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深圳市宝安区高三期末考试
数学参考答案
!!#!因为!$%&"’(!)%)&%&$"!$%&"(!’%)&"!$%&"("%’&%*&%)&$($%!!&#所以复数!$
%&"’的实部与虚部之和是$%!!(!’!
#"(#$,$#,!#
$!+!联立" 整理得#$,-#,$(.!由!(!,-"$,)/!/!,$"(’’%.#得原
$"(’#%!#
方程组有两组解#即$&%中有$个元素!
!..
’!0!由题意可知抽取到的男性职工人数为’$./ (")#女性职工人数为!..,")(’"#则
-..
抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多"),’"($*!
! !
)!#!由 ’!#得.(#)!#则$.)#)!%是$ ’!%的必要不充分条件!
# #
-!0!易证&!#"是!上的增函数!因为&!#"在!,!#!"内有零点#
#&!,!"(,!,)%’(.#
所以" 解得,-(’(-!
$&!!"(!%)%’%.#
- - ’
"!1!由*($*(2#*(%*( #可得#%!(2##%!( #即#("##( #
$ $ % $ $ % $
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所以 ( $ %( (’!
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2!#!因为&!#"($345#345"%$5&6#5&6"%345#($5&6"5&6#%!$345"%!"345#(
槡!$5&6" "$%!$345"%!"$&5&6!#%#"#所以槡!$5&6" "$%!$345"%!"$(槡2#所以345"(
! !
#则 "($*!7 !*+""!
$ ’
*!+!如图#设#截得的截面圆的半径为+#球,的半径为-#因为$.8.%( ’
!
!8$#所以,.( -!由勾股定理得-$(+$%,.$#由题意得!+$(!#+(
’
%
$
! 9
!#所以-$(!%!-"$#解得-$( ! # !
’ * ! "
此时过点/作球,的截面#若要所得的截面面积最小#只需所求截面圆的
&
半径最小!设球心,到所求截面的距离为0#所求截面的半径为+1#则+1(槡-$,0$#
所以只需球心,到所求截面的距离0最大即可#而当且仅当,/与所求截面垂直时#球心,到
! ! 9 ! 槡!)
所求截面的距离0最大#即0 (,/(槡!-"$%/.$( #所以+1 (槡, ( !
:;< ’ $ :&6 * ) )
9!#+1!当’(.时#满足’$(’’#但’’(不是等比数列#则0错误!由等比数列的性质可知
2 - ’ 2 2
’$(’’#则#正确!由3(’2,!#得3 (’2,!,!#则’(3,3 ($/’2,!!2’$"#当2
- ’ 2 2 2,! 2 2 2,!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABIQCAogigABJAAQhCAw0aCkMQkAGAAAoOwFAIIAAAyRNABAA=}#}
书书书(!时#’(3($#则’($/’2,!#从而可知’’(是等比数列#则+正确!由3(’2%’#得’
! ! 2 2 2 !
(’%’#’("#’(!*!由等比数列的性质可知’$(’’#即"$(!*!’%’"#解得’(,!#则1
$ ’ $ ! ’
正确!
!.!#+1!由题意可得圆)的圆心坐标为!!#,$"#半径为’#直线4过定点!!#!"#则0错误##
正确!因为点!!#!"在圆)上#所以直线4与圆)一定有公共点#则+正确!圆)的圆心到直
线4的距离的最大值是槡!!%$"$%!!,!"$(’#则1正确!
! !
!!!#+1!设切点为!##$%=6#"#因为!$%=6#1"( #所以’( !又因为切点!##$%=6#"
. . # # . .
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在直线"(’#%5上#所以$%=6#(’#%5(!%5#解得5(!%=6##所以’%5(!% %
. . . #
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! ! ! #,!
=6#!令6!#"(!% %=6##则61!#"(, % ( #易知6!#"在!.#!"上单调递减#
. # #$ # #$
在!!#%>"上单调递增#所以6!#" (6!!"($#故’%5的取值范围为)$#%>"!
