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2 0 2 6 - 2 0 2 7 学 年 高 三 秋 学 期 开 学 考 试
数 学
注意事项：
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的规定位置。
2. 作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在
答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。
1.样本数据2,1,3,9,7,5,6的中位数为
A. B. C. D.
7
9 7 5 2
2.已知 、是平面内的一组基底向量。 与 、都不共线且 ,则 不能为
𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗ 𝑐𝑐⃗ 𝑎𝑎⃗ 𝑏𝑏�⃗ 𝑐𝑐⃗= 𝑥𝑥𝑎𝑎⃗+2𝑏𝑏�⃗ 𝑥𝑥
A. B. C. D.
−1 0 1 𝑒𝑒
3.集合 , ° ,则
8𝜋𝜋 5𝜋𝜋 7𝜋𝜋 11𝜋𝜋 11𝜋𝜋
A𝐴𝐴. = {2si°n 3 ,2coBs.4 ,2co s 6} 𝐵𝐵 = {tanC7.6 ,2sin 3 ,2Dco.s 3 } 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 =
4. 曲线 { tan76 }在 处{的1,切√3线}方程为 { √3 ,− √3 } {− √3 }
A𝑦𝑦. = 𝑥𝑥ln𝑥𝑥 (1,0)B. C. D.
5.抛物线𝑦𝑦 = 𝑥𝑥+1 的焦点𝑦𝑦和=抛2𝑥𝑥物+线1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥−的1焦点之𝑦𝑦间=的l距n2离∙为𝑥𝑥 +1
2 2
A. 𝐶𝐶 1:𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 B. 𝐶𝐶2: 𝑥𝑥 = 8𝑦𝑦 C. D.
6.已知函1数
的最大值为√3
，则 2
√5
𝑎𝑎ln𝑥𝑥 1
A. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 B. 𝑒𝑒 𝑎𝑎 = C. D.
3
7. 北京天1坛圜丘坛分为上、中、下三𝑒𝑒层。上层中心为天心石，𝑒𝑒环绕天心石的第一环有92块扇面形石板，以后每
环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块。每层环数相
同，且下层石板总数比中层多729块。则每层的环数是
A. B. C. D.
6 7 8 9
数学试题 第 1 页 共 4 页
学科网（北京）股份有限公司8.设集合 为平面中点构成的集合， 。从 中随机取一个点(
不包含 𝑈𝑈 ) = ,该 { 点 ( 𝑥𝑥 与 1 , 构 𝑥𝑥 成 2 的 ) | 直 𝑥𝑥𝑖𝑖线 ∈ 与 {−1 轴 , 平 −2 行 , 的 1 概 } , 率 𝑖𝑖 = 为 1 , 2} 𝑃𝑃 (1 ,1 ) 𝑈𝑈
𝑃𝑃 𝑃𝑃 𝑥𝑥
A. B C. D
1 1 1
二、选择16题：本大题共3小题，每小.3题2 6分，共18分。每小题4不止一个选项符合题意。.0全 部选对得6分，
部分选对得部分分，错选或不选得0分。
9.设 ,则
A. B.
𝑧𝑧 = 𝑖𝑖
C. D.
𝑧𝑧̅ = −𝑖𝑖 |𝑧𝑧| = 𝑖𝑖
2
10. 已知𝑧𝑧圆= 1 圆 圆 𝑧𝑧−𝑖𝑖 ∈𝑅𝑅 、 的
圆心分别记 𝐶𝐶 为1:( 、 𝑥𝑥+ , 1 直 ) 2 线 +𝑦𝑦 与 2 圆 = 1, 、 𝐶𝐶2 、 :(𝑥𝑥− 均 1 有 ) 2 两 + 个 𝑦𝑦 交 2 点 = ， 1, 则 𝐶𝐶3:𝑥𝑥 2 +(𝑦𝑦−√3) 2 = 1.𝐶𝐶2 𝐶𝐶3
A. 圆 的𝑃𝑃半𝑄𝑄径为 𝑙𝑙 𝐶𝐶 1 𝐶𝐶2 𝐶𝐶3 B.
C. 𝐶𝐶1 1 D.𝑃𝑃 直 (1线 ,0) 可以是
11.半径为|𝑃𝑃𝑄𝑄| =的2球壳（球壳厚度不计）中可以装入 𝑙𝑙 𝑦𝑦= 𝑥𝑥
A. 半2径𝑐𝑐𝑐𝑐为 的球 B. 边长为 的正方体
C. 底面半径1.9和𝑐𝑐高𝑐𝑐均为 的圆柱 D. 底面半3径𝑐𝑐和𝑐𝑐高均为 的圆锥
三、填空题：本大题共3小题1.，5𝑐𝑐每𝑐𝑐小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡对应横1.5线𝑐𝑐𝑐𝑐上。
12.椭圆 的离心率为___________.
