2027版高三《8月开学考试数学试题》（重庆市巴南中学校）（解析版）_2027版《高三上学期开学摸底模拟卷》全国多省（数学）

巴南中学2027届高三8月开学调研考试
数学
试卷共5页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无
效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要
求．
1. 已知集合A={x∣-1<x≤1}，B={x∣0<x<2}，则A∩B= ( )
A. {x∣0<x≤1} B. {x∣-1<x<2} C. {x∣0<x<1} D. {x∣-1<x<0}
【答案】A
【详解】集合A={x∣-1<x≤1}，B={x∣0<x<2}，则A∩B={x∣0<x≤1}.
2. 某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分
析，则应抽取中层海域的样本数为 ( )
A. 50 B. 100 C. 200 D. 250
【答案】B
1
【详解】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为200× =100个.
2
3. 已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P2,3  ，则C的离心率为 ( )
1 3 1 3
A. B. C. D.
4 4 2 2
【答案】C
x2 y2
【详解】设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，且a2-b2=c2=4，
a2 b2
点P2,3 
4 9
在椭圆上，代入得 + =1，将b2=a2-4代入，
a2 b2
4 9
得 + =1，
a2 a2-4
即4a2-4  +9a2=a2a2-4 
即a4-17a2+16=0
即a2-1  a2-16  =0
得a2=1或a2=16，
由于a>c=2，
故a2=16，a=4，
c 2 1
离心率e= = = .
a 4 2
·1·4.“直线a⎳平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由直线a⎳平面α，易知直线a与平面α没有公共点，故直线a与平面α内的任意直线都没有
公共点，故充分性成立；
又由直线a与平面α内的任意直线都没有公共点，即直线a与平面α没有任何公共点，则直线a⎳平
面α，故必要性成立.
故“直线a⎳平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的充要条件.
故选：C.
2 2π
5. 已知某圆锥底面的半径为 2，体积为 ，则该圆锥的侧面积为 ( )
3
A. 2π B. 2 2π C. 2π D. 4π
【答案】B
1 2 2π
【详解】设圆锥的高为h，因为底面半径r= 2，由体积V= πr2h= ，解得h= 2，
3 3
圆锥的母线长l= h2+r2= 2+2=2，所以圆锥的侧面积为S=πrl=2 2π.
故选：B
  
6. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，点G在线段EF上.若AG=λAB+μAD，
则λ+μ的最大值为 ( )
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
【答案】C
【详解】如图，作出符合题意的图形，
因为E，F分别是AD，CD的中点，
   
1 1
所以AE= AD，DF= AB，
2 2
       
1 1
则EF=AF-AE=AD+DF-AE= AD+ AB，
2 2
 
因为点G在线段EF上，设EG=tEF,t∈0,1

，
       
1 t
则AG=AE+EG=AE+tEF= AD+ AD+AB
2 2


t 1 t
= AB+ +
2 2 2


AD，
  
t 1 t
若AG=λAB+μAD，则 =λ， + =μ，
2 2 2
1 3
所以λ+μ=t+ ，当t=1时，λ+μ有最大值为 .
2 2
故选：C
·2·π π 3π
7. 在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角x和角x- ,x∈  ,
3  2 2
 ，它们的终边分
3
别与单位圆交于点M,N，设线段MN的中点P的纵坐标为y ，若y =- ，则点M的纵坐标是
0 0 4
( )
1 3 1 3
A. - B. - C. D.
2 2 2 2
【答案】B
【详解】由题意可得，Mcosx,sinx 
π
,N cosx-
3

π
,sinx-
3
   ，
1 π
则y = sinx+sinx-
0 2 3
  


1 1 3
= sinx+ sinx- cosx
2 2 2

3 3
= sinx- cosx=
4 4
3 π
sinx-
2 6
 ，
3 π
由y =- 可得sinx-
0 4 6

1 π 3π
=- ,∵x∈  ,
2  2 2

π π 4π
,∴x- ∈  ,
6  3 3

π
,∵sinx-
6
 <0,∴
π
cosx-
6

3
=- ，
2
π
∴y =sinx=sin x-
M 6

π
  +
 6

π
=sinx-
6

π π
cos +cosx-
6 6

π 3
sin =- .
6 2
故选：B.
8. 若对任意的x>0，不等式x2-2mlnx≥1m≠0  恒成立，则m的取值范围是
A. 1  B. 1,+∞  C. 2,+∞  D. e,+∞ 
【答案】A
【详解】由已知可得x2-2mlnx-1≥0对任意的x>0恒成立，
设fx  =x2-2mlnx-1, 则fx 
2m 2x2-m
=2x- =
x