:&6
!$!0+1!对于0#取$% 的中点7#连接(7#89!图略"#易知7也是89的中点#在,$%(
! !
中#因为($((%#7为$% 的中点#所以(7-$%!在,89(中#因为(8((9#7为89
! ! !
的中点#所以(7-89!又因为$%#89.平面$%%$#所以(7-平面$%%$!又因为
! ! ! ! !
(7.平面$%(#所以平面$%(-平面$%%$#0正确!
! ! ! !
! !
对于##设点% 到平面%)8的距离为:#易知3 ( /$/槡-,!($#3 ( /$
! ,%)8 $ ,%%!8 $
! !
/$($#因为; (; #所以 /$:( /$/槡’#解得:(槡’##错误!
%!,%)8 ),%%!8 ’ ’
00/ 00/
对于+#取%)的中点<#连接$!,!#槡’#?"#.)?)$#则8%(!!#槡’#!"#8>(!,!#槡’#?,!"!设8% 与8>所成的角
! !
?%! 槡- )!?,!"
为$#则345$( ( &槡!% !令@(?,!!,!)@)!"#则345$
槡-&槡?$,$?%- - !?,!"$%)
槡- )@ 槡-
( &槡!% #当@(.#即?(!时#345$( *当.(@)!#即!(?)$时#345$(
- @$%) -
槡- ) 槡- ’ ! 槡-
& !% #可知 (345$) *当,!)@(.#即.)?(!时#可知 )345$( !综
- ) - - - -
槡 @%
@
! ’
上#8% 与8>所成角的余弦值的取值范围为) # +#+正确!
! - -
对于1#由0选项中的结论知(7-平面$%%$#(7(槡’!又因为球面的
! !
槡’9 槡’9
半径为 #所以以(为球心# 为半径的球面与侧面$%%$ 的交线
’ ’ ! !
槡’9 $槡’ $槡’
!圆的一部分"的半径为槡! "$,!槡’"$( !如图#7/( #79(
’ ’ ’
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{#{QQABIQCAogigABJAAQhCAw0aCkMQkAGAAAoOwFAIIAAAyRNABAA=}#}槡’ ! !
!#所以3451/79( #解得1/79( !由圆与正方形的对称性知1/7A( #所以球
$ " "
$槡’ ! )槡’!
面与侧面$%%$ 的交线长为 / /)( #1正确!
! ! ’ " 9
!
!’!槡’!因为*$!%"*(槡’#所以)!$%)!&"%"$(’#所以!&"(, #则!!,""$(!$,$!&"
$
%"$(’#故*!,"*(槡’!
!)!!!因为&!#"(=4?!#%槡#$%9",’#所以&!,#"(=4?!,#%槡#$%9",’!因为&!#"
’ ’
是奇函数#所以&!#"%&!,#"(.#即=4?!#%槡#$%9",’%=4?!,#%槡#$%9",’(.#
’ ’
所以$’(=4?9($#解得’(!#则&!)’"(=4?!)%槡)$%9",!(!!
’ ’
$$
!-! !从这2项项目中随机抽取’项的情况有+’(’-种#抽取的’项属同一类的情况有+’
’- 2 ’
(!种#抽取的’项包含三类的情况有+!+!+!(!$种#则符合条件的情况有’-,!,!$($$
’ $ $
$$
种#故所求概率为 !
’-
槡!. *"* *$(* !
!"! !设$!##""#%!##""#因为*$%*(’*$(*#所以 ! ( ( #所以"(
9 ! ! $ $ *"* *%(* $ $
$
##,’"%B(.#
"5$B
,$" ! !联立"#$ % "$ (!# 整理得!’$%95$""$,"5$B",5)(.#则" ! %" $ (," ! ( ’$%95$ #
$’$ 5$
5) "5$B 5) B
""(, #从而,$&!, "$(, #整理得*!B$(!.’$#故C(
! $ ’$%95$ ’$%95$ ’$%95$ ’
槡!.
( !
