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长沙大学附属中学高三 10 月月考数学试题卷
一、单选题
已知集合A={1,2},B={1,2,3},C={x∣x2−2x−3<0}，则(A∩B)∩C=( )
1.
A．∅ B．{1,2,3} C．{3} D．{1,2}
1 1
已知z= − i，则|z|=( )
2 2
2.
1 √2 √3
A． B． C． D． 1
2 2 2
π
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=4，A= ，且BE为边AC上
3
3.
的高，AD为边BC上的中线，则⃗AD⋅⃗BE的值为( )
A．2 B．−2 C．6 D．−6
( π) 1 ( π)
已知sin α− = ，则sin 2α+ =( )
6 3 6
4.
7 7 4√2 4√2
A． − B． C． − D．
9 9 9 9
已知l,m是两条不同的直线，α为平面，m⊂α，下列说法中正确的是( )
5.
A．若l∩α=A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B．若l与α不平行，则l与m一定是异面直线
C．若l∩α=A，且A∉m，则l与m可能平行
D．若l//α，则l与m可能垂直
{−x2+2ax+3a,x<−1,
已知函数f(x)= 在R上单调递增，则实数a的取值范围是(
x3+1,x≥−1
6.
)
A．(−∞,−1] B．[−1,0] C．[0,1] D．[−1,1]
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ=( )
7.…
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…
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○
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线
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○
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订
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○
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装
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○
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内
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…
○
…
…
…
…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
π π 2π 5π
A． B． C．− D．−
6 3 3 6
定义域为R的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(3)=0，若关于x的不等式
(8m. x−2)f(x−2)≥(nx+3)f(2−x)的解集为[−1,+∞)，则em−2n+en+1的最小值为(
)
A． 2e3 B． 2e2 C． 2e D． 2√e
二、多选题
数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，X
9.
（x−μ）2 1 −
近似服从正态分布N(μ,σ2)，其密度函数为φ (x)= e 2σ2 ，x∈R．任
μ，σ √2πσ
X−μ
意正态分布XN(μ,σ2)，可通过变换Z= 转化为标准正态分布ZN(0,1)．当
σ
ZN(0,1)时，对任意实数x，记Φ(x)=P(Z0时，P(−x≤Z0,b>0)的一个焦点和一个顶点，则该
a2 b2
12.
椭圆的离心率为________．
1
若关于x的不等式lnx≤ x2−bx+1恒成立，则ab的最大值是__________.
a
13.
从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记
1满4足. 条件的这三个数之和为X；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数
之积为偶数，记满足条件的两个数之和为Y.则P(X=Y)=________.
四、解答题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．
1（51.）若a=4，b=5，求cosC的值；
B A
（2）若sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b
2 2
的值．
x2 y2
已知椭圆C: + =1(a>b>0)上任意一点P到C的两个焦点
a2 b2
16.
F (−2√2,0),F (2√2，0)的距离之和为4√3.
1 2
（1）求C的方程；
1
（2）已知直线l:y= x+m与C相交于A，B两点，若|AB|=5，求m的值.
3
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，∠BAP=∠BAD，CD=1，
1A7B. =AP=AD=2，DP=√2．
(1)求证：AB⊥DP；
(2)若CD⊥AD，求直线BP与平面CDP所成角的正弦值．…
…
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○
…
…
…
…
线
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…
○
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…
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…
订
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○
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装
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…
…
…
○
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…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
已知函数f (x)=lnx−ax，g(x)=lnx+(a−2)x，(a∈R)．
1（81.）若函数y=f (x)存在2个零点，求a的取值范围；
（2）记ℎ(x)=|f (x)|+|g(x)|，
①当a=1时，求ℎ(x)的最小值；
②若ℎ(x)的最小值为2，求a的取值范围．
（2025·天津）已知数列{a }是等差数列，{b }是等比数列，
n n
19.
a =b =2,a =b +1,a =b ．
1 1 2 2 3 3
（1）求{a }，{b }的通项公式；
n n
（2）∀n∈N∗，I∈{0,1}，有
T ={p a b +p a b +...+p a b +p a b |p ,p ,...,p ,p ∈I}，
n 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 n n n 1 2 n−1 n
（i）求证：对任意实数t∈T ，均有t
