2027版高三《上学期学情综合检测》（河南五校协作体）数学试题（学生版）_2027版《高三上学期开学摸底模拟卷》全国多省（数学）

2027年普通高等学校招生全国统一模拟考试
数学
(考试时间：下午15：00-17：00)
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无
效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一卷 选择题(共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 
1. 已知复数Z= ，则Z的虚部为 ( )
1+i
1 1 1 1
A. i B. - i C. D. -
2 2 2 2
2. 已知集合A=x∣log x>2
3
 ，B=x∈N|x≤2024  ，则集合A∩B的元素个数为 ( )
A. 2014 B. 2015 C. 2023 D. 2024
3. 在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好
与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离S，则此时P到铁轨上表面的距离为 ( )
S
A. R1+cos
R

S
B. R1-cos
R

S S
C. 2Rsin D. Rsin
R R
4. 若a=ln 10,b= ln2⋅ln5,c=ln 4e，则a、b、c的大小关系是 ( )
A. c<a<b B. a<b<c C. c<b<a D. b<a<c
 
5. 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，M为BC的中点，AC =3AN，AM与BN交于点P，则
cos∠MPN= ( )
3 57 57 4 19
A. - B. C. - D. -
16 19 19 19
6. 函数fx 
π
=cosx-
2
 lnex+e-x  的图象大致为 ( )
·1·A. B.
C. D.
b2+c2
7. 在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，且cosA=-sinB，则 的最小值是 ( )
a2
A. 4 2-5 B. 4 2-4 C. 2 D. 4 2-3
8. 对于集合 M ，定义函数 f x M 
-1，x∈M，
=  对于两个集合 M ，N ，定义集合 M △N = 1，x∉M.
x f x
M
 ⋅f x
N
   =-1  ，已知A=2,4,6,7,10  ，B=1,2,4,8,16  .用CardM  表示有限集合M所含元
素的个数，则Card(X△A)+Card(X△B)的最小值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
π
9. 已知△ABC的三个内角分别为A, B, C，B=C+ ，AB=2, AC=3，D在线段BC上，且满
2
足AD平分∠BAC．则 ( )
3 2 25 6 26
A. sinB= sinC B. tanC= C. BC= D. AD=
2 3 13 13
10. 已知x ，x ，x 是函数f(x)=x3-a2x+1的三个零点(a>0，x <x <x )，则 ( )
1 2 3 1 2 3
3 3
A. a3> B. x <0<x
2 1 2
C. fx 1  =fx 3 
1
D. fx 1 
1
+ fx 2 
1
+ fx 3  =0
mem lnn+ln2 1
11. 已知实数m，n满足 = ，且e2m= ，则 ( )
4n2 em m
em 7 3
A. n= B. mn2=1 C. m+n< D. 1<2n-m2<
2 5 2
第二卷 非选择题(共92分)
·2·三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 用1，2，3，12四个数组成一个五位数(每个数仅用到1次)，则能组成 个不同的五位数．
13. 已知点P是直线l ：mx-ny-5m+n=0和l ：nx+my-5m-n=0(m，n∈R，m2+n2≠0)的交
1 2
点，点Q是圆C：x+1  2+y2=1上的动点，则PQ  的最大值是 .
y2
14. 已知双曲线x2- =1的左右焦点分别为F,F，过F 作直线交双曲线C的右半支于P,Q两点，满足
b2 1 2 2
PF ⊥PQ，且△QFF 面积是△PFF 面积的两倍，则双曲线C的离心率为 ．
1 1 2 1 2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列.
(1)若3sinC=5sinA，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使△ABC为钝角三角形?若存在，求a的值；若不存在，说明理由.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= 2，底面ABCD为直角梯
形，其中BC⎳AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.
·3·17. 已知S 是数列a
n n

1
的前n项和，且满足S =1- ．
n n+1
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点P1,0 
1
，定义点A 1+ ,1 n a
n
 ，B nn,1  (其中n∈N )，记α = + n
∠A OP，β =∠B OP．
n n n
(i)求tanβ 2 +β 3  的值；
π
(ii)证明：α +α +⋯+α +β = ．
1 2 n n+1 4
x2 y2 3
18. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的两焦点分别为F,F,C的离心率为 ,C上有三点Q、R、S，直
a2 b2 1 2 2
线QR、QS分别过F,F,△QRF 的周长为8．
1 2 2
(1)求C的方程；
(2)①若Q0,b  ，求△QRS的面积；
②证明：当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的某个顶点．
19. 已知函数fx  =xlnx+a  -2x+2lnx+1  ，gx  =2lnx+a+1  -3x．
(1)若a=0，求gx  在 1,g1    处的切线l的方程；
(2)判断x=0是否是函数fx  的极值点，并说明理由；
(3)若不等式fx  >gx  +kx-2  对任意的x∈2,+∞  ，a∈0,2  恒成立，求正整数k的最大值．
(参考数据：e=2.71828⋯，e2=7.38906⋯，e3=20.08554⋯)．
·4·