广东省中山市 2027 届高三上学期开学考预测卷数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知 ，则 （ ）
A． 𝑧𝑧⋅ i=1+4i B．|𝑧𝑧|= C．1 D．
2．已知√集5合 √ , 17 ,则 （ ） 2√2
1
A． 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥|𝑦𝑦= B √． 𝑥𝑥}𝐵𝐵 ={𝑦𝑦|𝑦𝑦 =𝑥𝑥− 1} C． 𝐴𝐴∩ 𝐵𝐵 = D．
3．设数(据0,+1∞，)2，3，4，m[的0,下1)四∪分(1位,+数∞为) m，则∅实数m的取值范围是（[0 , ）+∞ )
A． B． C． D．
4． [1,2中] ，角A，B，C(所1,2对]的边分别为a，b，[3c,，4]下列条件中能确定{三2}角形有唯一解的有（ ）个
（1△）𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 （2）
° °
（3）𝑎𝑎 =4,𝐴𝐴=30 ,𝑏𝑏 =2 （4）𝑎𝑎 =4,𝐴𝐴 =30 ,𝑏𝑏 = 5
°
A．𝑎𝑎1= 4,𝐴𝐴 =30 ,𝑏𝑏 =B．52 𝑎𝑎 =2,𝑐𝑐 =3C,．𝑏𝑏 3= 4 D．4
5．设 为数列， 为正整数集 的无限子集，且 ，则数列 称为数列
的{一𝑥𝑥𝑛𝑛 个} 子列.已知{𝑘𝑘数 𝑛𝑛}列 为等差𝑁𝑁+ 数列， 的某个子𝑘𝑘1 列<𝑘𝑘2 <构𝑘𝑘3 成<等⋅⋅⋅比<数𝑘𝑘𝑛𝑛 列<，⋅若⋅⋅ �𝑥𝑥𝑘𝑘𝑛𝑛� ，
1
则
{𝑥𝑥𝑛𝑛
数
}
列 的前 项和为：
�𝑎𝑎𝑛𝑛
（
�
）.
{𝑎𝑎𝑛𝑛} �𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛� 𝑘𝑘1 =1,𝑘𝑘2 =2,𝑘𝑘3 =5
A． {𝑘𝑘𝑛𝑛} 50 B． C． D．
50 49 50 49
3 +99 3 +100 3 +101 3 +102
6．1百米4长的钢筋，截成10段4 ，造一个圆柱形粮囤4的骨架，其中两段围成4圆形作为骨架的上下底，其
余8段作为圆柱的母线，求此粮囤体积的最大值时，底面半径的值为（ ）（单位：百米）
A． B． C． D．
1 1 1 1
7．已知3𝜋𝜋 是定义在 上的5𝜋𝜋函数，其导函数 满6𝜋𝜋足 （ 8𝜋𝜋， 为自然对数的底数），则
A． 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ，𝑅𝑅 𝑓𝑓 ′(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 ∈𝑅𝑅 𝑒𝑒
2 2018
B．𝑓𝑓(2)>𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)，𝑓𝑓(2018)>𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)
2 2018
C．𝑓𝑓(2)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)，𝑓𝑓(2018)>𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)
2 2018
D．𝑓𝑓(2)>𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)，𝑓𝑓(2018)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)
2 2018
𝑓𝑓(2)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0) 𝑓𝑓(2018)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)
8．当点 到直线 的距离取最大值时， 的值为（ ）
A． 𝑃𝑃 (1,0) 𝑙𝑙 B :𝑦𝑦．=𝑎𝑎 𝑥𝑥+𝑎𝑎+1 (𝑎𝑎 ∈R C )． D 𝑎𝑎．
1 1
−2 −2 2 2
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知锐角 的内角 的对边分别为 若 ，则 的值
可能为（ ）△ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐴𝐴 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐. 2𝑎𝑎(sin𝐵𝐵+sin𝐴𝐴)=𝑏𝑏+𝑐𝑐 √3sin𝐵𝐵−sin𝐴𝐴
A． B． C． D．
1 √2 √3 2
10．湖南3 张家界是 级景区2，有许多好看的景点．2李先生和张先生预选该3景区的玻璃栈道和凤凰古城游
玩．李先生和张先生5𝐴𝐴第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃
栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为
0.6．设 “第一天去玻璃栈道”； “第二天去玻璃栈道”； “第一天去凤凰古城”； “第
二天去凤𝐴𝐴1凰=古城”，则（ ） 𝐴𝐴2 = 𝐵𝐵1 = 𝐵𝐵2 =
A． B．
C．𝑃𝑃(𝐴𝐴2|𝐴𝐴1)=0 .7 D．𝑃𝑃(𝐴𝐴2|𝐵𝐵1)=0 .3
11．在长𝑃𝑃方(𝐴𝐴体2)=0.63 中， 𝑃𝑃(𝐵𝐵，2)=0.37 ，动点 在体对角线 上（含端点），
则下列结论正𝐴𝐴确𝐵𝐵的𝐴𝐴𝐴𝐴有−（𝐴𝐴 1 𝐵𝐵 ）1𝐴𝐴 1𝐴𝐴1 |𝐴𝐴𝐵𝐵|=|𝐴𝐴𝐴𝐴|=1 |𝐴𝐴𝐴𝐴1|=2 𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐴𝐴1
A．顶点 到平面 的最大距离为 B．存在点 ，使得 平面
√2
𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 3 𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥ 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴
C． 的最小值 D．当 为 中点时， 为锐角
√30
|𝐴𝐴𝑃𝑃|+|𝑃𝑃𝐴𝐴| 3 𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐴𝐴1 ∠𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量 ， ，若 ，则 ____________.