,
x
当m<0时fx  >0在0,+∞  上恒成立，fx  在0,+∞  上单调递增，
又f1  =0,∴ 在0,1  上fx  <0, 不合题意；
当m>0时，可知fx  在0, m  单调递减，在 m,+∞  单调递增，要使fx  ≥0 ，
在0,+∞  上恒成立，只要f m  ≥0，
令gm  =f m  =m-mlnm-1,m>0  ,gm  =-lnm,
可知gm  在0,1  上单调递增，在1,+∞  上单调递减，
又g1  =0,∴gm  ≤0,
∴gm  =0,∴m=1，故选A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设 P 为菱形 ABCD 所在平面外一点，DB 与 CA 交于 O，M 为 PB 上 (异于 P，B) 的一点，则
( )
·3·A. OM⎳PA B. OM与PC异面
C. 若M为PB的中点，则OM⎳平面PCD D. 若PA=PC，则AC⊥平面PBD
【答案】BCD
【详解】A.PA∩平面PBD=P，OM⊂平面PBD，且P∉OM，所以PA与OM是异面直线，故A错
误；
B. PC∩平面PBD=P，OM⊂平面PBD，且P∉OM，所以PC与OM是异面直线，故B正确；
C.点O,M分别是BD,BP的中点，所以OM⎳PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以OM⎳
平面PCD，故C正确；
D. 因为PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且BD⊥AC，BD∩PO=O，
且BD,PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，故D正确.
10. 已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是 ( )
1 2 16
A. ab≥2 B. + ≤1 C. a2+b2≥ D. 3a+9b≥18
a b 5
【答案】CD
【详解】因为a>0，b>0，满足a+2b=4，
对于A选项，由基本不等式可得4=a+2b≥2 2ab，所以ab≤2，
a=2b a=2
当且仅当

时，即当

时，等号成立，A错；
a+2b=4 b=1
1 2 1
对于B选项， + = a+2b
a b 4

1 2
 +
a b

1 2b 2a
= 5+ +
4 a b

1 2b 2a
≥ 5+2 ⋅
4 a b

9
= ，
4
2b 2a
 =
 a b 4
当且仅当
a+2b=4
时，即当a=b= 时，等号成立，B错；
3

a>0,b>0
对于C选项，a2+b2=4-2b 
8
2+b2=5b2-16b+16=5b-
5

2 16 16
+ ≥ ，
5 5
4
a=

当且仅当 5 时，等号成立，C对；
8
b=
5
对于D选项，3a+9b=3a+32b≥2 3a⋅32b=2 3a+2b=18，
a=2b a=2
当且仅当

时，即当

时，等号成立，D对.
a+2b=4 b=1
故选：CD.
11. 在无穷数列a n  中，a n+1 =fa n  ，则下列选项正确的是 ( )
A. 若fx  =x3+1 ，a 1 ∈-1,0  ，则对任意c>0，都存在n∈N*，使得a >c n
B. 若fx 
1
=kx2+1 (k>0 )，a =1，且对任意n∈N*，都有a <2 ，则k 的最大值是 1 n 2
C. 若fx 
2
=3- ，∃a ，使得集合n|a <2,n∈N* x 1 n  中有有限个元素
D. 若fx 
1
=x+ sin2πx 2π  ，当a = 2时，a 1 n  为递减数列，且存在常数M≤ 2，使得a <M n
恒成立
【答案】AC
·4·【详解】对于选项A，已知 f(x)=x3+1 ，对其求导得 f(x)=3x2≥0 ，所以 f(x) 在 R 上单调递增；
因为 a 1 ∈(-1,0) ，则 a 2 =fa 1  =a3+1 ，由于 a ∈(-1,0) ，所以 a3∈(-1,0) ，那么 a =a3+1∈ 1 1 1 2 1
(0,1).
同理 a 3 =fa 2  =a3+1∈(1,2) ， 2
下证：当n≥3时，a >n-2.
n
证明：当n=3时，a 3 ∈1,2  ，故a >3-2成立； 3
设当n=k时，a >k-2，则a =a3+1>k-2
k k+1 k
 3+1，
而k-2  3+1- k+1   -2  =k-2  3+2-k
=k3-6k2+11k-6=kk2-3k+11  -6≥3×11-6>0，
故a >k+1
k+1
 -2，
由数学归纳法可得a n >n-2n≥3  ，
因为n→+∞时，n-2→+∞，故a →+∞，
n
故对任意 c>0 ，都存在 n∈N* ，使得 a >c，故A正确.
n
对于选项B，已知 a =1,a =ka2+1,k>0 ．
1 n+1 n
因为对任意 n∈N* ，都有 a <2 ，所以 a =ka2+1=k+1<2 ，解得 k<1，
n 2 1
又 a =ka2+1=k(k+1)2+1<2 ，即 k(k+1)2<1，
3 2
1 1 3 1 3
当 k= 时，a = +1= 2,a = ×
2 2 2 2 3 2 2

