数学答案·2025年11月高三期中联考_251121安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高三上学期期中联考（全科）

数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项
符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C B D D B
2+z 3+i
1. 【解析】 = =-3+i
i i
 i=1-3i,故选B.
2. 【解析】q:2x2-x-3>0等价于x<-1或x>1.5,故A.
3. 【解析】由已知a =2n-1,b =1,b =2,b =4,b =3,⋯,b
n 1 2 3 4 n
 为周期为4的数列,
故b =b =1,所以选A.
2025 1
3k
4. 【解析】M=  xx= ,k∈Z
12

2k
,N=xx= ,k∈Z 
12
 ,所以fk 
6k k
= = ,故选C.
12 2
5. 【解析】q为真的充要条件为4-4m>0,即m<1,故选B.
6. 【解析】因为fx+2  =lnx+1  -ln1-x  为奇函数,故fx  的图象关于2,0  对称,所以选D.
π
7. 【解析】 f 
2

π
=2,f -
2
 =0,f x  既不是奇函数也不是偶函数;又 f x  + f -x  =2sinx  ,故
fx  的图象不关于0,1 
π
对称;因为 f +x
2
 =cosx 
1 π
+ ,f -x
cosx 2
 =cosx 
1 π
+ ,f -x
cosx 2

π
=f +x
2
 ,故fx 
π
的图象关于x= 对称,故选D.
2
8. 【解析】由a>b>0,知2a-b>0,a+2b>0,令m=2a-b>0,n=a+2b>0,故m+2n=4a+
1 2 1 2
3b=1,故 + = +
2a-b a+2b m n
 m+2n 
n m
=5+2 +
m n

1
≥9,当且仅当m=n= 取等
3
1 1
号,此时a= ,b= 取等号.故选B.
5 15
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 AD BC ABD
9. 【解析】有图像可求得fx 
π
=2cos2x-
3
 = 3sin2x+cos2x,AD正确.
10.【解析】∵函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,∴函数图象的对称轴应当位于区间(
a a a
-∞,1)内,∴a<1,g(x)=x+ -2a(x≥1),任取1≤x <x ,g(x )-g(x )=x + -x - =
x 1 2 1 2 1 x 2 x
1 2
a(x -x ) x x -a
x -x + 2 1 =(x -x ) 1 2 ,由a<1,1≤x <x ,有x -x <0,x x >1>0,x x -a>0,
1 2 x x 1 2 x x 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
a
则g(x )-g(x )<0,即g(x )<g(x ),所以g(x)=x+ -2a在区间[1,+∞)上单调递增,函数的
1 2 1 2 x
最小值为g(1)=1-a,无最大值．
11.【解析】由a n+2 =a n+1 +2a n ,得a n+2 +a n+1 =2a n+1 +a n  ,所以a +a =29=512; 9 10
a n+2 -2a n+1 =a n+1 +2a n -2a n+1 =-a n+1 -2a n  ,所以a n+1 -2a n =-1  n,故a -2a =-1; 10 9
数学参考答案 第1页（共4页）由a n+2 =a n+1 +2a n 得S n+2 -S n+1 =S n+1 -S n +2S n -S n-1  (n≥2),
即n≥2时,S -2S =S -2S ,又S -2S =0,S -2S =a =1.
n+2 n+1 n n-1 2 1 3 2 1
所以S -2S
n+1 n
 的奇数项均为0,偶数项均为1.故S -2S =0,即a =S .故选ABD.
12 11 12 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.【答案】120°【解析】由已知得a  =1,b 
1 1
= ,a⋅b=- ,cosa,b
2 4