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
6 + 5 = 1
13.已知函数 的最大值为 ，则 ___________.; 若 ,则
1 𝜋𝜋
𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 3𝐴𝐴sin(3𝑥𝑥+𝜑𝜑)(𝐴𝐴 > 0) 2 𝐴𝐴 = 𝜑𝜑 = 2 𝑓𝑓(0)=
1__4_._等__差___数__列. 前 项和 ,对 且 ,设 存在 ，使得 则以
𝑆𝑆𝑗𝑗
2 ∗ ∗
为首项， 为{公𝑎𝑎𝑛𝑛比} 的𝑛𝑛等比数𝑆𝑆𝑛𝑛列=前𝑛𝑛三+项𝑛𝑛和取𝑗𝑗得≥最2大𝑗𝑗值∈时𝑁𝑁， 𝑞𝑞 = 𝑆𝑆𝑗𝑗−1, 𝑘𝑘 ∈ 𝑁𝑁 𝑞𝑞 = 𝑎𝑎𝑘𝑘. 𝑎𝑎𝑗𝑗
四、解答题𝑞𝑞：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必𝑗𝑗要=的_文___字__说___明_.、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分13分）
如图，在直三棱柱 中， 分别为 , 的中点，
(1)证明： 平面𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶−𝐴𝐴1 𝐵𝐵1𝐶𝐶1 ∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 = 90°,𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝐶𝐶,𝐷𝐷,𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
(2)设 𝐷𝐷𝐸𝐸直∥ 线 𝐵𝐵𝐶𝐶与𝐶𝐶1平𝐵𝐵1面; 所成的角为 , 求 长度。
𝐶𝐶𝐶𝐶1 = 2, 𝐴𝐴𝐶𝐶1 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 45° 𝐴𝐴𝐷𝐷
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学科网（北京）股份有限公司16. （本题满分15分）
已知 中 , , .
√3
(1)求△𝐴𝐴的𝐵𝐵𝐶𝐶长度𝐴𝐴；𝐵𝐵 = 2,𝐵𝐵𝐶𝐶 = 2√3cos𝐵𝐵 = 3
(2)设点𝐴𝐴𝐶𝐶 在 延长线上,且满足 .求 .
𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐷𝐷 sin∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐵𝐵
17. （本题满分15分）
某场篮球比赛每次投篮后有三种情况：命中篮筐后根据命中难度记 或 分，未命中则不计分.设某选手 命
中得 分的概率为 ，命中得 分的概率为 . 各次命中与否、命中得分相互独立.每场比赛
1 3 𝐴𝐴
2
的值恒定.
3 𝑝𝑝 (0< 𝑝𝑝 < 1) 1 𝑝𝑝 𝑝𝑝
(1)当 时，求该选手某次投篮后未命中的概率；
1
(2)某𝑝𝑝选=手2 得 分的概率为 ，命中得 分的概率为 . 赛制要求选手 , 两人轮流投篮，
𝑝𝑝
先得 分者𝐵𝐵获胜3 。首次投篮2为(0或< 𝑝𝑝的<概1)率为 . 1 𝑝𝑝 𝐴𝐴𝐵𝐵
1
(i)在选6手 经过 次投篮恰好每𝐴𝐴次都𝐵𝐵命中并获得2 分的条件下，求 的数学期望。
(ii)结合具体𝐵𝐵的 𝑋𝑋 值，计算说明先手方是6否总是具有更大的𝑋𝑋获胜可能性。
1 2
𝑝𝑝(3 < 𝑝𝑝 < 3)
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学科网（北京）股份有限公司18. （本题满分17分）
已知双曲线 ，椭圆 ，椭圆 的焦距为 ,长轴长为
2 2
2 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦
. 𝐶𝐶1:𝑏𝑏𝑥𝑥 −𝑎𝑎𝑦𝑦 =1 𝐶𝐶2:𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 = 1(𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0) 𝐶𝐶2 2√11
12
(1)求双曲线 的离心率；
𝐶𝐶1
(2)设直线 与 存在两个交点 、 , 求 面积的最大值；
𝑙𝑙1:𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥+2 𝐶𝐶2 𝐴𝐴 𝐵𝐵 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴
(3)设直线 与 、 的总交点数恰有 个，求 的取值范围。
𝑙𝑙1:𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥+𝑐𝑐 𝐶𝐶1 𝐶𝐶2 2 𝑐𝑐
19. （本题满分17分）
设非常数函数 的导函数为 ，且 .对任意实数 ，恒有
′ ′
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 𝑓𝑓 (0)= 0 𝑥𝑥,𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑦𝑦)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑦𝑦−
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
(14) 求 ;
𝑓𝑓(0)
(2)设 ，证明： 对任意 恒成立；
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥)> 0 𝑥𝑥 ∈ ℝ
(3)证明：对任意实数 , 都有 ;
2
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))> 𝑥𝑥
(4)设 是方程 的两个不同实根，且 . 证明：对任意 都有 .
2 2
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 ∈ (𝑥𝑥1,𝑥𝑥2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 𝑥𝑥
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