13．中国空间站𝑚𝑚��⃗的=主(8体,3结,𝑎𝑎构) 包𝑛𝑛�⃗括=天(2和𝑏𝑏,核6,心5)舱､问𝑚𝑚��⃗天∥𝑛𝑛�问⃗ 问问𝑎𝑎和+梦𝑏𝑏天=问问问.假设中国空间站要安排含甲､乙的
六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲､乙
两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有__________种.
试卷第2页，共4页14．已知函数 ，若函数 恰有4个不同的零点，
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ⩾0,
则 的取值范围𝑓𝑓为(𝑥𝑥 _ ) _ = __ � _−__𝑥𝑥 3 . +2𝑥𝑥 2 +𝑡𝑡, 𝑥𝑥 <0 ,𝑡𝑡 ∈𝑅𝑅 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥)−2)
四𝑡𝑡、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ．
1
(1)求 的值；
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐴𝐴 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 𝑎𝑎+𝑏𝑏 =11,𝑐𝑐 =7,cos𝐴𝐴=−7
(2)求𝑎𝑎 的值．
sin(𝐴𝐴−𝐴𝐴)
16．（本题15分）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎．某品牌新能源汽车公司
为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费 （单位：百万元）和年销售量
（单位：百万辆）关系如图所示： 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑦𝑦𝑖𝑖
令 ，数据经过初步处理得： ， ， ，
5 5 5 2
𝑣𝑣𝑖𝑖 =ln𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑖𝑖 =1,2,⋯,5) ∑𝑖𝑖=1𝑦𝑦𝑖𝑖 =44 ∑𝑖𝑖=1𝑣𝑣𝑖𝑖 ≈4.8 �𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅) =10
， ， ，
5 2 5 2 5 5
�𝑖𝑖=1(．𝑦𝑦现 𝑖𝑖−有𝑦𝑦�①) =40.3 �和𝑖𝑖=②1(𝑣𝑣𝑖𝑖−𝑣𝑣̅) ≈1.6两12种模∑𝑖𝑖 型 =1 作(𝑥𝑥为 𝑖𝑖−年𝑥𝑥销̅)(𝑦𝑦售 𝑖𝑖 量−𝑦𝑦�)关=于1年7.广08告5 费∑𝑖𝑖= 的 1(回𝑦𝑦𝑖𝑖 归−分𝑦𝑦�)析(𝑣𝑣模 𝑖𝑖−型𝑣𝑣，̅)其≈
7中.657 均为𝑦𝑦常=数𝑏𝑏𝑥𝑥．+请𝑎𝑎从样本𝑦𝑦相=关𝑛𝑛ln系𝑥𝑥数+的𝑚𝑚角度，分析哪一个模型拟𝑦𝑦合程度更好？𝑥𝑥
参𝑎𝑎考,𝑏𝑏数,𝑚𝑚据,：𝑛𝑛 ， .
相关系数 √403≈20.1 √64.9636=8.06 .
5 𝑛𝑛
∑𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅)(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�) ∑𝑖𝑖=1𝑥𝑥𝑖𝑖𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑛𝑛𝑥𝑥̅𝑦𝑦�
𝑟𝑟 = 5 2 5 2 = 𝑛𝑛 2 2 𝑛𝑛 2 2
17．（本题15 �∑分𝑖𝑖=）1(𝑥𝑥在𝑖𝑖−𝑥𝑥空̅)间�∑几𝑖𝑖=1何(𝑦𝑦𝑖𝑖体−𝑦𝑦�) ABC � -D � E𝑖𝑖=F1𝑥𝑥中𝑖𝑖−，𝑛𝑛𝑥𝑥四̅ �边�𝑖𝑖形=1𝑦𝑦 A 𝑖𝑖 B −𝑛𝑛 E 𝑦𝑦� D，ADFC均为直角梯形，
， ， ， ． ∠𝐹𝐹𝐴𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =
π
∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 =∠𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 =∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = 2 𝐴𝐴𝐵𝐵 =𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝐴𝐴𝐹𝐹 =1 𝐴𝐴𝐴𝐴 =2 𝐵𝐵𝐴𝐴 =3
(1)证明：平面 平面 ．
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐹𝐹 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐹𝐹
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司(2)求直线DF与平面BEF所成角的大小．
18．（本题17分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妹”圆锥曲线，
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐴𝐴1: 4 +𝑏𝑏 2 =1(0<𝑏𝑏 <2) 𝐴𝐴2 𝐴𝐴1
， 分别为 ， 的离心率，且 ，点M，N分别为椭圆 的左､右问点.
√15
( 𝑒𝑒 1 1 )求𝑒𝑒双 2 曲线 𝐴𝐴的 1 方𝐴𝐴程 2 ； 𝑒𝑒1𝑒𝑒2 = 4 𝐴𝐴1
(2)设过点 𝐴𝐴2 的动直线 交双曲线 右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为 ， .试探
究 与 𝐺𝐺(4的,0比) 值 是否𝑙𝑙 为定值.若𝐴𝐴2 是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 𝑘𝑘 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵
19．（本题17分）已知函数
2
(1)若 ，求函数f（x）在𝑓𝑓点(𝑥𝑥（)1=，lnf（𝑥𝑥1+）𝑥𝑥）−处𝑎𝑎的𝑥𝑥(切𝑎𝑎线∈方R)程；
(2)当𝑎𝑎 =1时，讨论f（x）的单调性；
(3)设𝑎𝑎 f（> x 0）存在两个极值点 且 ，若 求证： .