1
=- ,向量a,b夹角为120°.
2
7 π π 3π
13.【答案】 【解析】由已知α+ ∈ ,
9 4 4 4

π
,所以sinα+
4

2 2 4
= ,即sinα+cosα= ,1+
3 3
14 7
sin2α= ,sin2α= .
9 9
14.【答案】3,(e-2
e,1)∪(1,e
2
e)【解析】原题等价于F(x)=f(x+1)+1=ax(a>0)与G(x)=g(x+1)
+1=x2的图象公共点最多有几个,且此时a的取值范围问题．
(1)当a=1时F(x)=1与G(x)=x2有2个公共点
(2)当a>1时令F(x)-G(x)=ax-x2=H(x)
1
①注意到H(x)在(-∞,0]上单调递增，且H(0)=1>0,H(-1)= -1<0
a
所以H(x)在(-∞,0]上只有1个零点，即F(x)与G(x)在(-∞,0]上只有一个公共点
2lnx
②当x>0时解方程ax=x2⇔x⋅lna=2lnx⇔lna=
x
2lnx 2(1-lnx)
令h(x)= (x>0),求导得h(x)=
x x2
当x∈(0,e)时,h(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时,h(x)<0,h(x)单调递减
2 2 2
因此h(x)的最大值为h(e)= ,故0< lna< 时有2个公共点,此时a的范围是(1,ee),
e e
(3)当0<a<1时类似得最多3个公共点a∈(e-2
e,1)
综上所述,最多3个公共点,a∈(e-2
e,1)∪(1,e
2
e).
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)由已知fx  =2cos2x+2sinxcosx 2分
π
=1+cos2x+sin2x= 2sin2x+
4
 +1 4分
所以函数fx  的最小正周期为T=π. 6分
(2)由(1)知函数fx 
π π
取得最大值时,2x+ = +2kπ,k∈Z, 8分
4 2
π
解得x= +kπ,k∈Z 9分
8
故fx 
π
取得最大值时自变量x的集合为  xx= +kπ,k∈Z
8
 .11分
此时,fx  = 2+1. 13分
max
16.【解析】(1)由已知得f-2  =e2,2分
即a2=e2,所以a=e.故fx  =ex  . 4分
(2)①当x≥0时,fx  =ex.不妨设切点Ax 0 ,ex0  x 0 ≥0  ,fx  =ex. 6分
所以fx 0  =ex0.故切线OA的方程为y-ex0=ex0x-x 0  . 8分
因为过原点O0,0  ,故-ex0=ex0-x 0  ,解得x =1.所以切线OA的方程为y=ex. 10分 0
数学参考答案 第2页（共4页）又fx  =ex  为偶函数,其图象关于y轴对称,
故切线OB的方程为y=-ex.所以切线OA,OB的方程为y=ex,y=-ex. 12分
②由①可知,A1,e  ,由对称性可知B-1,e  ,
1
ΔOAB为等腰三角形,其面积为S= AB⋅e=e 15分
2
1 1 1 1 a 1
17.【解析】(1)由已知: - = - = n - =1⋯⋯⋯4分
a n+1 -1 a n -1 1- 1 a n -1 a n -1 a n -1
a
n
1 =1,所以数列   1
a -1 a -1
1 n
 是首项为1公差为1的等差数列.6分
1 n+1
(2)由(1)知： =n,所以a = .
a -1 n n
n
a n+1
b = n =
n a n+1
 2
nn+2 
1
=1+
nn+2 
1 1 1
=1+  -
2 n n+2
 9分
1 1 所以b +b +⋯+b =n+ 1-
1 2 n 2 3
 1 1 + -
2 4
 1 1 + -
3 5
 1 1 +⋯+ -
n n+2
  


