N数学试题评分参考：全国名校联盟2026届高三开学模拟考_2025年8月_250831内蒙古-全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试（全科）_N答案汇总：全国名校联盟2026届高三开学模拟考

全国名校联盟 2026 届高三联合开学摸底考试 数学试题评分参考 2025.8 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C B A D 8．设函数 f(x)|x| 3 x ，若关于x的不等式 f(2x2 m)16f(x)0恒成立，则m的取值 范围是 A．(0,2) B．(2,) C．(0,8) D．(8,) 解析：∵ f(x)是奇函数，故 f(2x2 m)16f(x)0等价于 f(2x2 m)16f(x)． 又∵ 4 ，∴16f(x) f(8x) ．而 f(x)是增函数，故2x2 8xm0恒成立， 1683 ∴82 8m0，m8，故选D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BCD AC CD 11．设抛物线C:y2 4x的焦点为F ，准线为l，过F 的直线与C 交于A，B两点，D在 准线上，且DF  AB ，则下列结论正确的是 A．l的方程为y1 B．以AB为直径的圆与y轴相切 C．设A在l上的射影为H ，则△ADF≌△ADH D．直线AD与C 有且仅有一个交点 p 解析：（1）考查选项A：由C 的方程知 p2，故l的方程为x 1，故选项A错误； 2 x x (x 1)(x 1) |AB| （2）考查选项B：设M 为AB中点，则x  A B  A B 1 1， M 2 2 2 故圆M 与y轴相交，故选项B错误； （3）考查选项C：由|AF||AH |，|AD||AD|知△ADF≌△ADH （HL），故选 项C正确；t1 （4）考查选项D：不妨设A(t,2 t)，t 0，则直线AF 的方程为x y1，故直 2 t t1 t1 1 线DF 的方程为y (x1)，∴D(1, )，直线AD的斜率为 ． 2 t t t 1 而(2 x)|  ，∴直线AD与C 相切，故选项D正确． xt t 综上所述，应选CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 6 12． 1； 13． ； 14． 31． 3 x2 y2 14．已知椭圆C:  1(ab0)的右焦点为F ，P，Q为C 上关于原点对称的两点， a2 b2 b2 PF QF ，直线PF 交C 于另一点M ，若直线QM 的斜率为 ，则C 的离心率 3a2 为 ． 解：不妨设P(x ,y )，Q(x ,y )，M(x ,y )， 0 0 0 0 1 1 x2 x 2 b2(1 1 )b2(1 0 ) 则k k  y 1 y 0  y 1  y 0  y 1 2y 0 2  a2 a2  b2 MQ MP x x x x x 2x 2 x 2x 2 a2 ， 1 0 1 0 1 0 1 0 b2 ∵k  ，∴k  3，∴QFO30， MQ 3a2 MP 设F 为C 的左焦点，连接QF，则FQF 90， 1 1 1 ∴|QF |c，|QF| 3c，∴|QF||QF |( 31)c2a ， 1 1 2 ∴C 的离心率e  31． 31 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2bc2acosC． (1) 求A； 3 3 (2) 若△ABC的周长为9，面积为 ，求a． 4 解：(1) 由正弦定理得2sinBsinC2sinAcosC， …………………1分∵sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC ， ∴2sinB2sinAcosC2cosAsinCsinC2sinAcosC， ∴2cosAsinCsinC， …………………4分 1 又∵sinC0，∴cosA ， 2 π ∵A(0,π)，∴A ． …………………6分 3 1 3 3 (2) 由题可得S  bcsinA ，整理得bc3， …………………7分 ABC 2 4 又abc9，则bc9a， 在△ABC中，由余弦定理得，a2 b2 c2 2bccosA(bc)2 2bc2bccosA， …………………10分 将bc3和bc9a代入上式得a2 (9a)2 9， 解得a4． …………………13分 16．（15分） 已知函数 f(x)ex ax2x ． (1) 当a1时，讨论 f(x)的单调性； (2) 若 f(x)在(0,)单调递增，求a的取值范围． 解：(1) 当a1时， f(x)ex x2 x，则 f(x)ex 2x1，………………………2分 ∵ f(x)在R上单调递增，且 f(0)0，∴当x0时， f(x)0， f(x)单调递减；当 x0时， f(x)0， f(x)单调递增， ∴ f(x)在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增．………………………………6分 (2) 令g(x) f(x)ex 2ax1， 则g(x)ex 2a ，g(x)在(0,)上单调递增， ………………………………8分 1 当a 时，g(x)g(0)12a0 ，∴g(x)在(0,)上单调递增， 2 ∴g(x)g(0)0，即 f(x)0，∴ f(x)在(0,)上单调递增，符合题意，……11分 1 当a 时，令g(x)0，得xln(2a)．在(0,ln(2a))上，g(x)0，∴g(x)在(0,ln(2a)) 2单调递减，g(x)g(0)0， ∴ f(x)在(0,ln(2a))单调递减，不符合题意，………………………………………14分 1 综上所述，a的取值范围为(, ]． ………………………………………………15分 2 17．（15分）   如图，在矩形ABCD中，AB3，AD 2，2AE EB，将△ADE沿DE翻折得到 四棱锥ABCDE，且二面角CAED为直二面角． (1) 证明：EC平面ADE； (2) 求二面角BADE的正切值． 解：(1) ∵AD AE，平面ADE平面AEC AE，平面ADE平面AEC， ∴AD平面AEC ， …………………………………………………………………2分 ∵EC平面AEC ，∴ADEC，…………………………………………………3分 ∵AD 2，AE 1，BE 2，BC 2 ， AD BE ∴  ，由相似可知，DEEC， ……………………………………………5分 AE BC ∵DE平面ADE，AD平面ADE，DEAD D， ∴EC平面ADE．