9
!2!解,!!"因为345$%(!,’345%#所以$345$%,!(!,’345%#…………………………!分
所以$345$%%’345%,$(.#所以!$345%,!"!345%%$"(.# ………………………$分
!
则345%( 或345%(,$!舍去"!………………………………………………………’分
$
!
因为.(%(!#所以%( ! ………………………………………………………………)分
’
! 槡’
!$"因为,$%)的面积为"槡’#所以 ’B5&6%( ’B("槡’#则’B($)!………………"分
$ )
由余弦定理可得5$(’$%B$,$’B345%(!’%B"$,’’B# ………………………………2分
则!$槡2"$(!’%B"$,’/$)#即!’%B"$(!..#解得’%B(!.!…………………………9分
故,$%)的周长为’%5%B($槡2%!.!…………………………………………………!.分
!*!解,!!"设数列’’(的公差为0#
2
#’%’($’%*0(!*#
’ 2 !
则" 解得’(!#0($!……………………………………………’分
!
$’%’($’%!!0($)#
- * !
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{#{QQABIQCAogigABJAAQhCAw0aCkMQkAGAAAoOwFAIIAAAyRNABAA=}#}故’(’%!2,!"0($2,!!………………………………………………………………-分
2 !
!$"由!!"可得5(!,!"2!$2,!"!$2%!"(!,!"2!)2$,!"#…………………………2分
2
则5 %5 (,))!$2,!"$,!+%))!$2"$,!+(!"2,)#……………………………9分
$2,! $2
故3 (!5%5"%!5%5"%-%!5 %5 "(!$%$*%-%!!"2,)"
$2 ! $ ’ ) $2,! $2
!!$%!"2,)"2
( (*2$%)2! ……………………………………………………………!$分
$
!9!解,!!"记事件$表示从该地中学生中随机抽取!人#被抽取的这名中学生喜欢羽毛球#事
件%表示从该地中学生中随机抽取!人#被抽取的这名中学生喜欢乒乓球#
则>!$"(!.!’%.!’"/.!"%!.!’%.!!-"/.!)(.!-)#………………………………$分
>!$%"(.!’/.!"%.!!-/.!)(.!$)#…………………………………………………)分
>!$%" .!$) )
故所求的概率>!%*$"( ( ( !……………………………………………"分
>!$" .!-) 9
!$"由!!"可知从该地中学生中随机抽取!人#被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球#又喜欢乒
乓球的概率D(.!$)#则E"%!!..#.!$)"#………………………………………………*分
从而>!E(*"(+* &.!$)*&.!2"!..,*!*(.#!#$#’#-#!.."#………………………!.分
!..
故9!E"(!../.!$)($)!………………………………………………………………!$分
$.!!!"证明,取3$的中点(#连接)(#9(#)8!
!
因为)#8为圆弧$%的两个三等分点#所以)82$%#)8( $%!……………………$分
$
!
因为9#(分别为3%#3$的中点#所以9(2$%#9(( $%#…………………………’分
$
则)829(#9(()8#从而四边形)89(为平行四边形#
故892)(!…………………………………………………………………………………-分
因为893平面3$)#)(.平面3$)#所以892平面3$)! …………………………"分
!$"解,以,为坐标原点#, 00/ %#, 00/ 3的方向分别为"#=轴的正方 )
(
向#建立如图所示的空间直角坐标系!
因为$%(3$()#所以$!.#,$#."#%!.#$#."#)!槡’#,!#."#
" !
8!槡’#!#."#3!.#.#$槡’"#
00/ 00/ 00/ 00/
则$)(!槡’#!#."#$3(!.#$#$槡’"#%8(!槡’#,!#."#%3(
!.#,$#$槡’"!………………………………………………*分 # $ ’ *
% &
设平面3$)的法向量为#(!##"#="# +
! ! !
00/
##&$)(槡’#%"(.#
! !
则" 令#(!#得#(!!#,槡’#!"!……………………………9分
00/ !
$#&$3($"%$槡’=(.#
! !