2 9 17
 +1= +1=
8 8
 2 ，不满足对任意 n∈N*,a <2
n
，
1
所以 k的最大值不可能为 ，故选项B错误.
2
1
对于选项C，当 a 1 = 2 时，a 2 =fa 1 
2
=3- 1 =-1,a 3 =fa 2
2

2
=3- -1 =5,a 4 =fa 3 
2
=3- = 5
13
>2 ，
5
a 5 =fa 4 
2 10 29
=3- =3- = >2,⋯， 13 13 13
5
以此类推，对任意 a ，都存在 n∈N* ，使得 a >2，
n n
此时集合n∣a <2,n∈N*
n
 =1,2  , 有有限个元素，故选项C正确；
对于选项D，因为 a 1 = 2,a 2 =fa 1 
1
= 2+ sin2 2π 2π  ，
由于2π<2 2π<3π ，故sin2 2π  >0，所以 a >a ， 2 1
这与a
n
 为递减数列矛盾, 故选项D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在1-x2 
1
x+
x

4
的展开式中，常数项等于 ．(用数字作答)
【答案】2
1
【详解】由x+
x

4 1
，根据二项式定理，其展开式的通项为T =Crx4-r
r+1 4 x

r
=Crx4-2r，
4
所以当r=2时，展开式的常数项为C2=6；当r=3时，展开式x-2的系数为C3=4；
4 4
所以原式中展开式的常数项为6-4=2.
故答案为：2.
π
13. 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为 的直线l，l与抛物线交于A，B两点(A在x轴上方)，则
3
·5·AF 
BF 
= ．
【答案】3
【详解】易知抛物线y2=4x的焦点F1,0  ，准线x=-1.
π
所以直线l的方程为y-0=tan x-1
3
 ，即y= 3x-1  ，
代入y2=4x得3x2-10x+3=0，即3x-1  x-3  =0，
1
所以x= 或x=3.
3
所以A3,2 3 
1 2 3
,B ,-
3 3
 .
AF
所以

BF 
3+1
= =3.
1 +1
3
14. 函数f(x)=sinx  +cosx  - sinx  -cosx    的最小值为 ．
【答案】-2
【详解】由于f(-x)=sin-x  + cos-x    - sin-x  - cos-x      =sinx  +cosx  - sinx  -cosx   
=f(x)，且定义域为R，所以f(x)=sinx  +cosx  - sinx  -cosx    是偶函数，
所以只需要研究x≥0部分，即f(x)=sinx+cosx  - sinx-cosx   
由于f(x+2π)=sinx+2π  + cosx+2π    - sinx+2π  - cosx+2π     
=sinx+cosx  - sinx-cosx    =f(x)，
所以当x≥0时，f(x)=sinx+cosx  - sinx-cosx    是一个周期为2π的函数，
则只需要研究一个周期x∈0,2π

