长沙大学附属中学高三 10 月月考数学试题卷
一、单选题
已知集合A={1,2},B={1,2,3},C={x∣x2−2x−3<0)，则(A∩B)∩C=( )
1.
A．∅ B．{1,2,3} C．{3) D．{1,2}
【答案】D
【解析】A∩B={1,2},C={x∣x2−2x−3<0)={x∣−1<x<3}，
所以(A∩B)∩C={1,2}.
故选D.
1 1
已知z= − i，则|z|=( )
2 2
2.
1 ❑√2 ❑√3
A． B． C． D． 1
2 2 2
【答案】B
√1 1 ❑√2
【解析】由复数模的公式可知，|z|=❑ + = ．
4 4 2
故选：B．
π
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=4，A= ，且BE为边AC上
3
3.
的高，AD为边BC上的中线，则⃗AD⋅⃗BE的值为( )
A．2 B．−2 C．6 D．−6
【答案】D
⟶ 1( ⟶ ⟶ )
【解析】因为AD为边BC上的中线，所以AD= AB+AC ，
2
又BE为边AC上的高，所以⃗AC⋅⃗BE=0，
| ⟶ ) | ⟶ ) π
在Rt△ABE中， AE = AB cos∠BAE=4×cos =2，
3
⟶ ⟶ 1( ⟶ ⟶ ) ⟶ 1 ⟶ ⟶ 1 ⟶ ⟶ 1 ⟶ ⟶
所以AD⋅BE= AB+AC ⋅BE= AB⋅BE+ AC⋅BE= AB⋅BE
2 2 2 2
1 ⟶ ( ⟶ ⟶ ) 1 ⟶ ⟶ 1 ⟶ 1| ⟶ )| ⟶ ) π 1| ⟶ ) 2
= AB⋅ AE−AB = AB⋅AE− AB2= AB AE cos − AB
2 2 2 2 3 2
.
1 1 1
= ×4×2× − ×16=−6
2 2 2
故选D.…
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
( π) 1 ( π)
已知sin α− = ，则sin 2α+ =( )
6 3 6
4.
7 7 4❑√2 4❑√2
A． − B． C． − D．
9 9 9 9
【答案】B
( π) [ π π) π
【解析】由题意结合诱导公式得sin 2α+ =sin 2(α− )+ =cos(2α− )，
6 6 2 3
由二倍角的余弦公式得cos(2α−
π )=1−2sin2(
α−
π)
=1−2×
1
=
7
，故B正确.
3 6 9 9
故选：B
已知l,m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是( )
5.
A．若l∩α=A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
C．若l∩α=A，且A∉m，则l与m可能平行
D．若l//α，则l与m可能垂直
【答案】D
【解析】对A：在平面α内，存在无数条直线和l垂直，故A错误；
对B：当l⊂α时，l与m不是异面直线，故B错误；
对C：若l∩α=A，且A∉m，l与m为异面直线，故C错误；
对D：若l//α，在α内存在直线与l垂直，故其可能与m垂直，故D正确.
故选D.
【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.
已知函数f(x)=
{−x2+2ax+3a,x<−1,)
在R上单调递增，则实数a的取值范围是(
x3+1,x≥−1
6.
)
A．(−∞,−1] B．[−1,0] C．[0,1] D．[−1,1]
【答案】D
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2 2…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
【解析】因为f(x)=x3+1在[−1,+∞)上单调递增，所以只需要
{ − 2a ≥−1, )
−2
−1−2a+3a≤(−1) 3+1,
解得−1≤a≤1．
故选D．
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ=( )
7.
π π 2π 5π
A． B． C．− D．−
6 3 3 6
【答案】A
(5π ) (5π) ( 5π )
【解析】因为图象过点 ,0 ，所以f =sin 2× +φ =0，
12 12 12
5π 5π π
为函数递减区间上的零点，可得 +φ=π+2kπ,k∈Z，即φ= +2kπ,k∈Z，
12 6 6
π
因为|φ|<π，所以φ= .
6
故选A.
