文档内容
2023 年重庆一中高 2024 届高三上期开学考试
数学测试试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 的真子集个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数定义域可求得 ，根据元素个数即可求出真子集个数.
【详解】根据题意可知 ，解得 ；
即 ，可知集合 中含有3个元素，
所以其真子集个数为 个.
故选：A
2. 已知符号函数 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充要条件的定义判断可得答案.
【详解】若 ，则 异号，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故“ ”是“ ”的充要条件.
故选：A.
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，可得答案.
【详解】由题意可知：
，
， .
故选：A.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列如下： ，经计算，该组数据中位数是16，若
分位数是20，则 （ ）
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】利用中位数和百分位数的定义得到 ， ，求出答案.
【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即 ，
，故选取第7个数为 分位数，故 ，
所以 .
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知 是定义在 上的奇函数. ，且当 时， ，
则 （ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称性与奇偶性得到 的周期为 ，再求出 及 ，最后根据周期性计算
可得.
【详解】由 满足 ，可得 的对称中心为 ，则 ，
又函数 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以函数 的周期为 ，
又 ，令 ，则 ，
是定义在 上的奇函数，则 ，
又当 时， ，
则 ，
，
所以 ．
故选：C．
6. 已知 为 中不同数字的种类，如
，记“ ”为事件 ，则事件 发生的概率 （
）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】由题意给的定义求出 的排列有256种，当 时，即排列中有2个不同
的数字，结合排列组合的应用计算即可求解.
【详解】由题意知， 的排列共有 种.
当 时，即排列中有2个不同的数字：
若有3个数字相同，有 种情况；
若有2个数字相同，有 种情况，
此时共有 种情况，所以事件A的概率为：
.
故选：B.
7. 设 分别为椭圆 的左右焦点，M为椭圆上一点，直线 分别交椭圆
于点A，B，若 ，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出 ，根据向量的定比分点，将 两点的坐标表示成含 的式子，再代入椭圆
方程联立即可解得 ，即可求得离心率.
【详解】如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司易知 ，不妨设 ， ，易知 ，由
可得 ，即
同理由 可得 ；
将 两点代入椭圆方程可得 ；
即 ，又 ，整理得
解得 ，
所以离心率 ；
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知实数 满足： ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造 ， ，求导，得到函数单调性，得到 ，从而
；构造 ， ，求导后得到函数单调性，得到
， 设 ， 则 ， 从 而 得 到 ， 取 得 到
，从而求出答案.
【详解】令 ， ，
故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，即 ， ，
所以 ， ，
令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上恒成立，
故 ，所以 ，
设 ，则 ，
故 ，所以 ，
即 ，由于 ， ，
故 ，取 得： .
所以 .
故选：A
二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据指数函数单调性可得 ，可判断A错误；构造函数
可知，当 时 ，即B错误；利用函数 在 上为单调递增可知C正确；
利用作差法可判断D正确.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，根据指数函数 在 上单调递增，又 ，
所以 ，即 ，可得 ，所以A错误；
对于B，构造函数 ,易知 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
所以可得 时， ，此时 ，即 ，所以B错误；
对于C，令 ，则 ，
所以函数 在 上为单调递增，即 ，又 ，
可得 ，即选项C正确；
对于D，由 可得 ，即 ，所以D正
确；
故选：CD
10. 某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为 0.3和0.7，
如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为 0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去
甲游乐场的概率为0.6，则王同学（ ）
A. 第二天去甲游乐场的概率为0.63
的
B. 第二天去乙游乐场 概率为0.42
C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
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学科网（北京）股份有限公司D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.
【详解】设 ：第一天去甲游乐场， ：第二天去甲游乐场， ：第一天去乙游乐场， ：第二天去乙
游乐场，
依题意可得 ， ， ， ，
对A， ，A正确；
对B， ，B错误；
对C， ，C正确；
对D， ，D错误，
故选：AC.
