2027版高三《8月开学考试数学试题》（重庆市巴南中学校）（学生版）_2027版《高三上学期开学摸底模拟卷》全国多省（数学）

巴南中学2027届高三8月开学调研考试
数学
试卷共5页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无
效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要
求．
1. 已知集合A={x∣-1<x≤1}，B={x∣0<x<2}，则A∩B= ( )
A. {x∣0<x≤1} B. {x∣-1<x<2} C. {x∣0<x<1} D. {x∣-1<x<0}
2. 某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分
析，则应抽取中层海域的样本数为 ( )
A. 50 B. 100 C. 200 D. 250
3. 已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P2,3  ，则C的离心率为 ( )
1 3 1 3
A. B. C. D.
4 4 2 2
4.“直线a⎳平面α”是“直线a与平面α内的任意直线都没有公共点”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2π
5. 已知某圆锥底面的半径为 2，体积为 ，则该圆锥的侧面积为 ( )
3
A. 2π B. 2 2π C. 2π D. 4π
  
6. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，点G在线段EF上.若AG=λAB+μAD，
则λ+μ的最大值为 ( )
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
π π 3π
7. 在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角x和角x- ,x∈  ,
3  2 2
 ，它们的终边分
3
别与单位圆交于点M,N，设线段MN的中点P的纵坐标为y ，若y =- ，则点M的纵坐标是
0 0 4
( )
·1·1 3 1 3
A. - B. - C. D.
2 2 2 2
8. 若对任意的x>0，不等式x2-2mlnx≥1m≠0  恒成立，则m的取值范围是
A. 1  B. 1,+∞  C. 2,+∞  D. e,+∞ 
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设 P 为菱形 ABCD 所在平面外一点，DB 与 CA 交于 O，M 为 PB 上 (异于 P，B) 的一点，则
( )
A. OM⎳PA B. OM与PC异面
C. 若M为PB的中点，则OM⎳平面PCD D. 若PA=PC，则AC⊥平面PBD
10. 已知a>0，b>0，满足a+2b=4，则下列说法正确的是 ( )
1 2 16
A. ab≥2 B. + ≤1 C. a2+b2≥ D. 3a+9b≥18
a b 5
11. 在无穷数列a n  中，a n+1 =fa n  ，则下列选项正确的是 ( )
A. 若fx  =x3+1 ，a 1 ∈-1,0  ，则对任意c>0，都存在n∈N*，使得a >c n
B. 若fx 
1
=kx2+1 (k>0 )，a =1，且对任意n∈N*，都有a <2 ，则k 的最大值是 1 n 2
C. 若fx 
2
=3- ，∃a ，使得集合n|a <2,n∈N* x 1 n  中有有限个元素
D. 若fx 
1
=x+ sin2πx 2π  ，当a = 2时，a 1 n  为递减数列，且存在常数M≤ 2，使得a <M n
恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在1-x2 
1
x+
x

4
的展开式中，常数项等于 ．(用数字作答)
π
13. 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为 的直线l，l与抛物线交于A，B两点(A在x轴上方)，则
3
AF 
BF 
= ．
14. 函数f(x)=sinx  +cosx  - sinx  -cosx    的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数fx 
1
= x3-x2-3x+1.
3
(1)求fx  的单调区间；
·2·(2)设函数gx  =fx  -m，若gx  在 -3,4  上有三个零点，求实数m的取值范围.
16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对
已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示每个区域开设分店的个数，y表示
这x个分店的年收入之和．
x(个) 2 3 4 5 6
y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6
(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；并预测
如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？
(2)若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统
计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均
为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，试
问两个分店的顾客下单率有无差异？
不下单 下单 合计
分店一
分店二
合计
n 
xy -nxy
 i i   
参考公式：b= i=1 ，a=y-bx，
n 
x2-nx2
i
i=1
nad-bc
χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
，
α 0.1 0.05 0.01 0.005
χ2 2.706 3.841 6.635 7.879
·3·17. 如图1是由矩形ABCD和等腰直角△ADP组成的一个平面图形，其中AB= 3，AD=1，将
△ADP沿着AD折起使得PC= 2，如图2．若E是PC的中点．
(1)求证：PC⊥平面PAD；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．
x2 y2
18. 已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2

1
的离心率为 ，O为坐标原点，椭圆C上的点到两个焦点的距
2
离之和为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过点N1,0  且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，直
线AP与直线BQ相交于点M．
(ⅰ)求证：点M在定直线上；
S
(ⅱ)设△APB和△PBQ的面积分别为S ，S ，求 1 的取值范围．
1 2 S
2
·4·19. 如图，已知给定线段B 1 C 1 长为2，以B 1 C 1 为底边作顶角为θ0°<θ≤90°  的等腰△A B C ，取 1 1 1
△A B C 的腰A B 的三等分点B ，C (B 靠近A )，以B C 为底边向△A B C 外部作顶角为θ的等
1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1
腰△A B C ⋯依次类推，取△A B C 的腰A B 的三等分点B ，C (B 靠近A )，以B C
2 2 2 n-1 n-1 n-1 n-1 n-1 n n n n-1 n n
为底边向 △A n-1 B n-1 C n-1 外部作顶角为 θ 的等腰三角形 △A n B n C nn≥2  ，得到三角形列
△A B C
n n n
 ．
(1)用θ表示出△A B C 的外接圆半径；
1 1 1
(2)当θ=60°时，证明：△A B C
n n n
 各顶点均在△A B C 外接圆上或其内部；
1 1 1
(3)若△A B C
n n n
 各顶点均在△A B C 外接圆上或其内部，求cosθ的取值范围．
1 1 1
·5·