定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式
(8m. x−2)f(x−2)≥(nx+3)f(2−x)的解集为[−1,+∞)，则em−2n+en+1的最小值为(
)
A． 2e3 B． 2e2 C． 2e D． 2❑√e
【答案】C
【解析】解：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x−2)=f(2−x)，
所以(mx−2)f(x−2)≥(nx+3)f(2−x)可化为(mx−2−nx−3)f(x−2)≥0，即
[(m−n)x−5]f(x−2)≥0，…
…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
因为f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)上单调递增，且
f(−3)=0，
所以当x∈(−∞,−1)∪(5,+∞)时，f(x−2)>0，当x∈(−1,5)时，f(x−2)<0，
因为[(m−n)x−5]f(x−2)≥0的解集为[−1,+∞),
所以当x∈[−1,5]时，(m−n)x−5≤0恒成立，或x∈(5,+∞)时，
(m−n)x−5≥0恒成立，
所以m−n=1，
所以em−2n+en+1=e1−n+en+1≥2❑√e1−n ⋅en+1=2❑√e2=2e，
当且仅当m=1，n=0时取等号.
故选C.
二、多选题
数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，X
9.
（x−μ）2
1 −
近似服从正态分布N(μ,σ2)，其密度函数为φ (x)= e 2σ2 ，x∈R．
μ，σ ❑√2πσ
X−μ
任意正态分布XN(μ,σ2)，可通过变换Z= 转化为标准正态分布ZN(0,1)．当
σ
ZN(0,1)时，对任意实数x，记Φ(x)=P(Z<x)，则( )
A．当x>0时，P(−x≤Z<x)=1−2Φ(x)
B．Φ(x)+Φ(−x)=1
C．随机变量XN(μ,σ2)，当μ，σ都减小时，概率P(|X−μ)<σ)增大
D．随机变量XN(μ,σ2)，当μ增大，σ减小时，概率P(|X−μ)<σ)保持不变
【答案】BD
【解析】对于A：当x>0时，
P(−x≤Z<x)=1−P(Z≤−x)−P(Z≥x)=1−2P(Z≥x)=1−2[1−P(Z<x)]=2Φ(x)−1
故A错误；
对于B：根据正态曲线的对称性可得：
Φ(−x)=P(Z<−x)=P(Z≥x)=1−P(Z<x)=1−Φ(x)，即Φ(x)+Φ(−x)=1，故B
正确；
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4 2…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
对于CD：根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值，x=μ即
为图象的对称轴，
根据3σ原则可知X数值分布在(μ−σ,μ+σ)的概率是常数，故由
P(|X−μ)<σ)=P(μ−σ<X<σ+μ)可知，D正确，C错误．
故选BD.
2ex−3
已知函数f(x)= ，则下列结论正确的是( )
ex+1
10.
5
A． ∃x ∈R，使得f (x )=−
0 0 2
B． 函数f(x)的图象是一个中心对称图形
C． 曲线y=f(x)有且只有一条斜率为❑√3的切线
[1 1 )
D． 存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]，值域为 a, b
2 2
【答案】ABD
2ex−3 5
【解析】因为f(x)= =2− ，
ex+1 ex+1
5 5 5 1
当f (x )=− ，所以2− =− ，可得ex 0= ，且ex 0∈(0,+∞)，所以∃x ∈R，
0 2 ex 0+1 2 9 0
5
使得f (x )=− ，A选项正确；
0 2
5 5 ( 5 5ex )
f(−x)+f (x)=2− +2− =4− + =−1，所以函数f(x)的一
ex+1 e−x+1 ex+1 ex+1
( 1)
个中心对称为 0,− ，B选项正确；
2
5ex 5ex 5
f ′(x)= = = 1 √ 1
(ex+1) 2 e2x+2ex+1
ex+2+
1 ，又因为ex+2+
ex
≥2❑ex×
ex
+2=4，
ex
5 5 1
f ′(x)= ≤ =1
所以 ex+2+ 1 4 4，所以函数没有斜率为❑√3的切线，C选项错误；
ex…
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○
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线
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
1 2ex−3 x x+6 10
令f(x)= x，f(x)= = ，所以ex= =−1+ ，
2 ex+1 2 4−x 4−x
x+6
y=ex,y= 有两个交点，所以存在实数a，b，使得函数f(x)的定义域[a,b]，值
4−x
[1 1 )
域为 a, b ，D选项正确；
2 2
故选：ABD.