1 3
𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2 0<𝑥𝑥1 <2 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)−𝑓𝑓(𝑥𝑥2)>4−ln2
试卷第4页，共4页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C A C D C BD ACD
题号 11
答案 BCD
1．B【详解】由题意可得： ，
2
(1+4i)i i+4i i−4
2
所以 ， 𝑧𝑧 = i . = −1 = −1 =4−i
2 2
故选𝑧𝑧：=B.4 +i |𝑧𝑧|=√4 +1 =√17
2．A
【详解】由题知集合A是关于 的集合，则根据 ，
可得 ，即集合 𝑥𝑥 ； 𝑦𝑦=√𝑥𝑥
又集合𝑥𝑥 ≥ B 0是关于 的𝐴𝐴集=合{，𝑥𝑥|𝑥𝑥则≥根0据 } ，
1
可得 ，即集 𝑦𝑦 合 𝑦𝑦 ， = 𝑥𝑥−1
则 𝑦𝑦 ≠0 𝐵𝐵. ={𝑦𝑦|𝑦𝑦≠0 }
故𝐴𝐴选∩：𝐵𝐵A= {𝑥𝑥|𝑥𝑥 >0 }
3．A
【详解】因为 ，且五个数中下四分位数为 ，
1
所以由小到大 5 排 × 列4， =1 在 .25 第二位，所以 . 𝑚𝑚
故选：A. 𝑚𝑚 1≤𝑚𝑚 ≤2
4．C
【详解】对于（1）， ，由正弦定理得 ，
° 𝑏𝑏sin𝐴𝐴 2×0.5 1
因为 且 ，𝑎𝑎所=以4,𝐴𝐴为=锐3角0，,𝑏𝑏所=以2只有一解， sin𝐵𝐵 = 𝑎𝑎 = 4 =4
∘
对于𝑏𝑏（< 2）𝑎𝑎，𝐴𝐴=30 𝐵𝐵 ，因为 ，
° 5
所以三角形有𝑎𝑎两=个4,解𝐴𝐴；= 30 ,𝑏𝑏 =5 𝑏𝑏sin𝐴𝐴=2<𝑎𝑎 <𝑏𝑏
对于（3）， ，
°
由余弦定理可𝑎𝑎得=4,𝐴𝐴 =30 ,𝑏𝑏 =5 ，
2 2 2
𝑐𝑐 =𝑎𝑎 +𝑏𝑏 −2𝑎𝑎𝑏𝑏cos𝐴𝐴 =16+25−20√3=41−20√3
则 ，所以三角形有唯一解；
对于𝑐𝑐 =（� 4）41，−20√3 ，
由余弦定理可𝑎𝑎得=2,𝑐𝑐 =3,𝑏𝑏 =4 ，
16+9−4 21
cos𝐴𝐴= 2×4×3 =24>0
答案第1页，共10页
学科网（北京）股份有限公司所以 唯一，同理 唯一，所以三角形有唯一解，
综上𝐴𝐴，（1）（3）𝐵𝐵（,𝐴𝐴4）有唯一解，共3个.
5．A
【详解】设 ， 为等差数列，设其公差为 .
1
因为
，𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑏𝑏𝑛𝑛
，
{𝑏𝑏𝑛𝑛}
，所以 ， ， 构成
𝑑𝑑
等比数列.
则 𝑘𝑘1 =1 ，𝑘𝑘即 2 =2 𝑘𝑘3 =5 . 𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎5
2 1 1 1
𝑎𝑎2 =𝑎𝑎1𝑎𝑎5 𝑏𝑏2 2 =𝑏𝑏1×𝑏𝑏5
设 ，则 ， .
1
𝑏𝑏1 =𝑎𝑎1 =𝑡𝑡 𝑏𝑏2 =𝑡𝑡+𝑑𝑑 𝑏𝑏5 =𝑡𝑡+4𝑑𝑑
，展开可得 ，化简得 ，因为 （若 ，则数列
1 2 1 1 2 2 2 2
(𝑡𝑡+𝑑𝑑) 为常 = 数𝑡𝑡 × 列𝑡𝑡+，4𝑑𝑑不符合题意） 𝑡𝑡 ， + 所 2𝑡𝑡 以 𝑑𝑑+𝑑𝑑 = . 𝑡𝑡 +4𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑑𝑑 =2𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑑𝑑 ≠0 𝑑𝑑 =0
由{𝑎𝑎𝑛𝑛}， ， 构成等比数列，公比 𝑑𝑑 =2𝑡𝑡 .
𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1
𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎5 𝑞𝑞 =𝑎𝑎1 =𝑏𝑏2 =𝑡𝑡+𝑑𝑑 =𝑡𝑡+2𝑡𝑡 =3
因为 是等比数列，所以 .
𝑛𝑛−1 1 𝑛𝑛−1
𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 =𝑎𝑎𝑘𝑘1𝑞𝑞 =𝑎𝑎1(3)
又因为 是 的子列， ， .
1
𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 {𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛 =𝑏𝑏𝑘𝑘𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑘𝑘𝑛𝑛 =𝑏𝑏1+(𝑘𝑘𝑛𝑛−1)𝑑𝑑
，即 ，化简得 ，
1 𝑛𝑛−1 1 𝑛𝑛−1 1
𝑎𝑎1( 1 3) 𝑛𝑛−1 =𝑡𝑡+(𝑘𝑘𝑛𝑛−1)×2𝑡𝑡 3 =𝑡𝑡+(𝑘𝑘𝑛𝑛−1)×2𝑡𝑡 3 =𝑡𝑡(2𝑘𝑘𝑛𝑛−1)
进一步得到 .
𝑛𝑛−1
3 +1
𝑘𝑘𝑛𝑛 = 2
.