设平面3%8的法向量为$(!##"#="#
$ $ $
00/
#$&%8(槡’#,"(.#
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则" 令#(!#得$(!!#槡’#!"!……………………………!.分
00/ $
$$&%3(,$"%$槡’=(.#
$ $
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{#{QQABIQCAogigABJAAQhCAw0aCkMQkAGAAAoOwFAIIAAAyRNABAA=}#}设平面3$)与平面3%8所成锐二面角为$#
*#&$* !
则345$(*345.##$/*( ( ! …………………………………………………!$分
*#**$* -
#’
,
!"
(!#
’$ 5$
$!!解,!!"由题可得"B 解得’(!#5($槡$!………………………………………’分
(’#
’
$B$(’$%5$#
#$
故)的标准方程为"$, (!!……………………………………………………………)分
*
!$"由题意可知直线4的斜率存在#设直线4,"(*#%F#$!##""#%!##""!
! ! $ $
#"(*#%F#
联立" #$ 整理得!**$,!"#$%!"*F#%*F$,*(.#……………………………-分
"$, (!#
$ *
则!(!!"*F"$,)!**$,!"!*F$,*"(.#即**$%F$(!! ……………………………"分
槡$ 槡$
由!!"可知)的渐近线方程为"( #和"(, #!……………………………………2分
) )
槡$ 槡$
不妨设直线4与直线"( #的交点为$#与直线"(, #的交点为%!
) )
# #( )F #
#
"(
槡$
## 槡$,)* )F 槡$F
联立" ) 解得" 即$! # "!……………………………*分
槡$F 槡$,)*槡$,)*
$"(*#%F# "( #
$ 槡$,)*
# #(, )F #
#
"(,
槡$
## 槡$%)* )F 槡$F
联立" ) 解得" 即%!, # "!………………………9分
槡$F 槡$%)*槡$%)*
$"(*#%F# "( #
$ 槡$%)*
00/ )F 槡$F 00/ )F 槡$F
由,$(! # "#,%(!, # "#………………………………!.分
槡$,)*槡$,)* 槡$%)*槡$%)*
00/ 00/ )F )F 槡$F 槡$F 2F$
得,$&,%( &!, "% & ( !……………………!!分
槡$,)* 槡$%)* 槡$,)* 槡$%)*
**$,!
2F$ 00/ 00/
因为**$%F$(!#所以F$(!,**$#所以 (,2#即,$&,%(,2! …………!$分
**$,!
槡’
$$!!!"解,&1!#"(!,’#$#令&1!#"(.#可得#(7 !……………………………………!分
’
槡’ 槡’
令&1!#"%.#可得, (#( #…………………………………………………………$分
’ ’
槡’ 槡’ 槡’ 槡’
所以&!#"在!, # "上单调递增#在!,>#, "和! #%>"上单调递减!………’分
’ ’ ’ ’
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABIQCAogigABJAAQhCAw0aCkMQkAGAAAoOwFAIIAAAyRNABAA=}#}槡’ $槡’ 槡’ $槡’
所以&!#"的极大值为&! "( #&!#"的极小值为&!, "(, !……………-分
’ 9 ’ 9
! 槡’
!$"证明,由F&!5&6#"%2&!345#"(@;6 #可得F345$#5&6#%25&6$#345#( #
" ’
槡’
所以F345#%25&6#( ! ………………………………………………………2分
’5&6#345#
! 槡’
由对称性#不妨设#+!.# +#则F345#%25&6#( )!F%2"345##当且仅当5&6#
) ’5&6#345#
(345#时#等号成立#………………………………………………………………………*分
槡’ 槡’
所以F%2’ ( !………………………………………………9分
’5&6#345$# ’!5&6#,5&6’#"
槡$ 槡’ $槡’
由!!"可知&!#"在!.# "上的最大值为&! "( # ………………………………!.分
$ ’ 9
$槡’ 槡’ ’ 槡’
所以.(5&6#,5&6’#) # ’ #当且仅当5&6#( 时#等号成立!
9 ’!5&6#,5&6’#" $ ’
’
因为等号不能同时取到#所以F%2% ! ………………………………………………!$分
$
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