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河南省高三名校联考入学摸底考试
数学参考答案
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所以$%"$!&+$&%$&!$)$!"!
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’!3!数据波动越大$方差越大!原样本数据的平均数为!))$添加新数据#$!))后$新样本的
4
数据更集中$.%#.%!添加新数据#$++后$新样本的数据波动更大$.%#.%!
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"!3!若/*! $则/+0$所以"+! $3错误!
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% + + % + % %
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-!$解得#- !又因为##)$所以)’#- !
+ + +
6!5!设矩形在第一象限的顶点坐标为##$2%$根据对称性知该矩形的面积3 $1#2$
-,+4
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1
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槡’ +槡!) %槡’ 槡!) 槡%
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1
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令2$&#$则1##&#%$1##%(1#&#%$)$所以1##%是奇函数$5正确!
1##%是奇函数$#$)不可能是1##%的极小值点$3错误!
令2$!$则1##(!%$1##%(!$1#%)%+%$1#%)%%%(!$1#%)%!%(%$1#%)%)%(+$)$
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#$%&"
{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}
书书书1#!%(%)%%$%)%+$#正确!
#%&"#
!!!53#!15##%$ !令15##%’)$解得)’#’+或+’#’"$令15##%#)$解得#’)或
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##"$所以1##%在#)$+%$#+$"%上单调递减$在#&*$)%$#"$(*%上单调递增$,错误!
1#)%$)$15#)%$)$曲线2$1##%在#$)处的切线方程为2$)$即曲线2$1##%与#轴相
切$3正确!1##%
极小值
$1#"%$!%$1##%
极大值
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(*%$#正确!1#+&#%(1#+(#%$!%$所以1##%的图象关于点#+$"%对称$5正确!
槡+ 槡+
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1 1
槡+
1: :!%$4槡+$,错误!
1 $
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该半正多面体所在的正四面体的高为槡"$体积为 ! : 槡+ :+% ) %
+ 1 (
2槡% 2槡% ! 槡+ # " !
:槡"$ !该半正多面体的体积为 &1: : :!%:
1 1 + 1
槡" %+槡%
$ $5正确!
+ !%
该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心$记球心为6$则6-%$
槡" !! !!!
# %%(!%$ $故该半正多面体外接球的表面积为1!&6-%$ $3正确!
1 6 %
该半正多面体的展开图如图所示$*7$1$-7$槡+$-*$槡*7%(-7%$槡!2$*$($"(
-".-*$槡!2$#正确!
(
!+!1槡%!由题意得 $+$则($+$&$槡(%&’%$%槡%$故虚轴长%&$1槡%!
’
!1!!)6!可以组成3%3%3!,+$!)6个没有重复数字的四位偶数!
+ + % +
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槡"$""%&!"$所以"$""越小$"8""越小!
"+:’(1:’&’"
当$"+9时$"$""最小!圆心$到直线9的距离为 $"$所以"$""的最
槡+%(1%
小值为"$此时$"8""$%槡’$"$8"("$""("8""$!)(%槡’!故/$"8的周长的最小
值为!)(%槡’!
’ % + 1 0(! ! % + 1 0(!
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两式相减可得 3$!( ( ( ()( & $!( & $ &
% 0 %% %+ %1 %0 %0(! ! %0(! %
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!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% "!"#$%&"
{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}0(! 0(+ 0(+
因为’$ #)$所以3.3$!!因为 #)$所以+& ’+$所以!-3’+!
0 %0 0 ! %0 %0 0
’
因为)’:3’’$所以)’:- !
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!4!解*#!%设/-,+内角-$,$+所对的边分别为’$&$(!
因为槡47-8-(槡47-8,$’7-8+$所以槡4#’(&%$’(!……………………………………%分
因为’(&(($!)(%槡4$所以-,$($%槡4!……………………………………………1分
!
#%%因为/-,+的面积为 ’&7-8+$!%7-8+$且7-8+0)$所以’&$%1! ……………"分
%
由#!%可得’(&$!)!