50 𝑛𝑛−1
50 3 +1 1 50 𝑛𝑛−1 1
𝑆𝑆50 =∑𝑛𝑛=1𝑘𝑘𝑛𝑛 =� 2 =2�𝑛𝑛=13 +2×50
对于 ，这𝑛𝑛是=1首项为 ，公比为 的等比数列的前50项和，
50 𝑛𝑛−1
�𝑛𝑛=13 1 3
根据等比数列求和公式 （这里 ， ， ），
𝑛𝑛
𝑎𝑎(1−𝑞𝑞 )
𝑆𝑆 = 1−𝑞𝑞 𝑎𝑎 =1 𝑞𝑞 =3 𝑛𝑛 =50
可得 .
50 50
50 𝑛𝑛−1 1×(1−3 ) 3 −1
�𝑛𝑛=13 = 1−3 = 2
所以 .
50 50 50
1 3 −1 3 −1+100 3 +99
故选𝑆𝑆： 50
A
=
.
2× 2 +25= 4 = 4
6．C
【详解】设圆柱底面半径为 ，则圆柱底面的周长为 ，圆柱的母线长为
1−4π𝑟𝑟
𝑟𝑟 2π𝑟𝑟 8
，解得 ;
1
∴1−4π𝑟𝑟 >0 𝑟𝑟 <4π
圆柱的体积 ，
2 3
2 1−4π𝑟𝑟 π(𝑟𝑟 −4π𝑟𝑟 ) 1
∴ 𝑉𝑉(𝑟𝑟)=π𝑟𝑟 × 8 = 8 0<𝑟𝑟 <4π
答案第2页，共10页则
2
′ π(2𝑟𝑟−12π𝑟𝑟 ) π𝑟𝑟(1−6π𝑟𝑟)
𝑉𝑉 (𝑟𝑟)= 8 = 4
令 ，即 ，解得
′ 1
𝑉𝑉 (𝑟𝑟)=0 π𝑟𝑟(1−6π𝑟𝑟)=0 𝑟𝑟 =6π
当 时， ， 单调递增; 时， ， 单调递减;
1 ′ 1 ′
∴ 0<𝑟𝑟 <6π 𝑉𝑉 (𝑟𝑟)>0 𝑉𝑉(𝑟𝑟) 𝑟𝑟 >6π 𝑉𝑉 (𝑟𝑟)<0 𝑉𝑉(𝑟𝑟)
当 时， 取到最大值.
1
∴
7．D
𝑟𝑟 =6π 𝑉𝑉(𝑟𝑟)
【详解】： ，则 ；
′(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) ′ 𝑓𝑓 −𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥 x
𝑦𝑦= 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = e
因为 ,所以 ；
′(𝑥𝑥)
′ 𝑓𝑓 −𝑓𝑓(𝑥𝑥)
x
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 = e <0
所以函数 在 上是减函数；
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 𝑅𝑅
所以 ， ，即 ， .
𝑓𝑓(2) 𝑓𝑓(0) 𝑓𝑓(2018) 𝑓𝑓(0) 2 2018
2 0 2018 0
8．C 𝑒𝑒 < 𝑒𝑒 𝑒𝑒 < 𝑒𝑒 𝑓𝑓(2)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0) 𝑓𝑓(2018)<𝑒𝑒 𝑓𝑓(0)
【详解】∵直线 ，可变形为 ，恒过定点 ，
∴当点 到𝑙𝑙直:𝑦𝑦线=𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑎𝑎+1 (𝑎𝑎∈ R) 的距离𝑦𝑦取−最1大=值𝑎𝑎(时𝑥𝑥，+1)(𝑎𝑎∈. R) 𝑄𝑄(−1,1)
直线 𝑃𝑃的(斜1,0率) 𝑙𝑙:𝑦𝑦=𝑎𝑎𝑥𝑥+，𝑎𝑎 +1 (𝑎𝑎∈R) 𝑃𝑃𝑄𝑄 ⊥𝑙𝑙
1−0 1
直线 𝑃𝑃𝑄𝑄 的斜率为 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 ， = 且−1−1=− ，2
∵两直𝑙𝑙线斜率之积𝑎𝑎为 𝑃𝑃，𝑄𝑄即⊥𝑙𝑙 ，代入 可得： ，解得 .
1 1
故
∴
选：C.
−1 𝑎𝑎⋅𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 =−1 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 =−2 𝑎𝑎⋅(−2)=−1 𝑎𝑎=2
9．BD
【详解】因为 ，
由正弦定理得2𝑎𝑎(sin𝐵𝐵+sin𝐴𝐴)=𝑏𝑏，+𝑐𝑐即
.
1
2sin𝐴𝐴(𝑏𝑏+𝑐𝑐)=𝑏𝑏+𝑐𝑐 sin𝐴𝐴=2
又因为 是锐角三角形，即 ，可知 .
π π
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴 ∈�0,2� 𝐴𝐴 =6
由
π π
，解得 ，
6+𝐵𝐵 >2 π π
� π 3<𝐵𝐵 < 2
0<𝐵𝐵 <2
则
π
√3sin𝐵𝐵−sin𝐴𝐴 =√3sin𝐵𝐵−sin�6+𝐵𝐵�
，
√3 1 √3 1 π
=√3sin𝐵𝐵− 2 sin𝐵𝐵−2cos𝐵𝐵 = 2 sin𝐵𝐵−2cos𝐵𝐵 =sin�𝐵𝐵−6�
且 ，可知 ，则 ，
π π π π π π 1 √3
3<𝐵𝐵 < 2 𝐵𝐵−6∈�6,3� sin�𝐵𝐵−6�∈�2, 2�
答案第3页，共10页
学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 .
1 √3
结合√选3项sin可𝐵𝐵知−：si A n𝐴𝐴 C错误，BD正�确2；, 2 �
故选：BD.
