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福州高级中学 2026―2027 学年高三 8 月适应性考试
数学学科试卷
试卷总分：150分 完卷时间：120分钟
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共有 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的．
{ }
1．已知集合A= x|x2 −2x−3<0 ，B={x|x<2}，则AB=（ ）
A．{x|x<2} B．{x|x<3}
C．{x|−1≤ x<2} D．{x|−1< x<3}
2．已知复数z满足：z ( 1+i )=2−i，则复数z在复平面中对应的点z位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知圆C:(x−1)2 +(y−1)2 =4与直线l:x+ay+1=0相切，则实数a=（ ）
4
A．− B．0
3
4 4
C． D．0或
3 3
sinθ+cosθ
4．若 =2，则sinθ⋅cosθ=（ ）
sinθ−cosθ
3 3
A．− B．
10 10
3 3
C．± D．
10 4
5 1 S
5．已知{ a }为正项等比数列，满足a +a = ，a a = ，则 8 =（ ）
n 1 3 4 2 4 16 S
4
17 1
A． B．
16 16
1 5
C． D．
4 4
6．如图，在△ABC中，∠BAC =120°，AB=2，AC =1，D是边BC上一点，DC =2BD，则
C C
AD⋅BC =（ ）
学科网（北京）股份有限公司3 8
A． B．
8 3
8 3
C．− D．−
3 8
7．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之
和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
3 3
A． B．
36 72
3 3
C． D．
108 324
lnx
8．已知函数 f ( x )= ，若方程2
f ( x )
2 +( m+1 ) f ( x )+m−1=0有三个不等实根，则实数m的取
x
值范围为（ ）
e−2 e−2
A． ,1 B． ,1
e+1 e
e2 −2e e2 −2
C． ,1 D． ,1
e2 +1 e2 +e
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选
项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
π
9．已知函数 f ( x )=cosx+ ，则（ ）
4
A． f ( x )的最小正周期为2π
π 2
B． f =
2 2
5π
C． f x+ 为偶函数
4
7π
D． f ( x )的图象关于直线x= 对称
4
10．在长方体ABCD−ABC D 中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD 上，且PA= 10，
1 1 1 1 1 1
PD= 2，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．AA =1
1
B．过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5 2+2 10
C．以点P为球心， 2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π
D．三棱锥P−ABD外接球的体积是36π
11．已知O为坐标原点，F 是抛物线E: y2 = x的焦点，点A ( x ,y )，B ( x ,y )在E上且位于x轴的两
1 1 2 2
C C
侧，OA⋅OB=2，则（ ）
A．y y =−2
1 2
B．直线AB经过点(
2,0
)
C C
C． OA⋅OB ≥10
D．△ABO与△AFO面积之和的最小值是3
第 II 卷
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为27，
32，39，m，46，47；小李的六次成绩从小到大分别为30，31，34，41，42，45，只知小张的
六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m=________．
13．已知函数 f ( x )=ln x+m ，若 f ( x )为偶函数，则 f ( x )在x=1处的切线方程为________．
2 ( )
14．数列a = 1≤n≤2026,n∈N* 共2026项，现剔除前两项a ，a 并将aa +a +a 作为最后
n 2n−1 1 2 1 2 1 2
一项，组成一个新的数列{ b }，显然数列{ b }共2025项．循环此操作剔除前两项b ，b ，并将
n n 1 2
bb +b +b 作为最后一项，组成一个新的数列{ c }，显然{ c }共2024项．依此操作共重复2025次，则
1 2 1 2 n n
最后还剩下一项，此项为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
sinC = 3sinBsinA− 3cosBcosA．
（1）求C；
3 21
（2）若边AB上的高为 ，a=2，求b，c．
7
16．（本小题满分15分）已知四棱柱ABCD−ABC D 中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AA⊥平
1 1 1 1 1
面ABCD，AD⊥ AB，其中AB= AA =2，AD= DC =1．N 是BC 的中点，M 是DD 的中点．
1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司（1）求证DN//平面CBM ；
1 1
（2）求点B到平面CBM 的距离．
1
x2 y2 6
17．（本小题满分15分）已知椭圆M : + =1(a >b>0)的离心率为 ，焦距为2 2．斜率为k
a2 b2 3
的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A、B．
（1）求椭圆M 的方程；
（2）若k =1，求 AB 的最大值．
18．（本小题满分17分）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独
立．已知单局比赛中，甲获胜的概率为 p(0< p<1)．
2
（1）双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜．若 p= ，
3
（i）求乙3∶2获胜的概率；
（ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率．
（2）设 p ：双方进行满2n+1局比赛（不提前结束），甲赢得至少n+1局的概率；q ：双方进行比
n n
赛，采用至少赢n局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢n局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获
胜的概率．比较 p 与q 的大小．
n n
19．（本小题满分17分）三个互不相同的函数 f ( x )，g ( x )和h ( x )在区间D上恒有
f
(
x
)≥h (
x
)≥
g
(
x
)或恒有
f
(
x
)≤h (
x
)≤
g
(
x
)，则称h (
x
)为
f
(
x
)与g (
x
)在区间D上的“分割函
数”．
（1）设h ( x )=4x，h ( x )= x+1，试分别判断h ( x )、h ( x )是否是y =2x2 +2与y =−x2 +4x在区
1 2 1 2
间(−∞,+∞)上的“分割函数”，请说明理由；
（2）若二次函数h ( x )是y =2x2 +2与y =4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”，求h ( x )；
3 3
（3）设[ m,n ]⊆[−2,2 ]，若存在函数h ( x )=kx+b ( k,b∈R )，使得h ( x )为y = x4 −4x2与
4 4
y =4x2 −16在区间[ m,n ]上的“分割函数”，求n−m的最大值．
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