的最小值，以下分类讨论：
π
则当0≤x≤ 时，f(x)=sinx+cosx-sinx-cosx
4
 =sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx，
此时最小值为f(0)=0，
π π
当 ≤x≤ 时，f(x)=sinx+cosx-sinx-cosx
4 2
 =sinx+cosx-sinx+cosx=2cosx，
π
此时最小值为f
2
 =0，
π 3π
则当 ≤x≤ 时，f(x)=sinx-cosx-sinx+cosx
2 4
 =sinx-cosx-sinx-cosx=-2cosx，
π
此时最小值为f
2
 =0，
3π 3π
当 ≤x≤ 时，f(x)=sinx-cosx-sinx+cosx
4 2
 =sinx-cosx+sinx+cosx=2sinx，
3π
此时最小值为f
2
 =-2，
·6·3π
当 ≤x≤2π时，f(x)=sinx+cosx-sinx-cosx
2
 =sinx+cosx+sinx-cosx=2sinx，
3π
此时最小值为f
2
 =-2，
综上最小值为-2，
故答案为：-2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数fx 
1
= x3-x2-3x+1.
3
(1)求fx  的单调区间；
(2)设函数gx  =fx  -m，若gx  在 -3,4  上有三个零点，求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为-∞,-1  和3,+∞  ，单调递减区间为-1,3 
17
. (2)-8,-
3
 .
【解析】
【小问1详解】
fx  =x2-2x-3=x-3  x+1  .
令fx  >0，解得x<-1或x>3，令fx  <0，解得-1<x<3，
所以fx  的单调递增区间为-∞,-1  和3,+∞  ，单调递减区间为-1,3  .
【小问2详解】
令gx  =fx  -m=0⇒fx  =m，gx  在 -3,4  上有三个零点，
等价于方程fx  =m在 -3,4  上有三个不同的实数根，
即函数y=fx  的图象与直线y=m在 -3,4  上有三个不同的交点.
由(1)知fx  在-∞,-1  和3,+∞  上单调递增，在-1,3  上单调递减，
所以fx 
8
在x=-1处有极大值 ，在x=3处有极小值-8.
3
计算可得f-3  =-8,f4 
17
=- .
3
要使函数y=fx  的图象与直线y=m在 -3,4  上有三个不同的交点，
17 17
则-8<m≤- ，即实数m的取值范围为-8,-
3 3
 .
16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对
已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示每个区域开设分店的个数，y表示
这x个分店的年收入之和．
x(个) 2 3 4 5 6
y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6
(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；并预测
如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？
(2)若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统
计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均
为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，试
问两个分店的顾客下单率有无差异？
·7·不下单 下单 合计
分店一
分店二
合计
n 
xy -nxy
 i i   
参考公式：b= i=1 ，a=y-bx，
n 
x2-nx2
i
i=1
nad-bc
χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
，
α 0.1 0.05 0.01 0.005
χ2 2.706 3.841 6.635 7.879

【答案】(1)线性回归方程为y=0.85x+0.6，预测10家分店年收入之和为91万元
(2)
不下单 下单 合计
分店一 25 5 30
分店二 50 20 70
合计 75 25 100
在犯错误的概率不超过α=0.1的前提下，没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异.
【解析】
【小问1详解】
 2+3+4+5+6  2.5+3+4+4.5+6
x= =4，y= =4，
5 5
5 
x -x
i
i=1


y -y
i

5 
 =8.5， x -x
i
i=1
  2=10，
 8.5   
b= =0.85，a=y-bx=4-0.85×4=0.6，
10

所以y=0.85x+0.6，

当x=10时，y=0.85×10+0.6=9.1，
预测10家分店年收入之和为9.1×10=91万元.
【小问2详解】
完善列联表如下
不下单 下单 合计
分店一 25 5 30
分店二 50 20 70
合计 75 25 100
零假设为H ：两个分店的顾客下单率无差异.
0
100×25×20-5×50
χ2=
 2 100
= ≈1.587<2.706,
30×70×75×25 63
·8·在犯错误的概率不超过α=0.1的前提下，没有充分证据推断H 不成立，
0
所以没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异.
17. 如图1是由矩形ABCD和等腰直角△ADP组成的一个平面图形，其中AB= 3，AD=1，将
△ADP沿着AD折起使得PC= 2，如图2．若E是PC的中点．
(1)求证：PC⊥平面PAD；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．
【答案】(1)由题意知，AD⊥DP，AD⊥DC，
又DP∩DC=D，DP、DC⊂平面PDC，
所以AD⊥平面PDC，又因为PC⊂平面PDC，所以AD⊥PC，
又因为DC= 3,DP=1,PC= 2,DC2=DP2+PC2，所以PC⊥DP，
而DP∩AD=D，DP、AD⊂平面PAD，
所以PC⊥平面PAD；
2 2
(2) ．
3
【解析】
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由(1)知，PD⊥PC，AD⊥平面PDC，又AD⎳BC，
所以BC⊥平面PDC，又因为DP⊂平面PDC，
所以BC⊥DP，而PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
所以PD⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以PD⊥PB，
则PB= BD2-DP2=  3  2+12-12= 3，
1 2
因为E是PC的中点，则PE=EC= PC= ，
2 2
因为BC⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，所以BC⊥PC，
2
所以BE= BC2+EC2= 12+
2