已知点F是抛物线C：y2=8x的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点
1A1且. 斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是( )
A．k的取值范围为(−1，0)∪(0，1)
|AM| |AN|
B． =
|MF| |NF|
2 2
C．若|NF)=2|MF)，则k= 或k=−
3 3
D．点M关于x轴的对称点在直线NF上
【答案】ABD
【解析】抛物线C：y2=8x，其焦点F(2，0)，准线x=−2，则A(−2，0)，直线l
方程为y=k(x+2).
{y=k(x+2)
A选项，联立 ，消去x得k y2−8 y+16k=0.
y2=8x
{ k≠0
由直线与抛物线有两个交点，得 ，
Δ=64−64k2>0
解得−1<k<1且k≠0，即k取值范围是(−1，0)∪(0，1)，A正确.
B选项，过M、N作准线垂线，垂足为D、E.
由抛物线定义知|MD|=|MF|，|NE|=|NF|，且MD∥NE.
|AM| |MD| |MF| |AM| |AN|
根据平行线分线段成比例，可得 = = ，变形得 = ，B正确.
|AN| |NE| |NF| |MF| |NF|
|AD| |MD| |MF| 1
C选项，由|NF)=2|MF)，则 = = = .
|AE| |NE| |NF| 2
设M(x ，y )，N(x ，y )，可得y =2y .
1 1 2 2 2 1
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
8 2❑√2
又y + y = ，y y =16，联立解得k=± ，C错误.
1 2 k 1 2 3
y y
D选项，直线MF斜率k = 1 ，直线NF斜率k = 2 .
MF x −2 NF x −2
1 2
y y y (x −2)+ y (x −2)
k +k = 1 + 2 = 1 2 2 1 =0.
MF NF x −2 x −2 (x −2)(x −2)
1 2 1 2
设M关于x轴对称点为M'，则k =−k =k ，且M'F与NF有公共点F，所以M'
M'F MF NF
在直线NF上，D正确.
综上，答案选ABD.
三、填空题
x2 y2
若直线x+2y−2=0经过椭圆 + =1(a>0,b>0)的一个焦点和一个顶点，则该
a2 b2
12.
椭圆的离心率为________．
2❑√5 ❑√5
【答案】 或
5 5
【解析】直线x+2y−2=0与坐标轴的交点为(2,0)和(0,1)，
若(2,0)是椭圆的焦点，(0,1)是椭圆的一个顶点，
此时椭圆的焦点在x轴且c=2,b=1，所以a2=b2+c2=5,a=❑√5，离心率
c 2 2❑√5
e= = = ，
a ❑√5 5
若(0,1)是椭圆的焦点，(2,0)是椭圆的一个顶点，…
…
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
此时椭圆的焦点在y轴且c=1,b=2，所以a2=b2+c2=5,a=❑√5，离心率
c 1 ❑√5
e= = = ，
a ❑√5 5
2❑√5 ❑√5
所以椭圆的离心率为 或 ，
5 5
2❑√5 ❑√5
故答案为： 或 .
5 5
1
若关于x的不等式lnx≤ x2−bx+1恒成立，则ab的最大值是__________.
a
13.
【答案】e
lnx−1 1
【解析】由a≠0，x>0，原不等式可化为 ≤ (x−ab).
x a
1
lnx−1 ⋅x−(lnx−1)
设f (x)= ，则 x 2−lnx，当x∈(0,e2)时，f ′(x)>0，
x f ′(x)= =
x2 x2
f (x)递增；
1
x∈(e2,+∞)，f ′(x)<0，f (x)递减.所以，f (x)在x=e2处取得极大值，且为最大值 ；
e2
1
x>e时，f (x)>0. y= (x−ab)的图象恒在f (x)的图象的上方，显然a<0不符题意；
a
1
当a>0时，ab为直线y= (x−ab)的横截距，其最大值为f (x)的横截距，
a
1
再令f (x)=0，可得x=e，所以ab取得最大值为e.此时a=e2，b= ，直线与f (x)在点
e
(e,0)处相切.
lnx−1 1
【分析】由a≠0，x>0，原不等式可化为 ≤ (x−ab).再利用导数研究函数
x a
lnx−1 1
f (x)= 的图象，根据y= (x−ab)的图象恒在f (x)的图象的上方，对a进行分
x a
类讨论，即可得到答案.
