文档文本内容
深圳市 2026-2027 学年高三数学上学期开学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解： ， ，
图中阴影部分表示的集合为 ，且 .
故选：C.
2．若复数 满足 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司3．已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ， ， ，则
（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【答案】C
【详解】对A，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共
线，故A错误；
对B，因为 ， ，不存在实数 使得 ，故 、 、 三点不共线，故B
错误；
对C，因为 ， ，则 ，故 、 、 三点共线，故C正
确；
对D，因为 ， ，不存在实数 使得
，故 、 、 三点不共线，故D错误.
故选：C
4．设等差数列 的前 项和为 ，且公差不为 ，若 ， ， 构成等比数列， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 是等差数列 的前 项和，
所以 ，得 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
因为 ，解得， ， ，
所以 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司5．底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，设截面圆的圆心为 ，截面圆的半径 ，底面圆半径 ， ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
所以原圆台的侧面积为 ，
故选：A.
6．已知 ，函数 在区间 上有且仅有两个零点， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，则 ，
函数 在区间 上有且仅有两个零点，
则 与 在 上有两个交点，
则 ，且 ，
不妨设 ，则 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司，
当 时， 有最小值 .
则 的最小值为 .
故选：A
7．椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于原点对称，若直线 的斜率
之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ， ，
由题有 ，即 ，又 ，则 ，
所以 ，得到 ，所以 的离心率为 ，
故选：A.
8． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ， ，
所以 在 上为常函数或递减,
若 在 上为单调递减，所以 ，
即 ①， ②
①②两式相乘得：
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
若 在 上为常函数，且 ，则 ，
即 ③， ④，
③④两式相乘得：
所以 ，
综上所述，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为1 B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递增 D． 的图象关于 对称
【答案】AB
【详解】 ,
∴ ，故A正确；
最小正周期 ，故B正确；
时， ，
∵ 在 单调递减，
∴ 在 上单调递减，故C错；
， 不是函数 的对称轴，故D错；
故选：AB.
10．设动直线 ： 交圆 ： 于A，B两点（点 为圆心），则
下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点 B．当 取得最小值时，
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学科网（北京）股份有限公司C．当 最小时，其余弦值为 D． 的最大值为24
【答案】AD
【详解】对于A：由 有 ，令 有 ，
所以 ，所以直线l过定点 ，故A正确；
对于B：点 在圆 内，圆 的圆心为 ，当 取得最小值时，直线 与过点 和 的直
线垂直，
所以 ，解得 ，故B错误；
对于C：当 最小时，此时 最小，当 最小时，直线 与过点 和 的直线垂直，
则 ，由余弦定理有 ，故C错误；
对于D： ，即的最大值为24，故D正确，
故选：AD.
11．已知连续函数 满足 ，则（ ）
A． B． 最小值为1
C． D．
【答案】ACD
【详解】A选项， 中，令 得
，解得 ，
令 得 ，
又 ，故 ，解得 ，A正确；
B选项， 中，令 得
，又 ，故 ，
不妨设 ，
又 ， ， ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，故 ，
经检验， 满足 且为连续函数，
则 ，故 的最小值为 ，B错误；
C选项， 中，令 得 ，
故 ，
则 ， ……， ，
， ，……， ，
，
以上式子累加得 ，
故 ，C正确；
D选项， 中，令 ， ，
则 ，
则 ，
其中 ，令 ，
则 ，
故 ，
即 ，D正确
故选：ACD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从 名教师中选若干人在 天假期值班（每
天只需 人值班），同一人不能连续值班 天，则可能的安排方法有___________种．
【答案】 【分析】分为值班人数为 人和 人两种情况，结合排列组合即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得，值班的人数为 人或者 人，
若值班人数为 人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故 ，
若值班人数为 人，则每人值班一天，故 ，
所以可能的安排方法有 种.
故答案为： .
13．已知 的展开式的二项式系数和等于 ，则 展开式中的含 项
的系数为___________．
【答案】45
【详解】 ，
，
，又 展开式的通项为 ，
当 ，解得 ，
，即展开式中的含 项的系数为 ．
14．已知 ， ， ， 是8个正整数，记 ，其中 ， ， ， ，
若 ，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为______.
【答案】23
【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有 种不同的值，
但是 ， ， ， ， ， ， 只有7个数，
可知必有两种7个数的和相等，设这个和为 ，
令 ，那么，任取7个数的和就等于 ， ， ， ， ，这8个取值和的集合为 ，
则 .
因为 为整数，所以 是7的倍数，由 可知， 是7的倍数，
再因为 ，所以 .可知 .
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学科网（北京）股份有限公司因此， ， ， ， 中最大数为： ，最小数为： ，
因此，它们的和为23.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求边c的长．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，且 ，所以 ，
由（1）知： ，且 ，所以 ，
可得 ，
又因为 ，由正弦定理 ，可得 .
