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长沙大学附属中学高三 10 月月考数学试题卷
一、单选题
已知集合A={1,2},B={1,2,3},C={x∣x2−2x−3<0)，则(A∩B)∩C=( )
1.
A．∅ B．{1,2,3} C．{3) D．{1,2}
【答案】D
【解析】A∩B={1,2},C={x∣x2−2x−3<0)={x∣−10，当x∈(−1,5)时，f(x−2)<0，
因为[(m−n)x−5]f(x−2)≥0的解集为[−1,+∞),
所以当x∈[−1,5]时，(m−n)x−5≤0恒成立，或x∈(5,+∞)时，
(m−n)x−5≥0恒成立，
所以m−n=1，
所以em−2n+en+1=e1−n+en+1≥2❑√e1−n ⋅en+1=2❑√e2=2e，
当且仅当m=1，n=0时取等号.
故选C.
二、多选题
数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，X
9.
（x−μ）2
1 −
近似服从正态分布N(μ,σ2)，其密度函数为φ (x)= e 2σ2 ，x∈R．
μ，σ ❑√2πσ
X−μ
任意正态分布XN(μ,σ2)，可通过变换Z= 转化为标准正态分布ZN(0,1)．当
σ
ZN(0,1)时，对任意实数x，记Φ(x)=P(Z0时，P(−x≤Z0时，
P(−x≤Z0
解得−10,b>0)的一个焦点和一个顶点，则该
a2 b2
12.
椭圆的离心率为________．
2❑√5 ❑√5
【答案】 或
5 5
【解析】直线x+2y−2=0与坐标轴的交点为(2,0)和(0,1)，
若(2,0)是椭圆的焦点，(0,1)是椭圆的一个顶点，
此时椭圆的焦点在x轴且c=2,b=1，所以a2=b2+c2=5,a=❑√5，离心率
c 2 2❑√5
e= = = ，
a ❑√5 5
若(0,1)是椭圆的焦点，(2,0)是椭圆的一个顶点，…
…
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○
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线
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○
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
此时椭圆的焦点在y轴且c=1,b=2，所以a2=b2+c2=5,a=❑√5，离心率
c 1 ❑√5
e= = = ，
a ❑√5 5
2❑√5 ❑√5
所以椭圆的离心率为 或 ，
5 5
2❑√5 ❑√5
故答案为： 或 .
5 5
1
若关于x的不等式lnx≤ x2−bx+1恒成立，则ab的最大值是__________.
a
13.
【答案】e
lnx−1 1
【解析】由a≠0，x>0，原不等式可化为 ≤ (x−ab).
x a
1
lnx−1 ⋅x−(lnx−1)
设f (x)= ，则 x 2−lnx，当x∈(0,e2)时，f ′(x)>0，
x f ′(x)= =
x2 x2
f (x)递增；
1
x∈(e2,+∞)，f ′(x)<0，f (x)递减.所以，f (x)在x=e2处取得极大值，且为最大值 ；
e2
1
x>e时，f (x)>0. y= (x−ab)的图象恒在f (x)的图象的上方，显然a<0不符题意；
a
1
当a>0时，ab为直线y= (x−ab)的横截距，其最大值为f (x)的横截距，
a
1
再令f (x)=0，可得x=e，所以ab取得最大值为e.此时a=e2，b= ，直线与f (x)在点
e
(e,0)处相切.
lnx−1 1
【分析】由a≠0，x>0，原不等式可化为 ≤ (x−ab).再利用导数研究函数
x a
lnx−1 1
f (x)= 的图象，根据y= (x−ab)的图象恒在f (x)的图象的上方，对a进行分
x a
类讨论，即可得到答案.
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8 2…
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○
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线
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○
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记
1满4足. 条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数
之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则P(X=Y)=________.
5
【答案】
518
【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，要满足三个数之积为
偶数，
则这三个数中至少有1个偶数，总共有C❑ 3−C❑ 3=74种取法，
9 5
从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，
则这两个数中至少有1个偶数，总共有C❑ 2−C❑ 2=7种取法.
5 3
又X =6,X =24，Y =3,Y =9，
min max min max
接下来，找出 X和Y 相等的情况：
当X=Y =6时，满足条件的取法情况有{1,2,3)∼{2,4)，共1种情况；
当X=Y =7时，满足条件的取法情况有{1,2,4)∼{2,5),{3,4)，共2种情况；
当X=Y =8时，无满足条件的情况；
当X=Y =9时，满足条件的取法情况有{1,2,6),{2,3,4)∼{4,5)，共2种情况，
1+2+2 5
所以P(X=Y)= = .
74×7 518
四、解答题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．
1（51.）若a=4，b=5，求cosC的值；
B A
（2）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b
2 2
的值．
【解析】（1）a=4，b=5，a+b+c=16，故c=7，
a2+b2−c2 16+25−49 1
由余弦定理得cosC= = =− ；
2ab 2×4×5 5
B A
（2）sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，由半角公式得
2 2
1+cosB 1+cosA
sinA⋅ +sinB⋅ =2sinC，
2 2
即sinA+sinB+sinAcosB+sinBcosA=4sinC，
即sinA+sinB+sin(A+B)=4sinC，sinA+sinB+sinC=4sinC，…
…
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○
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线
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
sinA+sinB=3sinC，
由正弦定理得a+b=3c，
因为a+b+c=16，所以4c=16，解得c=4，故a+b=12，
1
△ABC的面积S= absinC=18sinC，故ab=36，
2
联立a+b=12与ab=36得a=b=6.