’%(&%$#’(&%%&%’&$’%!………………………………………………………………4分
’%(&%&(% ’%&%6 !
由余弦定理可得9/7+$ $ $ !………………………………………2分
%’& 16 %
!
因为+,#)$!%$所以+$ ! ……………………………………………………………!)分
+
!6!解*以4为坐标原点$建立如图所示的空间直角坐标系!
设正方体-,+4&-,+4 的棱长为%$则-#%$)$)%$,#%$%$)%$+#)$%$)%$*#!$)$%%$
! ! ! !
)#)$)$!%$,#%$%$%%!………………………………………………………………………%分
!
))( ))( ))(
-*$#&!$)$%%$-+$#&%$%$)%$),$#%$%$!%!………………………………………+分
!
))( ))( ))( ))(
#!%证明*因为-*&),$)$-+&),$)$所以-*+),$-++),! ………………’分
! ! ! !
因为-*%-+$-$所以,)+平面-+*!………………………………………………4分
!
))(
#%%结合#!%可得),为平面-+*的一个法向量!
!
))(
-,$#)$%$)%!………………………………………………………………………………6分
设平面-,*的法向量为!$##$2$%%$ )
))(
2-,&!$)$ 2%2$)$ $ ! " !
则1 即1 &
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3-*&!$)$ 3&#(%%$)!
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取#$%$得!$#%$)$!%!…………………………………!)分 %
))(
9/7+) )) , ( ! $!,$ " ) ) )) , , ( ! " & " ! !" $ 槡 + ’ ! $ " (
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# !
槡’
故二面角,&-*&+的余弦值为 !……………………!%分 ’
+
注*第#!%问若不建系$证法如下*
连接-)$,4$,4#图略%!
! ! !
在正方体-,+4&-,+4 中$,,+平面-,+4$所以,,+-+!
! ! ! ! ! !
因为,4+-+$,,%,4$,$所以-++平面,,44!
! ! !
因为),4平面,,44$所以-++),!………………………………………………%分
! ! ! !
因为-,+平面-44-$所以-,+-*!
! ! ! ! ! !
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% "!"#$%&"
{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}在正方形-44-$)$*分别是边44 $-4 的中点$可得/--*5/4-)$
! ! ! ! ! ! ! !
所以6--*$64-)$6)--(6--*$6)--(64-)$2);$所以-*+-)!
! ! ! ! ! ! ! ! !
……………………………………………………………………………………………1分
因为-,%-)$-$所以-*+平面-,)!
! ! ! ! ! !
因为),4平面-,)$所以-*+),!
! ! ! !
因为-+%-*$-$所以,)+平面-+*!………………………………………………’分
!
’ ! ’ !
!2!解*#!%因为0’ �(!%’$!$所以 0(!( $ 0( $…………………………%分
0(! 0 0(! 0(! 0 0
’ ! ’
即 0( $ !(!$%$可得’$%0&!!……………………………………………………’分
0 0 ! 0
#%%设数列!’"的前0项和为3$数列!&"的前0项和为7!
0 0 0 0
#!(0%0
& 为!’"中的0项之和$7 为!’"中的前 项和! ………………………………4分
0 0 0 0 %
#!(0%0
3
0
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0
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%
0%0$’
%
(%!………………………………………………………!)分
#!(0%0 #0&!%0
当0.%时$&$7&7 $’ (%&’ (%$0+!
0 0 0&! % %
&$’$!也满足上式!
! !
故&$0+! …………………………………………………………………………………!%分
0
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%)!解*#!%*#!$)%$设8#! $2%$……………………………………………………………!分
% %; !
!
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则1 % %; ! …………………………………………………………………………+分
32$%:!$
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解得;$%!…………………………………………………………………………………1分
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#$ 2#$)$ 2#$%槡 + ;
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#%%联立1 解得1 或1
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所以8#%槡 + ;;%$%槡 + ;%;%$………………………………………………………………"分
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%槡 + ;%; + ;
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! %槡 + ; ! ;% % ; %
设直线9的方程为2$<#(&!
