数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
工 2 3 4 5 6 7 8
D C D C A B B D
1.D .故选D.
2.C 因为f(x) 为幂函数，∴f(x)=x°, 又因为图象过(2,8),所以f(2)=8, 即2°=8,得α=3,∴f(x)=x³. 故
选 C.
3.D ∵ ,b=log₂√2=log₂ ,c=2·5>2°=1,∴c>b>a. 故选D.
4.C ∵f(x)的 定 义 域 为R, 且f( 一x)=—f(x),∴ 函 数f(x) 为奇函数，图象关于原点对称，A,B 排除；又∵当
x>0 时 ，f(x)<0, 所以C 正确.故选C.
5.A ∵ .故选 A.
6.B ∵函 数f(x) 的定义域为{x|x²—4x-5>0}→(-∞,-1)U(5,+∞), 又∵f(t)=logt 的函数在定义
域上单调递减，二次函数t=x²—4x-5 在(2,+∞)上递增，结合函数 f(x) 的定义域，得到函数f(x) 的单调
递减区间为(5,十∞).故选B.
7.B ∵x∈R,ax²—4ax+16≤0 是假命题，∴Vx∈R,ax²—4ax+16>0 是真命题，首先当a=0 时，显然成
立；当a ≠0 时，需要满足 综上所述得到0≤a<4. 故选B.
8.D 由题 意得 当x∈( 一 ∞ ,- 3) ,f(x)≤0;x∈(-3,3),f(x)>0;x∈[3, 十∞),f(x)<0; 且 当x∈( 一 ∞ ,
-1],x²—2x-3>0; 且当x∈(-1,3),x²—2x-3<0; 且当x∈(3,+∞),x²—2x-3>0;∴x[-∞,-3]U
(- 1,十∞)时，(x²—2x—3)f(x)≤0 成立.故选D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
ABD AC AB
9.ABD 对于A,f(x) 的最小正周期 ,故A 正确；对于B, 当 时， ,所以f(x) 的图
象关于直线. 对称，故 B正确；对于C, 当
时 ，
,所以 f(x) 的图象不关于点
中心对称，故C 错误；对于D,当 )时， ,所以f(x) 在 )上单
调递增，故D 正确.故选ABD.11.AB 由 f(a)=f(b) 可 知log₂(a-1)=-log₂(b—1), 所 以(a-1)(b-1)=1, 故 A 正确；由A 可
知ab
=a+b, 所 以 ,所以 ,当且仅当 即b=3 时，等号
成立，故 B 正 ,当且仅当
时，等号成立，故C 错误；由 ,可知， 当 且 仅 当 即 a
=b=2 时，等号成立，因为a≠b, 所 以 ,故D 错误 .故选AB.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 13.
12. 因 为 ,所 以
13. 由题意得，当0<a<1 时，函数y=a² 单调递减，且当x=0 时 ，y=1; 当a-3<0 时，函数y=(a-3)x+
2a 单调递减，且当x=0 时 ，y=2a. ,解得 .即实数a 的取值范围
方 程 | 4 - | 4 -x²||=x+a 恰有4个根等价于 函数y=|4-|4-x² | 与 y=x+a
14.
的图象有4个公共点，画出函数y=|4-|4-x²|| 与 y=x+a 的图象，分别求出4个临界位置，分别为与
y=x² 相切、经过(2,4)、(-2 √2,0)和(-2,4),求得直线方程为 ,y=x+2,y=x+2√2,y=x
+6,所以 ,2)U(2√2,6).15.解：(1)由 ……………………………………………………………………………………………2分 得 - 2<x<2,
4 分 所以函数f(x) 的定义域为(-2,2).
…………………………………………………………………………6分
(2)定义域关于原点对称，
(写出 得2 分)
所以函数 f(x) 为奇函数. …………………………………………………………………………………13分
16.解：(1)由 得w=2,………………………………………………………………………………2 分
由 +2kπ(k∈Z), 解得
因 为 ,所以 ………………………………………………………………………………… 4 分
所 以
由
所以 f(x) 单调递增区间为[ (k∈Z). ………………………………………………8分
,…………………………………………………………………10分
,…………………………………………………………………………………12分 所以f(x)
的值域为[0,3].…………………………………………………………………………………15分
17.解：(1)由题意知，当0≤x≤1 时，函数 的最大值为 ,最小值为0.
