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2026 年下期高三入学质量检测
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为
A．4 B．5 C．6 D．7
3．复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．平面向量 ， ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
5．设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
6．已知 是函数 的极小值点，则
A． B．
C． D．
7．已知正方体 的8个顶点都在球 的球面上，且过 ， ， 三点的平
面截球 所得截面面积为 ，则球 的体积为
A． B． C． D．
8．从如图所示的 方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则事件“选中方格中的4个数之和为 ”的概率为
数学试题卷 第1页 共4页
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在棱长为1的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 上一点（含
端点），则
A． 平面
B．直线 可能相交于同一点
C．平面 与平面 可能平行
D．正方体表面上满足 的动点 的轨迹长度为
10．设函数 的定义域为 ，定义 ， ．若 为奇
函数， 为偶函数，则下列说法正确的是
A． B． 的解析式为
C． 在区间 上单调递增 D． 的最大值为
11．设 为双曲线 ： （ ， ）的左焦点，经过原点且斜率大于 的直
线 交 于 ， 两点， 与 轴垂直， ，则
A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．双曲线 的离心率为 D．直线 的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ，则 的展开式中 的系数为__________________．
13．求值： ___________．
14．已知 三个内角 的对边 依次成等比数列，且 ，
，点 为线段 （不含端点）上的动点．设 为常数，若满足
的点 恰好有2个，则实数 的取值范围为______．
数学试题卷 第2页 共4页
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分) 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足：
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，角 的角平分线交 于点 ，求 的长度.
16．(15分)如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，且二面角 的大小为 ，
（i）求直线 与平面 所成角的大小；
（ii）求 的长．
17．(15分) 某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三
个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第
3阶段）．测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶
段测试通过后才能进入下一阶段．一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试
流程．已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为 ， ， ，
且每次测试相互独立．记事件 为“该工程师第 次测试后芯片合格”．
(1)求 ， ；
(2)记“第 次测试后恰好通过量子纠缠校准测试”为事件 ，记“第 至 次
进行逻辑门操作验证测试没有通过且第 次通过”为事件 ，求 ， 并求
的表达式；
(3)比较 与 的大小．
数学试题卷 第3页 共4页
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}18．(17分)
已知双曲线 ，过点 的直线 与 的上、下两支分别交于点 ， ．
(1)若点 是 上的动点，求 的最小值；
(2)设 为坐标原点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，
（i）若 ，求直线 的方程；
（ii）求 的取值范围．
19．(17分)
已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，对任意的 ， 恒成立，求 的最小值．
数学试题卷 第4页 共4页
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}2026 年下期高三入学质量检测
数学参考答案
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D C C D C B BD BCD ACD
1．C 【详解】不等式 解得 ，则 ，
又 ，所以 .
2． B 【详解】易知共6个数据，且 ，
因此第60百分位数取第四个数即可，即为5.
3．D 【详解】因为 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，
所以复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
4．C 【详解】因为 ， ，所以 ， ，
设 与 的夹角为 ，则 ，所以
，所以 .
5．C 【详解】已知等比数列 的前 项和为 ，设等比数列 的公比为 ，
根据等比数列 的前 项和的性质， ， ， ， 等构成一个公比为
的等比数列，
已知 ， ，则 ，所以 ，
所以 ，即 ，
，即 ，
因此 ，故C正确.
6．D 【详解】由题 ，
令 ，解得 ，
1
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}因为 是极小值点，
所以当 时， 是极小值点， 是极大值点成立，
当 时， 是极大值点， 是极小值点，舍去，
所以 ，
对于A， ，
所以 ，故A不正确；
对于B，令 ，则 ，
所以 ，故B不正确；
对于C，令 ， ，
所以 ，故C不正确；
对于D， ，
，
所以 ，故D正确.
7．C 【详解】设截面圆半径为 ，由截面面积 ，解得 ，
设正方体棱长为 ，由正方体棱长关系可得 ，
即 是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径 ，
故 ，解得 ，
设正方体外接球半径为 ，则其直径 等于正方体对角线，即
，解得 ，
球的体积为 ．
2
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}8．B 【详解】从第一行选出一个方格，有4种选法，再从剩下的3行中选取一个与第一个
方格不同列的方格，有3种选法，
然后从剩下2行中选取1个与前2个方格不同列的方格，有2种选法，最后剩下一种，
则符合要求的选取4个方格的情况数为 种.
又由题可得当“选中方格中的4个数之和为 ”时，方格中的数字只能为 ，
则从第三行选定 后，
若第一行选取第一个0，则第二行只能选取第4个0，第四行只能选取第3个0；
若第一行选取第三个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第4个0；
若第一行选取第四个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第3个0.
