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高三年级 8 月检测
数学试卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知命题P的否定为“∃x∈R，x2 +1≤1”，则下列说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R，x2 +1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R，x2 +1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R，x2 +1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R，x2 +1≥1”且为真命题
1 1
2．已知函数 f ( x )满足2f ( x )− f = ，则 f ( x )=（ ）
x x
1+x2 2+x2 1+x2 2+x2
A． B． C． D．
x x 3x 3x
3．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参
加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有 7 名，只参加数、物两科的有 6 名，只参加物、化两科的
有 8 名，只参加数、化两科的有 5 名．若该班学生共有 51 名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）
名
A．10 B．9 C．8 D．7
4．如果{ a }是公比为q的等比数列，S 为其前n项和，那么“q >0”是“数列{ S }为单调数列”的（ ）
n n n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在1和11之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，
1 25
则 + 的最小值是（ ）
a b
9 5
A．3 B． C．2 D．
4 4
6．已知x=3是函数 f ( x )= x ( x−a )2 的极小值点，则（ ）
A． f ( x )− f (−x )=0 B． f ( 1+x )− f ( 1−x )=0
学科网（北京）股份有限公司C． f ( 2+x )− f ( 2−x )=2 D． f ( 2+x )+ f ( 2−x )=4
7．已知函数 f ( x )的定义域为R，且对任意x∈R，满足 f ( x+1 )− f ( x )≥ x−1，f ( x+3 )− f ( x )≤3x，
且 f ( 1 )=0，则 f ( 52 )=（ ）
A．675 B．1275 C．1276 D．676
8．将 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 全部填入如下图所示的方格中，每个方格填写 1 个数字，则仅有前
两列数字之和为9的填法有（ ）
A．15360种 B．21120种 C．30720种 D．42240种
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分．
9．已知实数x， y满足−1≤ x+ y≤3，4≤2x− y≤9，则（ ）
11 2
A．1≤ x≤4 B．− ≤ y≤
3 3
1
C．4x+ y的最大值为15 D．x− y的最小值为
3
10．若平面点集M 满足：任意点( x,y )∈M ，存在t∈( 0,+∞)，都有( tx,ty )∈M ，则称该点集M 是t阶
聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若M = {( x,y ) x≥ y } ，则M 是3阶聚合点集
B．存在M 对任意正数t，使M 不是t阶聚合点集
x2 1
C．若M = ( x,y ) + y2 =1，则M 不是 阶聚合点集
4 3
D．“t∈[ 1,+∞)”是“M = { ( x,y ) y2 ≥ x } 是t阶聚合点集”的充要条件
x
11．已知定义在(−∞,0 )( 0,+∞)上的函数 f ( x )满足 f ( xy )− f =2f ( y )，且当x>1时，f ( x )<0，
y
则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司1
A． f ( x )是偶函数 B． f ( x )+ f =0
x
C． f ( a )+ f ( b )=2f ( ab ) D． f ( x )在(−∞,0 )上单调递增
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1
12．已知随机变量X ，Y 满足X ∼B5, ，Y =2X +3，则E ( Y )=________．
4
x2 +mx+1,x≤0
13．若函数 f ( x )= 1 的最小值为 f ( 0 )，则实数m的取值范围为________．
x+ +2m,x>0
x
3 4 5
14．对于c>0，当非零实数a，b满足4a2 −2ab+4b2 −c=0，且使 2a+b 最大时， − + 的最小
a b c
值为________．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）
{ } { }
已知集合M = x x2 + px−2=0 ，N = x x2 −2x+q=0 ．
（1）若M N ={−1,0,2 }，求实数 p、q的值；
（2）若 p=1，N ⊆ M ，求实数q的取值范围．
16．（15分）
2n+1
已知数列{ a }满足a =2，a =2a +2n+1，数列{ b }满足b =1，b = b ．
n 1 n+1 n n 1 n+1 2n−1 n
a
（1）求证： n 为等差数列，并求{ a }通项公式；
2n n
1
（2）若c = ，记{ c }前n项和为S ，对任意的正自然数n，不等式S <λ恒成立，求实数λ的范
n b b n n n
n n+1
围．
17．（15分）
已知函数 f ( x )和g ( x )，定义集合M = { x f ( x )< g ( x )} ．
f(x)g(x)
（1）设 f ( x )= x2 +2x+3，g ( x )=−x+2，求M ；
f(x)g(x)
学科网（北京）股份有限公司（2）设 f ( x )=ax2 +2ax−4，g ( x )=2x ( x+2 )，当M =R时，求a的取值范围；
f(x)g(x)
x+4b
（3）设 f ( x )= 2x−b ，g ( x )= ，h ( x )=2，若M M ≠∅，求b的取值范围．
x−1
f(x)h(x) g(x)h(x)
18．（17分）
x+1
设函数 f ( x )= ．
ex
（1）求 f ( x )的最大值；
（2）若函数g ( x )= f ( x )+ax2( a∈R )存在两个极值点．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）设g ( x )的极大值点为x ，g ( x )的零点为x ，求证：x −x ≥ln2．
1 0 1 0
19．（17分）
口袋中装有形状、大小完全相同的 4 只小球，其中红球 1 只、黄球 3 只．现从口袋中有放回地取球，每次
取出1球，取到红球得1分，取到黄球得2分．
（1）在取球过程中，记事件“恰好得n分”的概率为 p ( n=1,2,3,3)，
n
（ⅰ）求 p ；
2
（ⅱ）求 p ；
n
X,X为奇数,
( )
（2）若共取球2n次 n∈N* ， X 表示2n次取球中取到红球的次数，记Y = ．求证：
0,X为偶数
( )
1 E Y 3
< ≤ .
( )
2 E X 4
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