文档文本内容
深圳市 2026-2027 学年高三数学上学期开学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数 满足 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ， ， ，则
（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
4．设等差数列 的前 项和为 ，且公差不为 ，若 ， ， 构成等比数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
1 / 5
学科网（北京）股份有限公司6．已知 ，函数 在区间 上有且仅有两个零点， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于原点对称，若直线 的斜率
之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为1 B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递增 D． 的图象关于 对称
10．设动直线 ： 交圆 ： 于A，B两点（点 为圆心），则
下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当 取得最小值时，
C．当 最小时，其余弦值为 D． 的最大值为24
11．已知连续函数 满足 ，则（ ）
A． B． 最小值为1
C． D．
2 / 5
学科网（北京）股份有限公司第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从 名教师中选若干人在 天假期值班（每
天只需 人值班），同一人不能连续值班 天，则可能的安排方法有___________种．
13．已知 的展开式的二项式系数和等于 ，则 展开式中的含 项
的系数为___________．
14．已知 ， ， ， 是8个正整数，记 ，其中 ， ， ， ，
若 ，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求边c的长．
16．（15分）
已知正方形 ， 、 分别是 、 的中点，将 沿 折起，如图所示．
(1)求证： 平面 ；
(2)若翻折后当 为等边三角形时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
3 / 5
学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
， 两盒中各有10件产品，其中 盒中有4件次品， 盒中有5件次品.
(1)在 盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量 ，求变量 的概率分布及 .
(2)若随机交换 盒与 盒中两件产品后，再从 ， 盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量 ，
求 .
(3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一
分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？
18．（17分）
已知椭圆 仅经过点 ， ， 中的两个．
(1)求C的方程；
(2)椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．已
知C的左、右焦点分别为 ， ，点 在C上且在第二象限内，从 发出的光线 经过C的反射，反射
光线所在直线与 的另一个交点为 ；记直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为
，如此交替进行，得到点列 ．
（ⅰ）设直线 的斜率为 ，证明：数列 是等比数列，并求出其公比；
（ⅱ）设 的面积为 ，证明： ．
4 / 5
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
设 、 、 是三个定义域为 的函数，如果 对一切
实数x恒成立（A是常数），就称 、 、 是一组“A有序和谐函数”.
(1)为了使得 、 、 是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数 ；
(2)设 ， ， ，求 的所有可能取值，使得 、 、
是一组“ 有序和谐函数”；
(3)已知 、 、 是一组“1有序和谐函数”，且 恒成立，证明： 存在零
点.
（注：①在 上每一处都存在导数的函数必连续；②当 、 都可导时 .）
5 / 5
学科网（北京）股份有限公司