……………………………………………………………………7分 (2) 解法一：设EC交BD于F 点，连接AF， 由(1)得，EF 平面ADE， ∵AD平面ADE，∴EF  AD，…………………………………………………8分 ∵AD平面AEC ，∴AD AF，AD AE， ………………………………9分设平面ADB与平面ADE夹角为，则tantanEAF， ……………………11分 2 2 2 ∵CD// BE，CD3，BE 2，∴EF  EC BC2 BE2  6， 5 5 5 EF 2 6 ∴tan  ， ……………………………………………………………14分 AE 5 2 ∴二面角BADE的的正切值为 6． ………………………………………15分 5  解法二：以E 为坐标原点，EC 的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 Exyz ． 3 6 2 6 2 3 由题设及(1)得，A(0, , )，B( , ,0)，C( 6,0,0)，D(0, 3,0)， 3 3 3 3 ……10分  平面ADE的一个法向量为EC ( 6,0,0)，…………………………………………11分 设平面ADB的一个法向量为n(x,y,z)， 2 3 6  n  A    D  0,   3 y 3 z0, 由  得 ，令y2 2，得n(5,2 2,4)，………13分 nBD0,  2 6 5 3  x y0   3 3  nEC 5 6 5 设二面角BADE的大小为，则cos    ，……………14分 |n||EC| 67 7 2 6 ∴二面角BADE的正弦值为sin 1cos2 ， 7 sin 2 6 ∴二面角BADE的正切值为  ．……………………………………15分 cos 5 18．（17分） x2 y2 已知双曲线C:  1(a0,b0)的一个焦点为(5,0)，点P(4 2,3)在C 上． a2 b2(1) 求C 的方程； (2) 已知点Q(4 2,3)，A(2 2,0)，B为线段PQ上一点，且直线AB交C 于D，E 两 点，证明：|AD||BE||AE||BD|． 解： (1) 由已知得 c a2 b2 5 ，………………………………………………………2分 32 9 ∵P(4 2,3)在C 上，∴  1，…………………………………………………3分 a2 b2 x2 y2 解得a4，b3，C 的方程为  1． ……………………………………5分 16 9 (2) 设B(4 2,t)，D(x ,y )，E(x ,y )， 1 1 2 2 t 直线AB:y  (x2 2)． 2 2  t y (x2 2),   2 2 由 得(92t2)x2 8 2t2x16t2 1440，…………………9分  x2 y2  1,  16 9 ∵直线AB交C 于D，E 两点， (8 2t2)24(92t2)(16t2144)0, 3 2 ∴ 解得3t3，且|t| ，  92t2 0, 2 8 2t2 16t2 144 ∴x x  ，x x  ， ……………………………………………10分 1 2 2t2 9 1 2 2t2 9 3 2 3 2 当|t| 时，D，E 在A的异侧，在B的同侧；当 |t|3时，D，E 在A的 2 2     同侧，在B的异侧，故总有|AD||BE||AE||BD|DAEBDBAE ，………12分     DAEBDBAE (2 2x ,y )(4 2x ,ty )(4 2x ,ty )(x 2 2,y ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2x x 2y y 6 2(x x )t(y  y )32 1 2 1 2 1 2 1 2 t2 3 2 (2 )x x ( t26 2)(x  x )4t232 4 1 2 4 1 2 4(t2 8)(t2 9) 4t2(3t2 24)    4t2 32 2t2 9 2t2 9 0 ∴|AD||BE||AE||BD|．…………………………………………………………17分 19．（17分） 在整数1，2，…，n (n5)中随机取出k (2kn)个数，记其中两数恰为相邻整数的组数为X ．例如，取出的数为1，2，4，5时，X 2；取出的数为1，3，8时，X 0； n,k n,4 n,3 取出的数为5，6，7，8时，X 3． n,4 (1) 求X 的分布列和数学期望； 5,3 (2)(i) 求E(X )； n,3 n n (ii)已知：对随机变量X ，X ，…，X ，有E(X )E(X )，求E(X )． 1 2 n m m n,k m1 m1 解：(1)当n5，k 3时，X 的可能取值为0，1，2， ……………………………1分 5,3 1 1 3 1 3 3 P(X 0)  ，P(X 2) ，P(X )1   ，……………4分 5,3 C3 10 5,3 10 5,3 10 10 5 5 ∴X 的分布列为 5,3 X 0 1 2 5,3 1 3 3 P 10 5 10 1 3 3 6 E(X )0 1 2  ．……………………………………………………5分 5,3 10 5 10 5 (2)(i) X 的可能取值为0，1，2， n,3 n2 2(n3)(n3)(n4) (n2)(n3) P(X 2) ，P(X 1)  ， ………9分 n,3 C3 n,3 C3 C3 n n n 2(n2)(n2)(n3) (n1)(n2) 6 ∴E(X )   ．……………………………11分 n,3 C3 C3 n n n (ii) 定义随机变量Y ，1mn1，当m和m1同时被选中时，Y 1，否则Y 0． m m m n1 n 则X Y ，从而E(X )E(Y )， …………………………………………13分 n,k m n,k m m1 m1 ∵Y 1当且仅当所选的k 个数中包含m和m1， m Ck2 k(k 1) ∴P(Y 1) n2  ， ……………………………………………………15分 m Ck n(n1) n n1 n1 k(k 1) ∴E(X )E(Y )P(Y 1) ．……………………………………17分 n,k m m n m1 m1