1+x2 1+x2
因为1+x2在(0,+∞)内单增,
2
所以 在(0,+∞)内单减.因此f(x)在(0,+∞)内单减.
1+x2
由于f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)内单增.10分
(3)设函数h(x)图象上任意一点M的坐标为(x,y),
点M关于点P(2,3)的对称点M的坐标为(x,y).
x+x y+y
由 =2, =3得,x=4-x,y=6-y. 12分
2 2
1-x2
因为点M在函数f(x)的图象上,所以y= ,x≠0.
1+x2
1-(4-x)2 1-(4-x)2 5+7(4-x)2
即6-y= ,y=6- = .
1+(4-x)2 1+(4-x)2 1+(4-x)2
5+7(4-x)2
故h(x)= ,x≠4. 17分
1+(4-x)2
19.【解析】(1)因为f(x)=x+1 +x-3
-2x+2, x<-1,
= 4, -1≤x<3,2分
2x-2, x≥3,
所以f(x) =4.因此m≤4时不等式f(x)<m的解集是空集.
min
数学参考答案 第3页（共4页）故实数m的取值范围是-∞,4 . 4分
(2)(ⅰ)因为a2+b2=1,
1 2 1 2
所以 + = +
2a2 b2 2a2 b2
5 b2 2a2 5 b2 2a2 9
(a2+b2)= + + ≥ +2 ⋅ = ,
2 2a2 b2 2 2a2 b2 2
1 2 9 3 6
即 + ≥ ,当且仅当a= ,b= 时取等号,
2a2 b2 2 3 3
1 2 9
因此 + 的最小值是 . 8分
2a2 b2 2
于是x+1 +x-3
9
≤ .
2
5
所以,当x<-1时,得- ≤x<-1;
4
9
当-1≤x<3时,得4≤ ;
2
13
当x≥3时,得3≤x≤ .
4
综上可知,实数x的取值范围是 - 5 , 13
4 4
．12分
1 1
(ⅱ) +
a b
b5 a5
(a5+b5)=a4+b4+ +
a b
b5 a5 b5 a5
=(a2+b2)2+ + -2a2b2≥(a2+b2)2+2 ⋅ -2a2b2
a b a b
=(a2+b2)2=1,
1 1
故 +
a b
2
(a5+b5)≥1,当且仅当a=b= 时取等号. 17分
2
数学参考答案 第4页（共4页）