3 1 1 1
=n+ -  +
4 2 n+1 n+2
 12分
3 1 1 1
由已知得n+ -  +
4 2 n+1 n+2

2
>n+ ,即n2-9n-16>0.
3
因为n∈N∗,当1≤n≤9时,显然n2-9n-16<0,不满足条件;
当n≥10时,n2-9n-16单调递增,所以n≥11.故n的最小值为11. 15分
18.【解析】(1)由余弦定理得
在ΔAOB中,AB2=OA2+OB2-2OA⋅OBcosθ①
在ΔCOD中,CD2=OC2+OD2-2OC⋅ODcosθ②2分
在ΔAOD中,AD2=OA2+OD2+2OA⋅ODcosθ③
在ΔBOC中,BC2=OB2+OC2+2OB⋅OCcosθ④4分
由③+④-①-②得：
AD2+BC2-AB2-CD2=2OA⋅OD+OB⋅OC+OA⋅OB+OC⋅OD  cosθ
=2 OA⋅OD+OB  +OC⋅OB+OD    cosθ
=2OA⋅BD+OC⋅BD  cosθ=2AC⋅BDcosθ.
故AD2+BC2-AB2-CD2=2AC⋅BDcosθ 7分
(2)①由(1)得AD2+BC2-AB2-CD2=2AC⋅BDcosθ,
又AB=2,BC=CD=2 3,AD=2 7,θ=60°
可求得AC⋅BD=24. 9分
又四边形ABCD的面积为
1
S= OA⋅OD+OB⋅OC+OA⋅OB+OC⋅OD
2

1
sin60°= AC⋅BDsin60°=6 3 . 11分
2
②由若ΔABD与ΔBCD面积相等,因为BD为公共底边,
故两个三角形BD上的高相等,即OAsin60°=OCsin60°,所以OA=OC. 13分
设OA=OC=m,OB=n.
在ΔAOB中得：4=m2+n2-2mncos60°,即4=m2+n2-mn
数学参考答案 第3页（共4页）在ΔBOC中得：12=m2+n2+mn.两式相加得：m2+n2=8,两式相减得：2mn=8,
所以m-n  2=m2+n2-2mn=0,故m=n. 15分
故m=n=2,所以AC=2m=4.
又AD=2 7,CD=2 3,所以AD2=AC2+CD2=28,
由勾股定理得：AC⊥CD. 17分
1
19.【解析】(1)函数 f(x)=ax+lnx的定义域为(0,+∞),求导得 f(x)=a+
x
因为x=1时 f(x)取得最值,所以 f(1)=0,即:a+1=0,解得:a=-1 4分
ex
(2)函数F(x)= +mf(x)有三个极值点，由(1)知 f(x)=-x+lnx,
x
ex ex
因此:F(x)= +m(-x+lnx)= -mx+mlnx (x>0)
x x
ex⋅x-ex m ex(x-1) 1-x
F(x)= -m+ = +m
x2 x x2 x

(x-1)ex-mx
=

x2
ex
令F(x)=0,得x=1或ex-mx=0（即m= ）
x
因为F(x)有三个极值点x ,x ,x （x <x <x ）,
1 2 3 1 2 3
ex
所以方程m= 需有两个不等于1的正根8分
x
ex ex⋅x-ex ex(x-1)
①求实数m的取值范围令h(x)= （x>0）,h(x)= =
x x2 x2
当0<x<1时,h(x)<0,h(x)单调递减；当x>1时,h(x)>0,h(x)单调递增
因此,h(x)在x=1处取得极小值h(1)=e
ex
要使m= 有两个不等于1的正根,需m>e
x
故实数m的取值范围为m>e 12分
②证明F(x )+0.05m<F(2x )
1 3
ex
由F(x)=0的根可知:x =1,且x ,x 是方程m= 的两个根（0<x <1<x ）,
2 1 3 x 1 3
ex1 ex3
即 =m= (0<x <1<x )
x x 1 3
1 3
注意到F(x )=
ex1
+m(lnx -x )=
ex1
+m⋅ln
x
1 =m-mlnm=F(x )
1 x
1
1 1 x
1
ex1 3
所以F(x )+0.05m<F(2x )等价于F(2x )-F(x )>0.05m.(x >1) 15分
1 3 3 3 3
e2x3
F(2x
3
)-F(x
3
)=


2x
+m(ln2x
3
-2x
3
)
3

ex3
-


x
+m(lnx
3
-x
3
)
3

ex3 ex3
=  +ln2-x -1
x  2 3
3

ex3
=m +ln2-x -1
 2 3

ex
令g(x)= +ln2-x-1(x>1)
2
ex e1 e
由g(x)= -1> -1>0知g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)> +ln2-2
2 2 2
e
所以F(2x )-F(x )>m⋅ +ln2-2
3 3 2

2.718
>m +0.693-2
2
 =0.052m>0.05m.17分
数学参考答案 第4页（共4页）