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山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断（总第五次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 分位数是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设集合 { 是等腰直角三角形}， { 是等腰三角形}， { 是等边三角
形}， { 是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式
的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
5．在 中，已知 ，则 （
）
A． B． C． D．
6．已知等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则满足 的正
整数 有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，且 ，
弦 的中点 在 的准线的射影为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．28．当函数 取得最小值时， （ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9． 已知双曲线 ，则（ ）
A．
B．双曲线 的实轴长为
C．双曲线 的渐近线方程为
D．当双曲线 的离心率等于其虚轴长时，
10．已知 是递增的等比数列，其前n项和为 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 不是等比数列
11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，
也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知
双曲正弦函数的解析式为 ，双曲余弦函数的解析式为
（其中 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 为奇函数
C．若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，这三个交点的
横坐标分别为 ，则
D．若存在 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则
.
13．若函数 在区间 上有两个极值点，则实数 的取值范围是．
14．如图，在四面体 中， ， ， ，
.点 ， 分别在侧面 和棱 上运动， 为线段 中
点，当 运动时，点 的轨迹把三棱锥 分成
上、下两部分的体积之比等于 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数 ．
(1)求函数 的周期和其图象的对称轴方程；
(2)当 时，求 的值域．
16．已知椭圆 ， ，且 的离心率为 .
(1)求 的标准方程；
(2)若 ，直线 交椭圆 于 两点，且 的面积为 ，求
的值.
17．在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面
， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 平面 于点 ，求二面角 的
余弦值.18．已知函数 （ ， ， ）.
(1)当 ， 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，若 存在两个极值点 ，求证：
；
(3)设 ， 为函数 的极值点，且 ，若 ， ， 是一个三角形的三边长，求
的取值范围.
(参考： )
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1
个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额
外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，
其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本
次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券
抽奖，中奖"的概率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品
时，共使用了3张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设 表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望 .