16．（15分）
已知正方形 ， 、 分别是 、 的中点，将 沿 折起，如图所示．
(1)求证： 平面 ；
(2)若翻折后当 为等边三角形时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)设正方形边长为 ，由已知得 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形．
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学科网（北京）股份有限公司则 ，由 ，所以 平面 ． (2)
【详解】（1）略.
（2）设正方形边长为 ，则 为边长为 的等边三角形，
由 为 中点，得 ．
又 ，则 平面 ，所以 平面 ．
由 平面 ，则平面 平面 ．
过 作 于 ，则 平面 ．
过 作 于 ，连接 ，则 ，
从而 为二面角 的平面角．
在 中， ，易知 为直角三角形．
由 ，得 ．
在矩形 中，易得 ．则 中，可求得 ．
在 中， ．
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．（15分）
， 两盒中各有10件产品，其中 盒中有4件次品， 盒中有5件次品.
(1)在 盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量 ，求变量 的概率分布及 .
(2)若随机交换 盒与 盒中两件产品后，再从 ， 盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量 ，
求 .
(3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一
分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)则随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得 服从超几何分布， 的取值可能为 ，
则 ，
，
则随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
则 .
（2）固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为 和 ．
交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以 ．
设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为 和 ，则 ．
在上述固定的交换结果下，从含有 件次品的10件产品中随机取2件，
所取次品数的期望为 ；同理， ．
因此，无论交换后两盒中的次品如何分配，
都有 ．故 ．
（3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止；抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮．
由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1，3，5，7，9轮，乙进行第2，4，6，8，10轮，即甲、乙各进
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学科网（北京）股份有限公司行5轮．
甲从A盒抽取时，抽到次品的概率为 ，抽到正品的概率为 ．
设甲一轮的期望得分为 ．
若甲第一次抽到正品，本轮得分为0；若第一次抽到次品，甲先得1分，
再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为 ．
因此 ．解得 ．
同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为 ．
设乙一轮的期望得分为 ，则 ，解得 ．
所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为 ．
18．（17分）
已知椭圆 仅经过点 ， ， 中的两个．
(1)求C的方程；
(2)椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．已
知C的左、右焦点分别为 ， ，点 在C上且在第二象限内，从 发出的光线 经过C的反射，反射
光线所在直线与 的另一个交点为 ；记直线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为
，如此交替进行，得到点列 ．
（ⅰ）设直线 的斜率为 ，证明：数列 是等比数列，并求出其公比；
（ⅱ）设 的面积为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
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学科网（北京）股份有限公司设直线l的方程为 ，l交C于 ， ，
联立可得 ，化简可得 ，
由 可得 ，
根据韦达定理可得 ， ，
直线 ， 的斜率之积为
，
因为直线 经过右焦点 ，所以 ，
因为直线 经过左焦点 ，所以 ，
所以 是定值，故数列 是公比为4的等比数列．
（ⅱ）依题意得直线 的方程为 ，
所以 的纵坐标 ，
因为 ，所以 ，
因为 单调递增， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
【详解】（1）检验可知，点 ， 不可能同时在椭圆上，
若椭圆经过 ， ，则 ，此时 不在椭圆上，
所以C经过点 ， ，代入C的方程可得 ，解得 ，
所以C的方程为 .
（2）（i）略
（ii）略
19．（17分）
设 、 、 是三个定义域为 的函数，如果 对一切
实数x恒成立（A是常数），就称 、 、 是一组“A有序和谐函数”.
(1)为了使得 、 、 是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数 ；
(2)设 ， ， ，求 的所有可能取值，使得 、 、
是一组“ 有序和谐函数”；
(3)已知 、 、 是一组“1有序和谐函数”，且 恒成立，证明： 存在零
点.
（注：①在 上每一处都存在导数的函数必连续；②当 、 都可导时 .）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)因为 ， ， 是一组“ 有序和谐函数”，所以 ，
即 所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
由 ，得 ，所以
令 ，则 ，所以 在 上单调递增．
若 ，则 ，即
所以 ，
取充分大的正数 ，使得 ，则 ．
又因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 ，
取充分小的负数 ，使得 ，则 ．
又因为 ，所以
因为 在 上可导，所以 在 上连续．
又 ， ，由零点存在定理可知，存在 ，使得
故 存在零点．
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ．
若 ， ， 是一组“ 有序和谐函数”，则
代入得 ，即
因为 ，所以
因此可取
（2）由题意，
根据“ 有序和谐函数”的定义，得
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学科网（北京）股份有限公司由积化和差公式，得
三式相加，得
因为 所以原式等于
若它对一切实数 恒等于常数 ，则含 的项必须为 ，所以 即
因此 或
若 ，则 ，符合条件．
若 ，则 ，不符合条件．
所以 的所有可能取值为
（3）略.
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学科网（北京）股份有限公司