2 6
= ，
2
过点E作EF⊥PB于点F，因为EF⊂平面PBC，所以PD⊥EF，
又因为PD∩PB=P，PD、PB⊂平面PDB，
所以EF⊥平面PDB，所以∠EBP就是直线BE与平面PBD所成角，
2 6
又因为PB= 3，PE= ，BE= ，
2 2
3 1
3+ -
2 2 2 2
所以cos∠EBP= = ，
6 3
2× 3×
2
·9·2 2
即直线BE与平面PBD所成角的余弦值为 ．
3
x2 y2
18. 已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2

1
的离心率为 ，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距
2
离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点N1,0  且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，直
线AP与直线BQ相交于点M．
(ⅰ)求证：点M在定直线上；
S
(ⅱ)设△APB和△PBQ的面积分别为S ，S ，求 1 的取值范围．
1 2 S
2
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)设过点N1,0  且斜率不为0的直线PQ的方程为x=my+1，设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  ，
由椭圆方程可知A-2,0  ,B2,0 
x=my+1

，联立x2 y2 ，
+ =1
4 3
整理得3m2+4  y2+6my-9=0，
6m 9
由根与系数的关系得y +y =- ,y y =- ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
y
设直线AP的方程为y= 1 x+2
x +2
1

y
，直线BQ的方程为y= 2 x-2
x -2
2
 ，
设Mx 0 ,y 0 
y
，则 x + 1 2 x 0 +2
1

y
= x - 2 2 x 0 -2
2
 ，
y
将x 1 =my 1 +1,x 2 =my 2 +1代入得 my 1 +3 x 0 +2
1

y
= my 2 -1 x 0 -2
2
 ，
同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得4-x 0  y 1 +3y 2  =0，
因为直线PQ的斜率不为0，y ,y 不能同时为0，且若假设y +3y =0,y =-3y ，
1 2 1 2 1 2
6m 3m
代入到y +y =- ，得y = ；
1 2 3m2+4 2 3m2+4
9 3
代入到y y =- ，得y2= ，
1 2 3m2+4 2 3m2+4
3m 3
将y = 代入到y2= 中，整理得9m2=9m2+12，即0=12矛盾，故假设不成立，
2 3m2+4 2 3m2+4
即y +3y ≠0，
1 2
故只能4-x =0，即x =4，
0 0
因此点M在定直线x=4上.
(ii)1,3 
【解析】
【小问1详解】
c 1
由椭圆的定义得2a=4，解得a=2，又因为离心率e= = ，
a 2
所以c=1，则b2=a2-c2=4-1=3，
x2 y2
因此椭圆标准方程为 + =1.
4 3
·10·【小问2详解】
(i)略
1
(ii)由题可知S = AB
1 2
 ×y
1

1
= ×4×y
2 1
 =2y
1
 ，
且BN 
1
=1，S = BN
2 2
 ×y -y
1 2

1
= y -y
2 1 2
 ，
S 2y
所以 1 = 1
S 2

1 y -y 2 1 2 
4y
= 1

y -y 1 2 
.
6m 9
由(i)可知y 1 +y 2 =- 3m2+4 ,y 1 y 2 =- 3m2+4 ，且3y 1 +y 2  =2my y ， 1 2
y
设t= 2 t<0 y 1 
S 4y
，则y =ty ， 1 = 1 2 1 S 2

1-t  y 1 
4
= 代入到根与系数关系中， 1-t
即y 11+t 
6m 9
=- ,ty2=- ， 3m2+4 1 3m2+4
1+t
将上式化简整理得
 2 4m2
=- ，
t 3m2+4
再结合31+t 
9
=2mty ,y2=- 1 1 t3m2+4  消去y ， 1
得m23t2+10t+3  =-41+t  2，
1
可得3t2+10t+3<0，解得t∈-3,-
3
 ，
4 4
所以 <1-t<4，则1< <3，
3 1-t
S 4y
则 1 = 1
S 2