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8 2…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记
1满4足. 条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数
之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则P(X=Y)=________.
5
【答案】
518
【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，要满足三个数之积为
偶数，
则这三个数中至少有1个偶数，总共有C❑ 3−C❑ 3=74种取法，
9 5
从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，
则这两个数中至少有1个偶数，总共有C❑ 2−C❑ 2=7种取法.
5 3
又X =6,X =24，Y =3,Y =9，
min max min max
接下来，找出 X和Y 相等的情况：
当X=Y =6时，满足条件的取法情况有{1,2,3)∼{2,4)，共1种情况；
当X=Y =7时，满足条件的取法情况有{1,2,4)∼{2,5),{3,4)，共2种情况；
当X=Y =8时，无满足条件的情况；
当X=Y =9时，满足条件的取法情况有{1,2,6),{2,3,4)∼{4,5)，共2种情况，
1+2+2 5
所以P(X=Y)= = .
74×7 518
四、解答题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．
1（51.）若a=4，b=5，求cosC的值；
B A
（2）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b
2 2
的值．
【解析】（1）a=4，b=5，a+b+c=16，故c=7，
a2+b2−c2 16+25−49 1
由余弦定理得cosC= = =− ；
2ab 2×4×5 5
B A
（2）sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，由半角公式得
2 2
1+cosB 1+cosA
sinA⋅ +sinB⋅ =2sinC，
2 2
即sinA+sinB+sinAcosB+sinBcosA=4sinC，
即sinA+sinB+sin(A+B)=4sinC，sinA+sinB+sinC=4sinC，…
…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
sinA+sinB=3sinC，
由正弦定理得a+b=3c，
因为a+b+c=16，所以4c=16，解得c=4，故a+b=12，
1
△ABC的面积S= absinC=18sinC，故ab=36，
2
联立a+b=12与ab=36得a=b=6.
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)上任意一点P到C的两个焦点
a2 b2
16.
F (−2❑√2,0),F (2❑√2，0)的距离之和为4❑√3.
1 2
（1）求C的方程；
1
（2）已知直线l:y= x+m与C相交于A，B两点，若|AB|=5，求m的值.
3
{ c=2❑√2, ) {a2=12,)
【解析】（1）由题意可得 2a=4❑√3, 解得
b2=4,
a2=b2+c2,
x2 y2
故C的方程为 + =1.
12 4
{x2
+
y2
=1)
12 4 4
（2）联立 ，得
x2+2mx+3m2−12=0.
1 3
y= x+m
3
4 16
Δ=4m2−4× (3m2−12)>0，解得m2< .
3 3
3m
{ x +x =− )
1 2 2
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2 9m2−36
x x =
1 2 4
|AB)=❑
√
1+
(1) 2
❑√(x +x ) 2−4x x
3 1 2 1 2
❑√10 √ 3m ❑√10 √ 27m2
= ×❑(− ) 2−(9m2−36)= ×❑36− =5，
3 2 3 4
解得m=±❑√2，即m的值为±❑√2.