11. 设 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用消元法、平均值换元法，结合柯西不等式、基本不等式逐一判断即可
【详解】A：因为 ，所以 ，即 ，
，显然该函数在 时，单调递增，
因此该函数此时没有最大值，因此本选项不正确；
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学科网（北京）股份有限公司B： ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ，因此本选项正确；
C：因为 ，
所以不妨设 ，设 ，
，
函数 在 时，单调递增，故 ，
因此本选项正确；
D：因为 ，
2
所以
a5+b5
=
a4
+
b4
=
(a4
+
b4
) (a+b)≥
[
(
a2
⋅√b ) + (
b2
⋅√a )
]
=(a2+b2) 2 ，
ab b a b a √b √a
而(a2+b2) 2 ≥ [(a+b) 2] 2 = 1 ，当且仅当 时，取等号，
2 4
即 的最小值为 ，因此本选项正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题关键在于运用柯西不等式和平均值换元法.
12. 已知函数 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则 是增函数
B. 若 ，则
C. 若 ，则 可能有两个零点
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数即可判断 A；根据不等式的性质及指数函数的单调性即可判断 B；易得函数
在 单调递减，即可判断C；由 ，得 ，则
有两个不同的正根 ，构造函数 ，利用导数求出 的具体关
系，再构造函数 ，利用导数判断其单调性，进而可判断D.
【详解】对于A选项，若 ， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，故 ，所以 在 上是增函数，故A对；
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学科网（北京）股份有限公司对于B选项， ，则 ，
故 ，从而 ，故B对；
对于C选项，若 ，则 ，
因为函数 在 都是减函数，
所以函数 在 单调递减，
故函数 最多只有一个零点，故C错；
对于D选项， ，则 ，
又 ，
则 有两个不同的正根 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又当 时， ，当 时， ，
作出函数 的大致图像，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司由图可得，要使 有两个不同的正根 ，则 ，
又 ，则 ，
而 ，同理 ，
构造函数 ，则 恒成立，
故 在 单调递减，
，则 ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
故 ，故D对.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量 ，且 ，则 ________.
【答案】0.2##
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果.
【详解】由随机变量 ， ，
利用正态分布的对称性计算可知 ，
故答案为：0.2
14. 二项式 展开式的常数项是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出通项公式，再令 的幂指数等于 ，求得 的值，即可求得展开式中的常数项的值.
【详解】由于 的展开式的通项公式为：
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，解得 ，
则其展开式的常数项为 .
故答案为：
15. 已知函数 满足 ，若 在其定义域内单调递减，则正实数m
的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得 的解析式，然后根据 的单调性，由 分离参数 ，结合基本不等式求
得 的取值范围.
【详解】依题意， ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 .
所以 ， 的定义域是 ，
依题意 在 上单调递减，
若 ，则 在 上单调递增，不符合题意.
当 时，由于 和 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，不符合题意.
当 时， ，在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由于 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 .
故答案为：
16. 已知函数 定义域为 ， ，且满足 ，其中 为 的导函数，若
不等式 恒成立，则正实数 的最小值
为_________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，讨论单调性可得 ，进而可得
，再构造函数 讨论单调性可得 ，从
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学科网（北京）股份有限公司而构造函数 求最大值即可求解.
【详解】由 可知 单调递增.
不等式变形为 ，
构造 ， 在定义域 恒成立，
所以 在 上单调递增，
故 ，即 ，
进一步变形得： ，
构造
设 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
.
故 单调递增
（*）等价于 ，即 恒成立，
构造函数 ， ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 的最大值为 ，所以 ，即正实数 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为: .
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造两个函数 ， ，以及二次求导
研究函数的单调性及最值，是一道有难度的题.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知正方体 的棱长为2，设 分别为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明：连接 交于点 ，连接 ，
由中位线可知 且 ，
又因为 且 ，
所以 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司为
所以 平行四边形，所以 .
结合 平面 平面 可知， 平面 .
【小问2详解】
以 为原点， 为坐标轴建立如图坐标系.
此时 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 ，
可知： ，设 ，
所以平面 的法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角.
所以 .
18. 设等差数列 的前 项之和为 ，且满足： .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证： .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的的基本量计算求解；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
设 的公差为 ，则由已知 ，
解得 ,所以 .
【小问2详解】
由于 ，
所以 .
19. 已知 、 分别为定义域为 的偶函数和奇函数，且 .