1-t  y 1 
4
= ∈1,3
1-t
 ，
S
故 1 的取值范围为1,3
S
2
 .
19. 如图，已知给定线段B 1 C 1 长为2，以B 1 C 1 为底边作顶角为θ0°<θ≤90°  的等腰△A B C ，取 1 1 1
△A B C 的腰A B 的三等分点B ，C (B 靠近A )，以B C 为底边向△A B C 外部作顶角为θ的等
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1
腰△A B C ⋯依次类推，取△A B C 的腰A B 的三等分点B ，C (B 靠近A )，以B C
2 2 2 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n n n n-1 n n
为底边向 △A n-1 B n-1 C n-1 外部作顶角为 θ 的等腰三角形 △A n B n C nn≥2  ，得到三角形列
△A B C
n n n
 ．
(1)用θ表示出△A B C 的外接圆半径；
1 1 1
(2)当θ=60°时，证明：△A B C
n n n
 各顶点均在△A B C 外接圆上或其内部；
1 1 1
(3)若△A B C
n n n
 各顶点均在△A B C 外接圆上或其内部，求cosθ的取值范围．
1 1 1
·11·1
【答案】(1)R=
sinθ
(2)建立如图平面直角坐标系，
可知A 10, 3  ，B 1-1,0  ，C 11,0 
1 2 3
，B - , 2 3 3 
2 3
，C - , 2 3 3 
2 3
，A -1, 2 3  .
1 1 2 3 3
因为△A B C 外接圆半径R= = = ，圆心O 0,
1 1 1 sin60° 3 3 1 3
2
 ，所以外接圆方程为x2+
3
y-
3

2 4
= ，
3
易得A 在该外接圆上，又B ，C 在线段A B 上，所以在外接圆内.
2 2 2 1 1
1
因为△A B C 与△A B C 都为正三角形且求解过程与方向无关，相似比都为 ，因此求解过程与上
2 2 2 3 3 3 3
述一致，
易得A 在△A B C 外接圆上，又B ，C 在线段A B 上，所以在外接圆内.
3 2 2 2 3 3 2 2
同理，易得A 在△A B C 外接圆上，又B ，C 在线段A B 上，所以在外接圆内.
4 3 3 3 4 4 3 3
由此可知，△A n B n C n 各顶点都在△A n-1 B n-1 C n-1 的外接圆上或其内部n≥2  ，因此也就在△A B C 1 1 1
外接圆上或其内部.
也就说明△A B C
n n n
 各顶点均在△A B C 外接圆上或其内部成立.
1 1 1
(3)
1
0≤cosθ≤
2
【解析】
【小问1详解】
2 1
因为∠B A C =θ，设外接圆半径为R，由正弦定理， =2R，解得R= .
1 1 1 sin∠B A C sinθ
1 1 1
【小问2详解】
略
【小问3详解】
所有顶点中，A 是距离圆心最远的外部顶点(后续顶点逐步向内收缩)，因此只需保证A 在圆内或圆
2 2
上，即可满足所有顶点的条件.
θ
可知A 0,cot 1 2  ，B 1-1,0  ，C 11,0 
1 2 θ
，B - , cot 2 3 3 2 
2 1 θ
，C - , cot 2 3 3 2  .
cos
θ
⋅sinθ-sin
θ
sin
θ 2cos2θ
-1
1 θ 1 2 2 2 2
因为半径R= ，由cot - = =
sinθ 2 sinθ θ
sin ⋅sinθ
2

cosθ
= =cotθ，
θ sinθ
sin ⋅sinθ
2
·12·可得△A 1 B 1 C 1 外接圆圆心O 10,cotθ  ，又A B 1 1 
1
= ，所以B C θ 2 2
sin
2

1
= ，A B θ 2 2
3sin
2

B C
= 2 2

⋅ 2
1 1
= ，
sin
θ 6sin2θ
2 2
2sin2θ
+1
1 1 2 2-cosθ
又- - =- =-
3 6sin2θ 6sin2θ 31-cosθ
2 2

2-cosθ
，所以A -
2 31-cosθ 
2 θ
 , cot
3 2
 ，
1 θ θ
因为cotθ= cot -tan
2 2 2

2 θ 2 θ 1 θ θ
，化简 cot -cotθ= cot - cot -tan
3 2 3 2 2 2 2

1 θ
= cot
6 2
θ θ
cos sin
1 θ 2 2 2-cosθ
+ tan = + = ，
2 2 θ θ 3sinθ
6sin 2cos
2 2
所以O A
1 2

2-cosθ
= -
31-cosθ 
 
2 2 θ
+ cot -cotθ
3 2

2 2-cosθ
=
 2
91-cosθ 
2-cosθ
+
2 3sinθ

2
≤R=
1
，
sinθ
设cosθ=c-1≤c≤1 
2-c
，得
 2
9c-1 
2-c
+
2
 2
91+c  1-c 
1
≤
1+c  1-c 
，
1 1
化简得2c2+c-1≤0，解得-1≤c≤ ，又因为0°<θ≤90°，所以0≤cosθ≤ .
2 2
·13·