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数 学
本试卷共 4页，19题．满分 150分．考试用时 120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知全集U =R，集合A={x∣−2≤ x<3}，B={ x∣0≤ x≤4 } ，则 ( AB )=
U
A．(−∞,−2 )( 3,+∞) B．(−∞,0 )[ 3,+∞)
C．(−∞,0 ]( 3,+∞) D． ( −∞,−2 ][ 4,+∞ )
2．若z ( 1+2i )= 3−4i ，则z =
5 10 5 10
A．1−2i B．1+2i C．− + i D． − i
3 3 3 3
3．已知向量a =( 1,−2 )，b =( 2,4 )，且a+kb 与a−b 互相垂直，则实数k =
11 1 1
A． B． C． D．−5
26 2 4
2π
4．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为 的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为
3
3π 4 3π 8 3π
A． B． C． D．8π
2 3 3
x2 y2
5．已知F ，F 是椭圆C: + =1(a >b>0)的左、右焦点，P为C上一点，且∠PFF =75°，
1 2 a2 b2 1 2
∠PF F =15°，则C的离心率为
2 1
学科网（北京）股份有限公司1 2 6 3
A． B． C． D．
2 2 3 2
6．已知函数 f ( x )= Asin (ωx+ϕ) (A>0,ω>0,ϕ<π)的部分图象如图所示，B，D是图象与x轴的
交点，且B (−1,0 )，C ( 2,−A )，BC⋅CD=6．则ϕ=
5π 2π π 5π
A． B． C．− D．−
6 3 3 6
7．已知抛物线C: y2 =2px(p>0)的焦点为F ，准线为l．过点F 作直线交C于A，B两点，分别过
A，B作C的切线，两切线交于点M ．若 MF < 2p，则直线AB的斜率的取值范围是
A． ( −∞,− 3 ) ( 3,+∞ ) B．(−∞,−1 )( 1,+∞)
C． ( − 3, 3 ) D．(−1,1 )
2xlnx+1, x>0,
8．已知函数 f ( x )= 若存在正实数x ，x ( x ≠ x )，使得 f (−x )+ f ( x )=0，
−ax2 −x−1, x≤0. 1 2 1 2 1 1
f
(−x )+
f
(
x
)=0，则a的取值范围是
2 2
A．
e2,+∞ ) B．[ 0,1 )
1
−
C．( 0,e ) D．0,2e 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．下列结论中正确的是
A．若随机变量X 满足D ( 3X +2 )=9，则D ( X )=1
B．数据1，2，3，4，5，6的30%分位数是3
( )
C．若随机变量ξ∼ N 1,σ2 ，P(ξ<2)=0.84，则P(0<ξ<2)=0.68
D．当相关系数r =1时，样本点都落在同一条直线上
a −1
10．记数列{ a }的前n项和为S ，若a =2，a = n ，则
n n 1 n+1 a +3
n
1
A．数列 为等差数列
a +1
n
学科网（北京）股份有限公司B．a >0
n
C．S <3
10
D．数列{
a
}为周期数列
n
11．已知曲线E:ln ( x2 + y2 ) +x2 =1，点P ( x ,y )在E上，O为坐标原点，则
0 0
A．−1≤ x ≤1
0
B． OP 的取值范围是1, e
C．直线y = x与E有且仅有4个交点
e
D． x y <
0 0 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．(2−x)5的展开式中x4的系数为________．
13．已知圆C:(x−2)2 +(y−1)2 =4，过坐标原点O作C的两条切线，切点分别为A，B，点P在直线
AB上，则 OP 的最小值为________．
14．在正方体ABCD−ABC D 中，E为AD 的中点．设正方体的所有顶点与棱的中点构成集合S ，若
1 1 1 1 1 1
从S 中任取两个点连成直线，则与直线BE垂直的直线条数为________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知{ a }为等差数列，且a +a =8，a +a =12．
n 1 3 2 4
（1）求{
a
}的通项公式；
n
n
1
（2）设b = ⋅a ，求数列{ b }的前n项和S ．
n 2 n n n
16．（15分）
如图，在三棱柱ABC−ABC 中，AB= BC =2，AB⊥ BC，四边形BCC B 为菱形，
1 1 1 1 1
∠BCC =60°，AC = 14．
1 1
（1）求二面角A−BC−C 的余弦值；
1
学科网（北京）股份有限公司（2）求三棱柱ABC−ABC 的体积．
1 1 1
17．（15分）
π
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，A= ，D、E为BC边上的点．
3
3 10
（1）若AD为∠A的角平分线，AD= 5，a= ，求△ABC的面积；
5
（2）若△ABC为锐角三角形，AE为BC边上的中线，a= 3，求AE的取值范围．
18．（17分）
x2 y2
已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为2，右焦点F 到渐近线的距离为 3，左焦点为F ，
a2 b2 2 1
过F 的直线l与C的右支交于A、B两点，且点A在第一象限．
2
（1）求C的标准方程；
S
（2）若 △AF 1 F 2 =3，求l的方程；
S
△BFF
1 2
（3）记△AFF 的内心为I ，△BFF 的内心为I ，△I I F 的面积为S ，△AFB的面积为S ，求
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2
S
1 的最大值．
S
2
19．（17分）
某精密仪器厂对生产的一批产品进行质量检验，产品按质量分为一等品和二等品．已知每个产品为一等品
的概率都为 p(0< p<1)，且各产品是否为一等品相互独立．现从这批产品中有放回地抽取n件( n≥2 )作
X 1
检验，记其中一等品的个数为X ．定义该批零件的综合质量指数为 f ( p )= E + ．
n n X +1
（1）求 f ( p )；
2
5
（2）设n≥3，记H ( p )= pf ( p )，证明：H ( p )< ；
n
4
（3）设n≥3，且正实数a，b满足a+b=1，定义函数F ( a,b )=af ( a )+bf ( b )，证明：对任意满足
n n
1 1
条件的( a,b )，F ( a,b )> + ．
2 n+1
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