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10 2…
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…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD，CD=1，
1A7B. =AP=AD=2，DP=❑√2．
(1)求证：AB⊥DP；
(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面CDP所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：由AP=AD，∠BAP=∠BAD，
可知△BAP≌△BAD，所以BP=BD，
取DP的中点E，连结AE，BE，
则AE⊥DP，BE⊥DP，且AE∩BE=E，
所以DP⊥平面ABE，
又AB⊂平面ABE，
所以AB⊥DP．
(2)由(1)及AB//CD，可知CD⊥DP，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
即AB⊥平面PAD，
以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建
立如图空间直角坐标系．…
…
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○
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线
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○
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订
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○
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○
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内
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○
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…
…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，
设P(0，y ，z )，
0 0
{PD2=(y −2) 2+z2=2
0 0
则 ，
AP2= y2+z2=4
0 0
3 ❑√7
得P(0， ， )，
2 2
1 ❑√7 3 ❑√7
所以⃗DC=(1，0，0)，⃗DP=(0，− ， )，⃗BP=(−2， ， )．
2 2 2 2
设平面PCD的法向量为⃗n=(x，y，z)，
{ x=0
{⃗n⋅⃗DC=0
则 ，即 1 ❑√7 ，
⃗n⋅⃗DP=0 − y+ z=0
2 2
可取⃗n=(0，❑√7，1)，
设直线BP与平面PCD所成角为α，
|⃗n⋅⃗BP| ❑√7
则sinα=|cos<⃗n，⃗BP>|= = ，
|⃗n|⋅|⃗BP| 4
❑√7
所以直线BP与平面PCD所成角的正弦值为 ．
4
已知函数f (x)=lnx−ax，g(x)=lnx+(a−2)x，(a∈R)．
1（81.）若函数y=f (x)存在2个零点，求a的取值范围；
（2）记ℎ(x)=|f (x))+|g(x))，
①当a=1时，求ℎ(x)的最小值；
②若ℎ(x)的最小值为2，求a的取值范围．
lnx
【解析】（1）函数y=f (x)的定义域为(0,+∞)，令f (x)=lnx−ax=0，则a= ，
x
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12 2…
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○
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线
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○
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订
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○
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内
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○
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…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
lnx 1−lnx
设t(x)= ，则t′(x)= ，令t′(x)=0，得x=e，
x x2
当0<x<e时，t′(x)>0，当x>e时，t′(x)<0，
lnx
所以t(x)= 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
x
1 1
因为t(1)=0，t(e)= ，当x→+∞时，t(x)→0，所以0<a< ．
e e
（2）①当a=1时，ℎ(x)=2|x−lnx)，
x−1
设m(x)=x−lnx，则m′(x)= ，
x
令m′(x)=0，得x=1，
当0<x<1时，m′(x)<0，当x>1时，m′(x)>0，
所以m(x)=x−lnx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以m (x)=m(1)=1，当x=1时，ℎ(x)取到最小值2．
min
②ℎ(x)=|lnx−ax)+|lnx+ax−2x)≥|2lnx−2x)，
由①知，|2lnx−2x)≥2，当且仅当x=1取到等号，所以ℎ(1)=|a)+|a−2)=2，
所以0≤a≤2．
（2025·天津）已知数列{a )是等差数列，{b )是等比数列，
n n
19.
a =b =2,a =b +1,a =b ．
1 1 2 2 3 3
（1）求{a )，{b )的通项公式；
n n
（2）∀n∈N∗，I∈{0,1)，有
T ={p a b +p a b +...+p a b +p a b |p ,p ,...,p ,p ∈I)，
n 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n n n 1 2 n−1 n
（i）求证：对任意实数t∈T ，均有t<a b ;
n n+1 n+1
（ii）求T 所有元素之和．
n
【解析】解：
（1）设数列{a )的公差为d，数列{b )公比为q(q≠0)，
n n
{2+d=2q+1) {d=3)
则由题得 ⇒ ，
2+2d=2q2 q=2…
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○
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线
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○
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内
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
所以a =2+3(n−1)=3n−1,b =2×2n−1=2n ；
n n
（2）（i）证明：由（1）p a b =(3n−1)2np =0或p a b =(3n−1)2n>0，
n n n n n n n
a b =(3n+2)2n+1 ，
n+1 n+1
当p a b =(3n−1)2n>0时，
n n n
设
S =p a b +p a b +...+p a b +p a b =2×2+5×22+...+(3n−4)2n−1+(3n−1)2n
n 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n n n
所以2S =2×22+5×23+...+(3n−4)2n+(3n−1)2n+1 ，
n
所以
22(1−2n−1)
−S =4+3×(22+23+...+2n)−(3n−1)2n+1=4+3× −(3n−1)2n+1=−8+(4−3n)2n+1
n 1−2
所以S =8+(3n−4)2n+1 ，为T 中的最大元素，
n n
此时a b −S =(3n+2)2n+1−[8+(3n−4)2n+1)=6⋅2n+1−8>0恒成立，
n+1 n+1 n
所以对∀t∈T ，均有t<a b .