（1）求 的单调区间；
（2）对任意实数 均有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的增区间为 ，减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）对于 将 换成 结合奇偶性求出 、 的解析式，在利用导数
求出函数的单调区间；
（2）设 ，则问题转化为 在 时恒成立，参变分离可得 ，再
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学科网（北京）股份有限公司利用基本不等式求出 的最小值，即可求出 的取值范围.
【小问1详解】
因为 ①， 、 分别为定义域为 的偶函数和奇函数，
所以 ， ，
所以 ，即 ②，
①②解得 ， ，
所以 ， ，
所以 （ ）在定义域 上单调递增，又 ，
所以当 时 ，即 的单调递增区间为 ，
当 时 ，即 的单调递减区间为 .
【小问2详解】
设 ，因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
不等式 恒成立，转化为 在 时恒成立，
分离参数得 在 时恒成立，由均值不等式 ，当且仅当 时取等
号，
故 的最小值为 ，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
20. 甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球 次时投篮结束，
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学科网（北京）股份有限公司其中 为给定正整数.设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，且各次投篮互不影响.
（1）当 时，求甲获胜的概率；
（2）设投篮结束时甲恰好投篮 次，求 的数学期望 .（答案用含 的最简式子表示）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分甲投球1次获胜、甲投球2次获胜和甲投球3次获胜三种情况，计算相应的概率相加即可；
（2）根据投篮次数的取值，计算相应的概率，由公式求数学期望，借助数列求和的错位相减法化简.
【小问1详解】
甲投球1次获胜的概率 ，甲投球2次获胜的概率 ，
甲投球3次获胜的概率 ，
所以甲获胜的概率 .
【小问2详解】
记“甲第 次投中”为事件 ，“乙第 次投中”为事件 ，其中 ，
当 时，投篮结束时甲恰好投篮 次的概率为： ，
投篮结束时甲恰好投篮 次的概率为：
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
设 ，则 ，
则 ，错位相减得：
，
所以 .
21. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，设 为坐标原点，
线段 的中点为 ，且满足 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 ，圆 过 且交直线 于 两点，直线 分别交 于另一点
（异于点 ）.证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意求出 即可得解；
（2）设 ，先求出圆 的方程，令 ，利用韦达定理求出
，设直线 的方程为 ，联立方程，利用韦达定理求出 ，再根据 三点
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学科网（北京）股份有限公司共线得 ，求出 ，同理求出 ，整理可得出答案.
【小问1详解】
由题意 ，
由 可知： ，
整理得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
【小问2详解】
设 ，
依题意，圆 的方程为 ，
令 ，则 ， ，
由韦达定理可得 ，
由已知直线 不与 轴垂直，设直线 的方程为 ，
与椭圆联立得： ，
由韦达定理可得 ，
由 三点共线得 ，
所以 ，
同理 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
去分母整理得： ，
将韦达定理带入得： ，
整理得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不合题意，所以 ，
所以直线 的方程为 ，恒过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
22. 已知函数 .
（1）设 ，经过点 作函数 图像的切线，求切线的方程；
（2）若函数 有极大值，无最大值，求实数 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求导得 ，再由导数的几何意义，即可得到结果；
（2）根据题意，求导得 ，令 ，然后分 与 两种情况，分别讨论，即可得到
结果.
【小问1详解】
时 ，
设切点为 ，则切线斜率为 ，
切线方程： ，
将点 带入得： ，
此时斜率 ，所以切线方程为 .
【小问2详解】
函数 的定义域为 ，令 ，则
（1）当 时 在 单调递增，
注意到 时， ，注意到 时， ，
故存在 ，使得 ，在 时 单调递减，在 时，
单调递增，函数 有极小值，无极大值，不符合题意.
（2）当 时，令 ，令 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 单调递增，在 单调递减.
当 时 ，当 时 ，
所以 ，
若 ，则 恒成立， 在 单调递减，无极值和最值.
若 ，即 ，此时存在 ，使得 ，
且在 有 单调递减；在 有 单调递增，此时
为 的极大值.
注意到 时 ，要使 无最大值，则还应满足 ，
即 ，同时 ，
带入 整理得 .
由于 ，且 在 单调递减，故 ，
即 ，
综上实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求切线方程问题以及导数与函数极值，最值的综合问题，难度较大，
解决本题的关键在于分情况进行讨论，将问题合理转化.
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