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)上任意一点P到C的两个焦点
a2 b2
16.
F (−2❑√2,0),F (2❑√2，0)的距离之和为4❑√3.
1 2
（1）求C的方程；
1
（2）已知直线l:y= x+m与C相交于A，B两点，若|AB|=5，求m的值.
3
{ c=2❑√2, ) {a2=12,)
【解析】（1）由题意可得 2a=4❑√3, 解得
b2=4,
a2=b2+c2,
x2 y2
故C的方程为 + =1.
12 4
{x2
+
y2
=1)
12 4 4
（2）联立 ，得
x2+2mx+3m2−12=0.
1 3
y= x+m
3
4 16
Δ=4m2−4× (3m2−12)>0，解得m2< .
3 3
3m
{ x +x =− )
1 2 2
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2 9m2−36
x x =
1 2 4
|AB)=❑
√
1+
(1) 2
❑√(x +x ) 2−4x x
3 1 2 1 2
❑√10 √ 3m ❑√10 √ 27m2
= ×❑(− ) 2−(9m2−36)= ×❑36− =5，
3 2 3 4
解得m=±❑√2，即m的值为±❑√2.
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD，CD=1，
1A7B. =AP=AD=2，DP=❑√2．
(1)求证：AB⊥DP；
(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面CDP所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：由AP=AD，∠BAP=∠BAD，
可知△BAP≌△BAD，所以BP=BD，
取DP的中点E，连结AE，BE，
则AE⊥DP，BE⊥DP，且AE∩BE=E，
所以DP⊥平面ABE，
又AB⊂平面ABE，
所以AB⊥DP．
(2)由(1)及AB//CD，可知CD⊥DP，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
即AB⊥平面PAD，
以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建
立如图空间直角坐标系．…
…
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○
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线
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，
设P(0，y ，z )，
0 0
{PD2=(y −2) 2+z2=2
0 0
则 ，
AP2= y2+z2=4
0 0
3 ❑√7
得P(0， ， )，
2 2
1 ❑√7 3 ❑√7
所以⃗DC=(1，0，0)，⃗DP=(0，− ， )，⃗BP=(−2， ， )．
2 2 2 2
设平面PCD的法向量为⃗n=(x，y，z)，
{ x=0
{⃗n⋅⃗DC=0
则 ，即 1 ❑√7 ，
⃗n⋅⃗DP=0 − y+ z=0
2 2
可取⃗n=(0，❑√7，1)，
设直线BP与平面PCD所成角为α，
|⃗n⋅⃗BP| ❑√7
则sinα=|cos<⃗n，⃗BP>|= = ，
|⃗n|⋅|⃗BP| 4
❑√7
所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为 ．
4
已知函数f (x)=lnx−ax，g(x)=lnx+(a−2)x，(a∈R)．
1（81.）若函数y=f (x)存在2个零点，求a的取值范围；
（2）记ℎ(x)=|f (x))+|g(x))，
①当a=1时，求ℎ(x)的最小值；
②若ℎ(x)的最小值为2，求a的取值范围．
lnx
【解析】（1）函数y=f (x)的定义域为(0,+∞)，令f (x)=lnx−ax=0，则a= ，
x
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12 2…
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○
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线
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
lnx 1−lnx
设t(x)= ，则t′(x)= ，令t′(x)=0，得x=e，
x x2
当00，当x>e时，t′(x)<0，
lnx
所以t(x)= 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
x
1 1
因为t(1)=0，t(e)= ，当x→+∞时，t(x)→0，所以01时，m′(x)>0，
所以m(x)=x−lnx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以m (x)=m(1)=1，当x=1时，ℎ(x)取到最小值2．
min
②ℎ(x)=|lnx−ax)+|lnx+ax−2x)≥|2lnx−2x)，
由①知，|2lnx−2x)≥2，当且仅当x=1取到等号，所以ℎ(1)=|a)+|a−2)=2，
所以0≤a≤2．
（2025·天津）已知数列{a )是等差数列，{b )是等比数列，
n n
19.
a =b =2,a =b +1,a =b ．
1 1 2 2 3 3
（1）求{a )，{b )的通项公式；
n n
（2）∀n∈N∗，I∈{0,1)，有
T ={p a b +p a b +...+p a b +p a b |p ,p ,...,p ,p ∈I)，
n 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n n n 1 2 n−1 n
（i）求证：对任意实数t∈T ，均有t0，
n n n n n n n
a b =(3n+2)2n+1 ，
n+1 n+1
当p a b =(3n−1)2n>0时，
n n n
设
S =p a b +p a b +...+p a b +p a b =2×2+5×22+...+(3n−4)2n−1+(3n−1)2n
n 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n n n
所以2S =2×22+5×23+...+(3n−4)2n+(3n−1)2n+1 ，
n
所以
22(1−2n−1)
−S =4+3×(22+23+...+2n)−(3n−1)2n+1=4+3× −(3n−1)2n+1=−8+(4−3n)2n+1
n 1−2
所以S =8+(3n−4)2n+1 ，为T 中的最大元素，
n n
此时a b −S =(3n+2)2n+1−[8+(3n−4)2n+1)=6⋅2n+1−8>0恒成立，
n+1 n+1 n
所以对∀t∈T ，均有t