10．ACD
【详解】由题干可知 ， ，A正确，B错误；
， 𝑃𝑃(𝐴𝐴2|，𝐴𝐴1所)=以0.7 𝑃𝑃(𝐴𝐴2|𝐵𝐵1)=0.6
𝑃𝑃(𝐴𝐴1)=0.3 𝑃𝑃(𝐵𝐵1)=0.7 ， 𝑃𝑃(𝐴𝐴2)=𝑃𝑃(𝐴𝐴1𝐴𝐴2)+𝑃𝑃(𝐵𝐵1𝐴𝐴2)=𝑃𝑃(𝐴𝐴1)𝑃𝑃(𝐴𝐴2|𝐴𝐴1 )+𝑃𝑃(𝐵𝐵1)𝑃𝑃(𝐴𝐴2|𝐵𝐵1 )=
0.3×0.7+0.7×0.6=0.63 ，
C𝑃𝑃(、𝐵𝐵D2)正=确𝑃𝑃(；𝐴𝐴1 𝐵𝐵2)+𝑃𝑃(𝐵𝐵1𝐵𝐵2)=𝑃𝑃(𝐴𝐴1)𝑃𝑃(𝐵𝐵2|𝐴𝐴1 )+𝑃𝑃(𝐵𝐵1)𝑃𝑃(𝐵𝐵2|𝐵𝐵1 )=0.3×0.3+0.7×0.4=0.37
故选：ACD.
11．BCD
【详解】
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，
𝐴𝐴 𝐵𝐵����𝑃𝑃�⃗ =𝜆𝜆𝐵𝐵����𝐴𝐴����1⃗(0≤𝜆𝜆 ≤1)
则 ，则 ，
→ →
故𝐴𝐴(1,0,0),𝐵𝐵(1,1,0),𝐴𝐴(0,1,0),，𝐴𝐴1 (0,0,2) 𝐵𝐵𝐴𝐴1 =(−1,−1,2),𝐴𝐴𝐵𝐵 =(1,0,0)
故𝐵𝐵����𝑃𝑃�⃗ =𝜆𝜆𝐵𝐵����𝐴𝐴����1⃗=(−𝜆𝜆,−𝜆𝜆,2𝜆𝜆) ， ，
对于𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗选=项𝐴𝐴����𝐵𝐵A�⃗，+𝐵𝐵����𝑃𝑃�⃗ =(0,1,0)+(−𝜆𝜆,−𝜆𝜆,2𝜆𝜆)，=设(−平𝜆𝜆,面1−𝜆𝜆,的2𝜆𝜆法) 向𝐴𝐴���量�𝑃𝑃�⃗ =𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+𝐵𝐵����𝑃𝑃�⃗，= (1−𝜆𝜆,−𝜆𝜆,2𝜆𝜆)
𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ =(0,1,0),𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =(−1,1,0) 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑛𝑛�⃗=(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)
则有
→ →
，可取 ，
𝑛𝑛⋅𝐴𝐴𝐴𝐴 =−𝑥𝑥+𝑦𝑦 =0
�→ → 𝑛𝑛�⃗=(2𝜆𝜆,2𝜆𝜆,2𝜆𝜆−1)
则点 𝑛𝑛到⋅平𝐴𝐴𝑃𝑃面=−𝜆𝜆𝑥𝑥的+距 ( 离1−为𝜆𝜆)𝑦𝑦+2𝜆𝜆𝑧𝑧=0 ，
�𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗⋅𝑛𝑛�⃗� |2𝜆𝜆|
2
当 𝐵𝐵 时，点𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴到平面 的|𝑛𝑛�⃗|距=离为√120𝜆𝜆，−4 𝜆𝜆+1
当𝜆𝜆 =0 时，𝐵𝐵 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 ，当且仅当 时取等号，
|2𝜆𝜆| 1 1 √2 1
0<𝜆𝜆 ≤1 √12𝜆𝜆 2 −4𝜆𝜆+1= 1 1 = 1 1 2 ≤ 2 𝜆𝜆 =2
�3−𝜆𝜆+4𝜆𝜆2 �2+4�𝜆𝜆−2�
答案第4页，共10页所以点 到平面 的最大距离为 ，故A错误.
√2
对于选项𝐵𝐵 B，当𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 平面 ，因2为 平面 ，所以 ，
𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥ 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑃𝑃,𝐴𝐴𝑃𝑃 ⊂ 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥𝐴𝐴𝑃𝑃,𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥𝐴𝐴𝑃𝑃
则
→ →
，解得 ，
𝐵𝐵𝐴𝐴1⋅𝐴𝐴𝑃𝑃 =𝜆𝜆+𝜆𝜆−1+4𝜆𝜆 =0 1
� → → 𝜆𝜆 =6
故存𝐵𝐵在𝐴𝐴1点⋅𝐴𝐴𝑃𝑃，=使𝜆𝜆得−1+𝜆𝜆平+面4𝜆𝜆=0，故B正确；
对于选项𝑃𝑃 C，当 𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥ 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 时， 取得最小值，由B得此时 ，
1
𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥𝐴𝐴𝑃𝑃,𝐵𝐵𝐴𝐴1 ⊥𝐴𝐴𝑃𝑃 |𝐴𝐴𝑃𝑃|+|𝑃𝑃𝐴𝐴| 𝜆𝜆 =6
则 ， ，
1 5 1 5 1 1
𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =�−6,6,3� 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =�6,−6,3�
所以 ，即 的最小值为 ，故C正确；
√30 √30
�𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗�=��𝐴𝐴���𝑃𝑃�⃗�= 6 |𝐴𝐴𝑃𝑃|+|𝑃𝑃𝐴𝐴| 3
对于选项D，当 为 中点时，则 ， ，
1 1 1 1
𝑃𝑃 𝐵𝐵𝐴𝐴1 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =�−2,2,1� 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗ =�2,−2,1�
则 ， ，
1 1 1 1
𝑃𝑃����𝐴𝐴�⃗=�2,−2,−1� 𝑃𝑃����𝐴𝐴�⃗ =�−2,2,−1�
所以 ，所以 为锐角，故D正确；
𝑃𝑃����𝐴𝐴�⃗⋅�𝑃𝑃���𝑃𝑃�⃗ 1
故选c：os
B
∠
C
𝐴𝐴
D
𝑃𝑃
.