综上“选中方格中的4个数之和为 ”的情况数为3，则对应概率为 .
9． BD 【详解】
对于A，连接 ，易证平面 平面 ， 平面 ，
故 不平行于平面 ，故A错误；
对于B，连接 ，并延长交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，故B正确；
对于C，如图：建立空间直角坐标系，则 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，取 ，则 .
若平面 与平面 平行，则 ，
3
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}而 ， ，显然不成立，
故平面 与平面 不可能平行，C错误；
选项D ，由 得 ， ，即 ，
而 平面 ，所以点 的轨迹为矩形 的四条边，
所以动点 的轨迹长度为 ，故D正确.
10．BCD 【详解】 为奇函数， ，
，即 ；
为偶函数， ，
，即 .
联立 ，解得 .
，
故 是一个二次函数，其二次项系数 ，函数图象开口向下，对称轴为 .
在 上单调递增，在 上单调递减；
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由 在 上单调递增，且 ， 在区间
上单调递增，故C正确；
对于D， ，二次项系数 ，得 时， 取得最大值，此
时 ，故D正确.
11．ACD 【详解】对于A，由 ，得 或 ，
4
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}所以 ，故A正确；
对于B，设双曲线的右焦点为 ，连接 ，
因为 关于原点对称， 也关于原点对称，
所以四边形 为平行四边形，
且 ，
所以 为等腰直角三角形，
所以 ，
即 ， ，
所以 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，故B错误；
对于C，由B可知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率 ，故C正确；
对于D，因为 ，
即直线 的斜率为 ，故D正确.
5
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}12． 【详解】∵ ，∴ ，即 ，
则 的展开式 ，
令 ，则 ，∴ ，
∴ 的展开式中 的系数为 .
13． 【详解】
.
14． 【详解】因为三边 成等比数列， ，故 ，
由正弦定理得 ，即 ，
又 ， ， ，
所以 ，整理得 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，整理得 ，
解得 （舍去负根），又 ，故 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 是边长为2的等边三角形,建立坐标系如图所示，
6
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}设 ，动点 .则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，记 ，
因为满足条件的点 恰好有2个，所以 ，
解得 或 ，所以t的取值范围是 .
15． 【详解】（1）
由正弦定理可得： ，
则 .
由余弦定理，得 ,
所以 ，
故 ，
又 ，∴ .
（2）由
可得 ，
则 .
16．【详解】(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， ，所以 ,
所以 ,所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）（i）因为 平面 ，
由线面角的定义知， 为直线 与平面 所成角的平面角．
7
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}又因为 ，故线面所成角的大小为 ；
（ii）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ．
过 作垂线 ，垂足为 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
过 作垂线 ，垂足为 ，则 为二面角 的平面角．
故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，又 ， ，
解得 ．
17． 【详解】（1）依题意， ，
事件 发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率为 ，
由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前两个阶段概率为
，
所以 ．
（2）先求事件 的概率，
第 次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段的测试发生在第 次
（ ），
且首次通过第二阶段的测试发生在第 次，对所有可能的 求和得到
.
8
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}求事件 发生分两步：
第一步，第 次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，概率为 ，
第二步，第 次至 次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第 次通过，概率为
；
由全概率公式得， ，
设 ，则 ，
两式相减得，
，
所以 ，所以 ．
（3）依题意， ，又因为 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，因为 ，
所以 ，故数列 在 时递增，
又 ， ，故当 ，3，4时， ，
故 ，当 时， ，故 ．
18．【详解】（1）设 ，则 ，
9
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}所以 ，
即当 时， .
（2）如图：
设 与 联立，有 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
得 ，
则 ，
（i）当 时， ，直线 的方程为 ；
（ii）因为直线 ， 存在斜率，所以 ，
故 ，
所以 ，
即 的取值范围 ．
19．【详解】（1）当 时， ，故 ，
所以 ，又因为 ，
所以切线方程是 ．
（2）由题意得 ，
10
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}若 不存在单调增区间，则 恒成立（*），
即 恒成立，令 ， ，
所以，当 时 ，当 时 ，
所以 在 递减，在 递增，
所以 ，所以 ，
（经检验当 时，（*）式成立），
因此函数 存在单调递增区间，可知 ；
可知所求实数 的取值范围是 .
（3）由（2）知， ，令 ，
所以 ，即 在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以必存在正数 ，使得 ，
故 ，
由（2）知，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
由上知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
即 ，
令 ，
因为 ，
所以当 时， 单调递减， 时， 单调递增，
所以 ，
因此 的最小值为 .
11
{#{QQABSYS1xwAwkhQACI66B0kyCwsYkoIQJKoOhVAaKAQKgANIFAA=}#}