n n+1 n+1
（ii）法一：由（i）得S =8+(3n−4)2n+1 ，为T 中的最大元素，
n n
由题意可得T 中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
n
当p ,p ,...,p ,p 均为1时：此时该系列元素只有S =8+(3n−4)2n+1 即C❑ 0 个；
1 2 n−1 n n n
当p ,p ,...,p ,p 中只有一个为0，其余均为1时：
1 2 n−1 n
此时该系列的元素有S −a b ,S −a b ,S −a b ,...,S −a b 共有C❑ 1 个，
n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n
则这n个元素的和为C❑ 1S −(a b +a b +...+a b )=(C❑ 1−C❑ 0)S ；
n n 1 1 2 2 n n n n n
当p ,p ,...,p ,p 中只有2个为0，其余均为1时：
1 2 n−1 n
此时该系列的元素为S −a b −a b (i, j∈{1,2,...,n),i≠ j)共有C❑ 2 个，
n i i j j n
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14 2…
…
…
…
○
…
…
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…
线
…
…
…
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○
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订
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内
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…
…
…
○
…
…
…
…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
则这n个元素的和为C❑ 2S −C❑ 1 (a b +a b +...+a b )=(C❑ 2−C❑ 1 )S ；
n n n−1 1 1 2 2 n n n n−1 n
当p ,p ,...,p ,p 中有2个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为
1 2 n−1 n
S −a b −a b −a b (i, j,k∈{1,2,...,n),i≠ j≠k)共有C❑ 3 个，
n i i j j k k n
则这n个元素的和为C❑ 3S −C❑ 2 (a b +a b +...+a b )=(C❑ 3−C❑ 2 )S ；
n n n−1 1 1 2 2 n n n n−1 n
…
当p ,p ,...,p ,p 中有n−1个为0，1个为1时：此时该系列的元素为
1 2 n−1 n
a b ,a b ,...,a b 共有C❑ n−1 个，
1 1 2 2 n n n
则这n个元素的和为
C❑ n−1S −C❑ n−2 (a b +a b +...+a b )=(C❑ n−1−C❑ n−2)S ；
n n n−1 1 1 2 2 n n n n−1 n
当p ,p ,...,p ,p 均为0时：此时该系列的元素为0=(C❑ n−C❑ n−1)S 即
1 2 n−1 n n n−1 n
C❑ n=1个，
n
综上所述，T 中的所有元素之和为
n
S +(C❑ 1−1)S +(C❑ 2−C❑ 1 )S +(C❑ 3−C❑ 2 )S +...+(C❑ n−1−C❑ n−2)S +0=[(C❑ 0+C❑ 1+...+C❑ n−1+C❑ n)−(C❑ 0 +C❑ 1 +...+C❑ n−2+C❑ n−1))S
n n n n n−1 n n n−1 n n n−1 n n n n n n−1 n−1 n−1 n−1 n
=(2n−2n−1)S =2n−1S =2n−1 ⋅[8+(3n−4)2n+1)；
n n
法二：由（i）得S =8+(3n−4)2n+1 ，为T 中的最大元素，
n n
由题意可得
T ={S ,S −a b ,S −a b −a b ,S −a b −a b −a b ,...,a b +a b ,a b ,0)，
n n n i i n i i j j n i i j j k k i i j j i i
(i, j,k∈{1,2,...,n),i≠ j≠k).
所以T 的所有的元素的和中各项a b (i∈{1,2,...,n))出现的次数均为
n i i
C❑ 0 +C❑ 1 +...+C❑ n−2+C❑ n−1=2n−1 次，
n−1 n−1 n−1 n−1…
…
…
…
○
…
…
…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
所以T 中的所有元素之和为
n
2n−1 (a b +a b +...+a b )=2n−1S =2n−1 ⋅[8+(3n−4)2n+1).
1 1 2 2 n n n
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16 2