𝐴𝐴 =�𝑃𝑃����𝐴𝐴�⃗�⋅��𝑃𝑃���𝑃𝑃�⃗�=3>0 ∠𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴
12． /10.5
21
2
【详解】由 设 ，则 ，解得 ,
→ → ⃑ ⃑ 8=2𝑏𝑏𝑡𝑡 𝑏𝑏 =8
𝑚𝑚//𝑛𝑛 𝑚𝑚 =𝑡𝑡𝑛𝑛 �3=6𝑡𝑡 �
5
𝑎𝑎 =2
所以 ， 𝑎𝑎 =5𝑡𝑡
21
𝑎𝑎+𝑏𝑏 = 2
故答案为： .
21
13．88 2
【详解】按照甲､乙是否在天和核心问划分情况：
①甲､乙有且只有1人在天和核心舱，需要在除甲､乙外的四人中问两人去天和核心问，
剩下的三人去剩下的两个实验舱，有 种不同的安排方案；
1 2 1 2
②甲､乙都不在天和核心问， 从甲､乙外C2的C4四C3人A2中问三人去天和核心问，
再将甲､乙安排去剩下的两个问问问， 且一人去一个问问问，
剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱，
有 种不同的安排方案.根据分类加法计数原理，
3 2 1
共C有4A2C2 种不同的安排方案.
1 2 1 2 3 2 1
故答C案2为C4：C38A82. +C4A2C2 =88
答案第5页，共10页
学科网（北京）股份有限公司14．
【详[解−】16函,0)数 ，
𝑥𝑥,𝑥𝑥 ≥0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=� 3 2
−𝑥𝑥 +2𝑥𝑥 +𝑡𝑡,𝑥𝑥 <0
当 时， 的导数为 ，
3 2 2
所以
𝑥𝑥 <0 𝑓𝑓(
在
𝑥𝑥)=−𝑥𝑥
时恒
+
成
2𝑥𝑥
立
+
，
𝑡𝑡 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)=−3𝑥𝑥 +2𝑥𝑥 =−3𝑥𝑥(𝑥𝑥−3)
所以𝑓𝑓′(𝑥𝑥)在<0 𝑥𝑥 <上0单调递减，
可令𝑓𝑓(𝑥𝑥) (−∞,0) ，
再令𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(，𝑓𝑓(即𝑥𝑥)有−2)=0 ，
当 𝑚𝑚 =时𝑓𝑓，(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑚𝑚，−只2)有=0 ， 只有两解；
当𝑡𝑡 ≥0时，𝑓𝑓(𝑚𝑚−2)=0有两解，𝑚𝑚 =2 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=0
可得𝑡𝑡 <0 或𝑓𝑓(𝑚𝑚−2)=0，
由 𝑚𝑚 =2和𝑠𝑠(0≤𝑠𝑠 <各2有) 两解，共4解，
有𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2 ，𝑓𝑓(解𝑥𝑥)得=𝑠𝑠 ，
可得𝑓𝑓(−的2)范≥围0是： 𝑡𝑡 ≥−，16
答案第6页，共10页
𝑡𝑡 [−16,0)故答案是： .
15．(1) [− 16,0)
𝑎𝑎 =8
(2)
5√3
14
【详解】（1）在 中，因为 ，所以 ，由 ，
1
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑎𝑎+𝑏𝑏 =11 𝑏𝑏 =11−𝑎𝑎 𝑐𝑐 =7,cos𝐴𝐴=−7
及余弦定理得： ，
2 2 2 1
解得 ． 𝑎𝑎 =(11−𝑎𝑎) +7 −2(11−𝑎𝑎)×7×�−7�
（2）𝑎𝑎解=法8 1：由 ，得 ．由正弦定理 得， ，
1 4√3 𝑎𝑎 𝑐𝑐 8 7
cos𝐴𝐴=−7 sin𝐴𝐴 = 7 sin𝐴𝐴=sin𝑃𝑃
4√3
=sin𝑃𝑃
7
即 ．
√3
sin𝐴𝐴 = 2
因为 ，则 ，所以 是锐角， ，则 ，
𝜋𝜋 1
𝑎𝑎 >𝑐𝑐 𝐴𝐴 >𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 3 cos𝐴𝐴 =2
所以 ．
4√3 1 1 √3 5√3
sin(𝐴𝐴−𝐴𝐴)=sin𝐴𝐴cos𝐴𝐴−cos𝐴𝐴sin𝐴𝐴 = 7 ×2−�−7�× 2 = 14
解法2：由 ，得 ．由余弦定理得 ，
2 2 2 2 2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 −𝑐𝑐 8 +3 −7 1
𝑎𝑎 =8 𝑏𝑏 =3 cos𝐴𝐴 = 2𝑎𝑎𝑏𝑏 = 2×8×3 =2
所以 ，
√3
sin𝐴𝐴 = 2
又由 ，得 ，
1 4√3
cos𝐴𝐴=−7 sin𝐴𝐴= 7
所以 ．
4√3 1 1 √3 5√3
16．s模in型(𝐴𝐴②−的𝐴𝐴拟)=合s程in度𝐴𝐴c更os好𝐴𝐴 −cos𝐴𝐴sin𝐴𝐴 = 7 ×2−�−7�× 2 = 14
【详解】设模型①和②的相关系数分别为 ，
由题意可得： 𝑟𝑟1,𝑟𝑟2 ，
5
∑𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅)(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�) 17.085 17.085
𝑟𝑟1 = 5 2 5 2 =√10×√40.3≈ 20.1 =0.85
�∑𝑖𝑖=1(𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥̅) �∑𝑖𝑖=1(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�) ，
5
∑𝑖𝑖=1(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�)(𝑣𝑣𝑖𝑖−𝑣𝑣�) 7.657 7.657
𝑟𝑟2 = 5 2 5 2 ≈√40.3×√1.612= 8.06 =0.95
所以�∑𝑖𝑖=1(𝑦𝑦𝑖𝑖−𝑦𝑦�)，�由∑𝑖𝑖=相1(𝑣𝑣关𝑖𝑖−系𝑣𝑣�)数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
