文档文本内容
《2027届高三开学模拟测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D A B D C D ACD ABD
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】 ＝{x|﹣2＜x＜1}；
∴A∩（ ）＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
2．B
【详解】由题知 ，则 ．故本题答案选 ．
3．D
【详解】已知 , ,
则 ,
又 ,则 ，
得 ，得 .
4．A
【分析】先根据导数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以在点 处 ，所以在点 处的切线方程为 ，
所以切线方程为 .
故选：A.
5．B
【分析】根据题意求得 、 ，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得 与 的关系，进而求出椭圆的
离心率.
【详解】
答案第1页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}由题意 ， ，
，
，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
可得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B.
6．D
【分析】根据 点求出 点横坐标，进而确定 的周期，得出 ，再利用向量数量积公式得到 ，再将 点
坐标代入函数 即可求解.
【详解】由图可知， 点的横坐标为 ，则 ，所以 ．
因为 ，所以 ，得 ．
因为 ，所以 ．将 点坐标代入函数，得 ，即 ．
所以 ，即 ．因为 ，所以 ．
7．C
【分析】先得到原数列各项之和为 ，利用最大和 ，得到 ，在验证 满足条件，即可求解.
【详解】原数列总和 .
设新数列首项为 ，公差为 ，则 .
最大和 .
因为 且 ，所以 .
代入 得到 .
若 ，则 .
新数列为 .
答案第2页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}要凑出最大和 ，必须用 ，其余数字凑出 ，满足条件
故 的最大可能值为
8．D
【分析】将问题转化为两个函数图象公共点问题，令 ，得 ，令 ，求
导，根据导数判断函数的性质，得出直线 与函数 的图象有两个交点时 的取值范围.
【详解】若存在正实数 ，使得 ，
则函数 与 的图象有两个公共点．
所以 ，即 在 时有两个不同的解．
又 ．令 ，问题转化为求直线 与函数 的图象有两个交点时 的取值范围．
，令 ，得 ，解得 ．
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
因此 在 处取得最大值，所以 ．
当 时， ；当 时， ，所以 ．
9．ACD
【分析】对于选项A，根据方差的性质即可求解；对于选项B，根据百分位数的计算公式，即可求解；对于选项
C，根据正态分布的性质，即可求解；对于选项D，根据相关系数的概念，即可判断.
【详解】对于A选项，由 ，解得 ，故A正确；
对于B选项，因为 ，所以数据 ， ， ， ， ， 的 分位数是 ，故B错误；
对于C选项，若随机变量 ，则 ，
所以 ，故C正确；
对于D，当相关系数满足 时，所有样本点完全线性相关，即全部样本点都在同一条直线上，故D正确．
综上所述，选项ACD正确.
10．ABD
【解析】首项根据 得到 ，从而得到 是以首项为 ，公差为 的等差数列，再依
次判断选项即可.
【详解】对选项A，因为 ， ，
答案第3页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}所以 ，即
所以 是以首项为 ，公差为 的等差数列，故A正确.
对选项B，由A知：
数列 的前n项和 ，故B正确.
对选项C，因为 ，所以 ，故C错误.
对选项D，因为 ，所以数列 为递减数列，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.
11．ABD
【分析】首先将原曲线方程变形得到 ，结合 的隐含条件，针对四个选项的不同设问方向分别构
造单变量函数，通过导数分析函数的单调性、最值、零点情况，逐一判断选项正误．
【详解】对于A选项，曲线方程变形为 ，
因为点 在 上，所以 ，
因为 ，所以 ．
令 ， ，
，所以函数 在 上单调递减，
又 ，所以 的解集为 ，
所以 的解集为 ，
所以 ，故A正确；
对于B选项， ，
因为 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C选项，联立 与 ，得 ，
令 ，构造函数 ，
求导 ，所以 在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
答案第4页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}由零点存在定理，存在唯一的 使得 ，对应两个横坐标 ，
即两个交点 和 ，共2个交点，故C错误；
对于D选项，要证 ，等价于证 ，
令 ，由 ，得 ，
则 ，
下面证明当 时， ，
设 ，只需证 ，
求导 ，显然 在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
所以存在唯一极值点 ，满足 ，
且 在 单调递减，在 单调递增，
故 在 上的最大值为 ，
故当 时， ，
因此 ，
第一个等号当且仅当 或1时成立，第二个等号当且仅当 时成立，
因此两个等号无法同时取得，所以 ，即 ，故D正确．
12．
【分析】首先写出通项，再令 ，求出 ，代入即可求出.