所以函数 的周期为2,所以w=π,………………………………………………………3 分
当 1<x≤6 时，函数 过点(1,0.8),代入得a=0. ………………………………………6 分所水曲线的凼奴 忻式为
…………………………………………………1分
(2)当0≤x≤1 时，令 ,解得 …………………………………………………10分
当 1<x≤6 时，令
,两边同时取常用对数得：
,解得 …………………………………………………13分
∴x2 一x₁≈4-0.5=3.50,
故病人一次性服用药物100 mg, 持续有疗效时长约为3.50小时.……………………………………… ·15分
18.解：(1)由指数函数y=a² 的图象与函数y=log₂x 的图象关于直线y=x 对称，
得a=2,………………………………………………………………………………………………………1 分
又 f(x) 为 R 上的奇函数，所以f(0)=0, 得b=-1,……………………………………………………2 分
所 以
经检验，符合f( 一x)=-f(x),
所以a=2,b=-1 3 分
,f(x) 在定义域内单调递增， ………………………………………………4分
任取 x1,x2∈R, 且x₁<x2,
则
其中x₁<x₂, 所以2*1<2*2,
所以f(x1) 一f(x₂)<0→f(x₁)<f(x2),
所以f(x) 在定义域内单调递增.……………………………………………………………………………9分
(3)由(1)(2)知 f(9ˣ+4)+f(t·3*+2)=0
⇔f(9ˣ+4)=-f(t·3+2)
今f(9ˣ+4)=f ( 一t·3+2)
⇔9ˣ+4=-t·3+2, 即 9ˣ+ 4 + t·3+²=0, 11 分
令 3ˣ= m(x∈(0,1)), 则m∈(1,3),令g(m )= m²+9 tm+4,则
…………………………………… 15分
综上所述 ………………………………………………………………………………… 1 7 分
19.解：(1)因为函数f (x )的图象关于点(1,1)中心对称，
所以y = f( x +1)- 1为奇函数，所以f ( 一x +1)-1=-[ f ( x+1)-1],
令x=0,则有2f (1)=2,故f (1)=1;令x =1,则有 f (2)± f (0)=2,
所以f (0)+ f (1)+ f (2)=3. …………………………………………………………………………………3 分
(2)(i)由(1)可知g(1)=1, g (2)+ g (0)=2,
因为g (0)=0,所以g(2)=2,则 ……………………………………… 5 分
此时 g (x )= x³-3 x²+3 x=( x-1)³+1,
所 以g( 一x+ 1 ) - 1 = ( 一x+1-1)³=- x³, g (x+1)-1=( x+1-1)³= x³,
所以g( 一x +1)-1=-[ g ( x +1)- 1],即y= g ( x+1)-1为奇函数，符合题意…………………………7 分
所以m =-3, n=3.
因为函数g (x )的图象可由y= x ³先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
故函数g(x )在(一∞,十∞)上也是增函数………………………………………………………………………9 分
(ii)因为函数g ( x )的图象关于点(1,1)对称，且该函数的定义域为R,
对任意的x∈ R,g (x)+ g (2—x)=2,
由g( |x²+ sx +t |)+ g(2—x)≥2可得g(| x²+ sx+ t|)+ g(2—x)≥ g(x)+ g (2- x),
即g( |x²+ sx+ t|)≥ g(x) …………………………………………………………………………………………11分
因为函数g (x)在(-∞,十∞)上是增函数，则 |x²+ sx+ t|≥x ………………………………………………12分令 ,得 |h(x)+s|≥1,
设 ,只有 M-N≥2 才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1.
否则当M-N<2,s 任意变化到1 时，对任意的x∈[1,3],
故原命题等价于M-N≥2. ………………………………………………………………………………14 分
①当t≤0 时 在x∈[1,3] 上单调递增，
,所以t≤0,
②当t>0 时 在 ( 0wJi)上单调递减，在(i, 十∞)上单调递增，
所以当O<t≤1 时 ，h(x) 在[1,3]上单调递增
当 1<t<9 时 ，h(x) 在[1Ji] 上单调递减，在(Ji,3) 上单调递增，
,h(JE)=2√t,
若 1<t<3, 则h(1)<h(3), 所 以
若 3 ≤t<9, 则 h(1)>h(3), 所 以M-N=h(1)-h(JE)=1+t-2√t≥2,
所以3+2 √2≤t<9,
当t≥9 时 ，h(x) 在[1,3]上单调递减，此时 ,得t≥9.
综上得t∈(-∞,0)U[3+2√2,+∞) 17 分