17．| ( 𝑟𝑟 1 1 ) |证<明|𝑟𝑟： 2|因为 ，所以AB，AC，AD两两垂直．
π
∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 =∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 =2
以A为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ ．
设平𝐴𝐴(面0,0B,0E)F,𝐴𝐴的(0法,2向,0)量,𝐵𝐵为(1,0,0),𝐴𝐴(0,0,1),，𝐹𝐹(因0,为1,1),𝐴𝐴(1,3,0) ， ，
所以 𝑛𝑛�⃗=(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1 ，,𝑧𝑧解 1)得 𝐵𝐵����𝐴𝐴�⃗ ，=令(0,3,0)，𝐵𝐵�� 得 ��𝐹𝐹�⃗ =(−1，,1故,1) ．
𝑛𝑛�⃗⋅𝐵𝐵����𝐴𝐴�⃗ =3𝑦𝑦1 =0,
� 𝑦𝑦1 =0 𝑥𝑥1 =1 𝑧𝑧1 =1 𝑛𝑛�⃗=(1,0,1)
设平面 𝑛𝑛�⃗ D ⋅𝐵𝐵�E���𝐹𝐹�F⃗ = 的法 −𝑥𝑥 向 1+ 量 𝑦𝑦 为 1+𝑧𝑧1 =0, ，因为 ， ，
𝑚𝑚��⃗ =(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2,𝑧𝑧2) 答案第𝐴𝐴����𝐹𝐹� 7 ⃗ =页(，0,共−11,01)页 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =(1,1,0)
学科网（北京）股份有限公司所以 令 ，得 ．
𝑚𝑚��⃗⋅𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ =𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 =0,
因为�
𝑚𝑚��⃗⋅𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ =
，
−
所
𝑦𝑦2
以
+𝑧𝑧2 =
，
0,
所以𝑥𝑥2 平=面1 𝑚𝑚��⃗平=面 (1,−1,．− 1)
𝑚𝑚��⃗⋅𝑛𝑛�⃗=0 𝑚𝑚��⃗ ⊥𝑛𝑛�⃗ 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐹𝐹 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐹𝐹
(2) ．
π
6
（2）设直线DF与平面BEF所成的角为 ，由（1）知 ，
平面BEF的一个法向量为 ， 𝛼𝛼 𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ =(0,−1,1)
则 𝑛𝑛�⃗=(1,0,1) ，
�𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗⋅𝑛𝑛�⃗� |(0,−1,1)⋅(1,0,1)| 1 1
sin𝛼𝛼 =�𝐷𝐷����𝐷𝐷�⃗|⋅|𝑛𝑛�⃗�= √1+1×√1+1 =√2×√2=2
所以 ，
π
𝛼𝛼 = 6
即直线DF与平面BEF所成的角为 ．
π
6
18．(1)
2
𝑥𝑥 2
4 −𝑦𝑦 =1
(2)定值为 ，理由见解析
1
−3
【详解】（1）由题意可设双曲线 ，
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐴𝐴2: 4 −𝑏𝑏 2 =1
则 ，解得 ，
2 2
√4−𝑏𝑏 √4+𝑏𝑏 √15 2
𝑒𝑒1𝑒𝑒2 = 2 × 2 = 4 𝑏𝑏 =1
故双曲线 的方程为 .
2
𝑥𝑥 2
（2）由题𝐴𝐴意 2 得，直线4 −的𝑦𝑦斜=率1不为 ，
设直线 的方程为 𝐴𝐴𝐵𝐵 ， 0 ， ，
𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑦𝑦+4 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)
联立双曲线 和直线 得 ，
𝑥𝑥2=𝑡𝑡𝑦𝑦+4
𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝐵𝐵 � 𝑥𝑥 2
消去 得： 4 −𝑦𝑦 = ， 1
2 2
因为𝑥𝑥直线 (𝑡𝑡与−双4曲)𝑦𝑦线+8有𝑡𝑡𝑦𝑦两+个1交2点=，0
所以 𝐴𝐴𝐵𝐵且 𝐴𝐴2 ，
2 2
则 𝑡𝑡 ≠±2 Δ=6，4𝑡𝑡 −48(𝑡𝑡 −，4 )>0
8𝑡𝑡 12
又 𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 = ， −𝑡𝑡 2 −4 ， 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 =𝑡𝑡 2 −4
𝑀𝑀(−2,0) 𝑁𝑁(2,0)
答案第8页，共10页所以
𝑦𝑦1
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥1+2 𝑦𝑦1(𝑡𝑡𝑦𝑦2+2)
𝑦𝑦2
𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥2−2 =𝑦𝑦2(𝑡𝑡𝑦𝑦1+6)
𝑡𝑡𝑦𝑦1𝑦𝑦2+2𝑦𝑦1 𝑡𝑡𝑦𝑦1𝑦𝑦2+2(𝑦𝑦1+𝑦𝑦2)−2𝑦𝑦2
= =
𝑡𝑡𝑦𝑦1𝑦𝑦2+6𝑦𝑦2 𝑡𝑡𝑦𝑦1𝑦𝑦2+，6𝑦𝑦 2
12𝑡𝑡 16𝑡𝑡 4𝑡𝑡
𝑡𝑡2−4−𝑡𝑡2−4−2𝑦𝑦2 −𝑡𝑡2−4−2𝑦𝑦2 1
12𝑡𝑡 12𝑡𝑡
故
= 𝑡𝑡2−与4+6𝑦𝑦2
的比
= 值𝑡𝑡2−4+6
为
𝑦𝑦2
定
=
值
−3
.