【详解】由二项式定理的通项公式得： ，则令 ，求出 .
所以 的系数为： .
故答案为： .
13．
【分析】求出以 为直径的圆的方程，将该圆方程与圆 的方程作差，可得出直线 的方程，将直线 的方
程变形，可求得直线 所过定点的坐标.
【详解】圆 的方程可化为 ，所以圆心 ．
则以 为直径的圆的圆心为 ，
答案第5页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}设以 为直径的圆的半径为 ，则 ．
所以以 为直径的圆的方程为 ．
过点 作圆 的切点分别为 、 ，
两圆的交点为 、 ，即两圆的公共弦为 ．
将两圆的方程相减可得直线 的方程为 ，即 ，
令 得 ，所以直线 必过定点 ．
故答案为： ．
14．7
【详解】 因为三个数 成等比数列，所以 ，所以 ，
倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项为 ，公比为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则不等式 等价为 ，
整理，得 ，所以 ，所以 的最大值为 ．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质，结合已知条件计算公差 ，即可求解；
（2）结合（1）中数列 的通项公式，利用错位相减法求数列 的前 项和即可.
【详解】（1）解：因为数列 为等差数列， ， ，设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
故 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
则 ，
答案第6页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}，
即 ，
所以
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合锥体的体积公式，列出方程，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面 和平面 的法
向量 和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：设三棱柱 的高为 ，
因为 ，所以 ，
又因为三棱锥 的体积为 ，可得 ，解得 ，
即三棱柱 的高为 .
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
由（1）知 ，又因为 为锐角，所以 ，
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
答案第7页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}取 ，可得 ，所以 ，
因为 平面 ，可得平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
17．(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解，
（2）利用等面积法即可结合面积公式求解.
【详解】（1）在 中， ，因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得 ，
解得 ，所以 .
（2）因为 平分 ，所以 ，
又 ，
即 ，
即 ，可得 ，
所以 .
18．(1)证明：由题意知， ，若 ，此时直线 的斜率不存在，不合要求，舍去，
设 ， ， ，此时 ，
则 ， ， ，
又 ①， ②，
式子①－②得 ，
所以 ；
答案第8页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}(2)3
【分析】（1）设出 ， ，则 ，表达出 ， ，由点差法得到证明；
（2）三角形 面积等于三角形 的面积2倍，设直线 方程为 ，联立椭圆方程，得到两根之
和，两根之积，求出 ，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案.
【详解】（1）略
（2）由题意可知，三角形 面积等于三角形 的面积2倍，
椭圆左焦点F为 ，可设直线 方程为 ，
联立方程组 ，
即 ，
故 ， ，
所以三角形 的面积为
，
令 ， ，
由对勾函数性质可得 在 单调递增，
故 ，当且仅当 取得最小值成立，
所以 ，当且仅当 ，即 时成立，
三角形 的面积的最大值为 ，
所以 面积的最大值为3.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或
范围．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
答案第9页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}【解析】（1）当 时， ，要证 ，即证 ，构造函数 ，求
导证明 即可；
（2） ， 等价于 有两个不相等的解，利用 可以求出 ，
设方程 的两根为 ， ，不妨设 ，利用韦达定理可得 ， ，则 ，
，构造函数 ，对 求导判断单调
性，即可求 的最值，可证明 ，同理再由计算 ，构造函数利用
导数证明其大于 ，即可证明 ，原命题得证
【详解】（1）当 时， ，要证 ，即证 ，
即证 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，即 ，可得 在 上单调递增，
所以当 时， ，即
即可证明当 时， ，原命题得证.
（2）由题意， ，方程 有两个不相等的解，
即方程 有两个不相等的解，故 ，
因为 ，所以解得 ．
由题意，方程 的两根为 ， ，不妨设 ，
则 ， ， ，
答案第10页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}；
令 ，
则 ，
令 ，得 ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以 ．①
又 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ，得 或 ，
当 时，得 ，即 ，
记 ，则 在 上递增，在 上递减，
又 ， ，
所以当 时， ，即 ．②
由①②可知， ，
即 ．
【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是 等价于 ，构造函数 需二次求导
可求出 ，即可证明；第二问的关键点是 有两个不相等的解，即方程 有两个不相等
的解，由 ，得 ．设 的两根为 ， ，不妨设 ，则 ， ，
，求出 变量都换成 ，构造函数结合 求出其最值，即可证明
答案第11页，共11页
{#{QQABJYQUogioAAIAAAgCAwVQCkMYkgAAACoGRAAQoAAAAQFABAA=}#}