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴 1
19
𝑘𝑘
．
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑘𝑘𝐵𝐵𝐵𝐵 −3
【详解】（1）若 ，则 ，所以 ，又 ，所以 ，
2 ′ 1 ′
即f（x）在点（1 𝑎𝑎 ， = 0） 1 处的 𝑓𝑓 切 (𝑥𝑥 线 )= 斜 l 率 n𝑥𝑥 为 + 2 𝑥𝑥 ， − 所 𝑥𝑥 以切线方 𝑓𝑓( 程 1) 为 =0 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)= . 𝑥𝑥 +2𝑥𝑥−1 𝑓𝑓 (1)=2
2𝑥𝑥−𝑦𝑦−2=0
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）， ，设 ，其
2
′ 1 2𝑥𝑥 −𝑎𝑎𝑥𝑥+1 2
（ ）. 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=𝑥𝑥+2𝑥𝑥−𝑎𝑎 = 𝑥𝑥 ℎ(𝑥𝑥)=2𝑥𝑥 −𝑎𝑎𝑥𝑥+1
2
Δ①=当𝑎𝑎 −8时，𝑎𝑎即>0 时， ，即 ，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.
′
②当
Δ≤0
时，即
0<𝑎𝑎 ≤
时
2√， 2
设
ℎ(𝑥𝑥)≥
两
0
根为
𝑓𝑓 (𝑥𝑥)≥0
.
，
2
𝑎𝑎±√𝑎𝑎 −8
当 Δ>0 𝑎𝑎 >2√时2， ℎ(𝑥𝑥)，=即0 𝑥𝑥1 ，2 =即f（4x）的(𝑥𝑥增 1 区<间𝑥𝑥2 为) ， .
′
当𝑥𝑥 ∈(0,𝑥𝑥1)∪时(，𝑥𝑥2,+∞) ，ℎ即(𝑥𝑥)>0 ，𝑓𝑓即(𝑥𝑥f)（>x）0 的减区间为 . (0,𝑥𝑥1) (𝑥𝑥2,+∞)
′
综上𝑥𝑥 ∈：(当𝑥𝑥1,𝑥𝑥2) ℎ(𝑥𝑥)时<，0f（x）𝑓𝑓的(𝑥𝑥单)<增0区间为 ； (𝑥𝑥1,𝑥𝑥2)
当 0时<，𝑎𝑎 f ≤（2 x √）2的增区间为 (0,+∞) ，
2 2
𝑎𝑎−√𝑎𝑎 −8 𝑎𝑎+√𝑎𝑎 −8
𝑎𝑎 >2√2 �0, 4 �,� 4 ,+∞�
减区间为( ， ).
2 2
𝑎𝑎−√𝑎𝑎 −8 𝑎𝑎+√𝑎𝑎 −8
4 4
（3）由（2） ，
2
′ 1 2𝑥𝑥 −𝑎𝑎𝑥𝑥+1
因为f（x）存在𝑓𝑓 (两𝑥𝑥)个=极𝑥𝑥值+点2𝑥𝑥−𝑎𝑎，=所以𝑥𝑥 ,𝑥𝑥 >0 存在两个互异的正实数根 ，
2
所以 ， ，𝑥𝑥1则,𝑥𝑥2 ，2𝑥𝑥所−以𝑎𝑎𝑡𝑡+1=0 ， 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2
𝑎𝑎 1 1 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 2
所以 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 = 2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =2 𝑥𝑥2 =2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 1 1 = 2𝑥𝑥1
2 2
𝑓𝑓(𝑥𝑥1)−𝑓𝑓(𝑥𝑥2)=ln𝑥𝑥1+𝑥𝑥1 −𝑎𝑎𝑥𝑥1−(ln𝑥𝑥2−𝑥𝑥2 +𝑎𝑎𝑥𝑥2)
𝑥𝑥1 2 2 𝑥𝑥1 2 2
=ln +[𝑥𝑥1 −𝑥𝑥2 −2(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1−𝑥𝑥2)]=ln +(−𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2)
𝑥𝑥2
.
𝑥𝑥2
2 1
=ln2+2ln𝑥𝑥1−𝑥𝑥1 +4𝑥𝑥1 2
令 ，则 ，
2 2
2 1 ′ 2 1 �2𝑥𝑥1−1�
𝑔𝑔(𝑥𝑥1)=ln2+2ln𝑥𝑥1−𝑥𝑥1 +4𝑥𝑥1 2 𝑔𝑔 (𝑥𝑥1)=𝑥𝑥1−2𝑥𝑥1−2𝑥𝑥1 3 =− 2𝑥𝑥1 3
∵ ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
1 ′ 1
0<𝑥𝑥1 <2 𝑔𝑔 (𝑥𝑥1)<0 𝑔𝑔(𝑥𝑥1) �0,2�
∴ ，而 ，
1 1 3
𝑔𝑔(𝑥𝑥1)>𝑔𝑔�2� 𝑔𝑔�2�=4−ln2 答案第9页，共10页
学科网（北京）股份有限公司即 ，∴ .
3 3
𝑔𝑔(𝑥𝑥1)>4−ln2 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)−𝑓𝑓(𝑥𝑥2)>4−ln2
答案第10页，共10页