%
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联立1 得<%#%(%#<&&;%#(&%$)$
% % !
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若<&&;$<&$则;$)$不符合题意$
% ! % !
所以<&&;$&<&$即%<&$;"! ……………………………………………………2分
% ! % % !
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联立1 得#%&%;<#&%;&$)$
% % %
32$<#(&$
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!高三数学"参考答案!第!!!!1页#共"页$% "!"#$%&"
{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}$$1;%<%(6;&$)$即;<%(%&$)#!…………………………………………………!)分
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由"#可得<$&槡!$所以<(<$)!
% ; ! %
%
故<(< 为定值$该定值为)!……………………………………………………………!%分
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%!!解*#!%甲只参与一轮比赛的概率为 : ( : $ !………………………………1分
% % % % %
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
#%%8#=$)%$ : : : ( : : : ( : : : ( : : : $
% + % % % + % % % % % + % % % %
+
-……………………………………………………………………………………………"分
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! % ! + ! % ! ! ! ! ! % ! ! ! % +
8#=$%%$ : : : ( : : : ( : : : ( : : : $ -
% + % 1 % + % % % % % + % % % + 6
……………………………………………………………………………………………6分
4
8#=$!%$!&8#=$)%&8#=$%%$ !………………………………………………!)分
!"
=的分布列为
= ) ! %
+ 4 +
8
!" !" 6
4 + !2
)#=%$ (%: $ !…………………………………………………………………!%分
!" 6 !"
%%!解*#!%1##%$9/7#(#7-8#$1#!%$&!! ………………………………………………!分
15##%$#9/7#$15#!%$&!!………………………………………………………………+分
曲线2$1##%在点#!$1#!%%处的切线方程为2(!$&!##&!%$即!#(2&!%(!$)!…
……………………………………………………………………………………………1分
#%%15##%$#’&!%7-8#(’#9/7#$15#)%$)!
因为#$)是1##%的极大值点$所以存在#,#)$(*%$使得当#,#&#$)%时$15##%#)$
! !
当#,#)$#%时$15##%’)! ………………………………………………………………’分
!
令函数>##%$15##%$#’&!%7-8#(’#9/7#$>5##%$#%’&!%9/7#&’#7-8#$>5#)%$%’
&!! …………………………………………………………………………………………"分
!
"若>5#)%#)$即’# $则存在#,#)$(*%$使得当#,#)$#%时$>5##%#)$
% % %
即15##%在#)$#%上单调递增$从而当#,#)$#%时$15##%#)$
% %
1##%在#)$#%上单调递增$不符合题意!…………………………………………………4分
%
! !
#若>5#)%$)$即’$ $则>5##%$& #7-8#!
% %
! !
令函数?##%$>5##%$& #7-8#$?5##%$& #7-8#(#9/7#%!
% %
! !
当#,#& $)%时$?5##%#)-当#,#)$ %时$?5##%’)!
% %
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{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}! !
所以?##%在#& $)%上单调递增$在#)$ %上单调递减!
% %
! !
因为?#)%$)$所以当#,#& $ %时$?##%$>5##%-)$
% %
! !
所以>##%在#& $ %上单调递减!
% %
! !
因为>#)%$15#)%$)$所以当#,#& $)%时$>##%$15##%#)$当#,#)$ %时$>##%$
% %
! !
15##%’)$所以1##%在#& $)%上单调递增$在#)$ %上单调递减$符合题意!………2分
% %
!
$若>5#)%’)$即’’ $则存在#,#)$(*%$使得当#,#&#$#%时$>5##%’)$
% + + +
所以>##%在#&#$#%上单调递减!
+ +
又因为>#)%$15#)%$)$所以当#,#&#$)%时$>##%$15##%#)$当#,#)$#%时$>##%
+ +
$15##%’)$即1##%在#&#$)%上单调递增$在#)$#%上单调递减$符合题意!
+ +
!
综上$’的取值范围为#&*$ (!…………………………………………………………!%分
%
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{{##{{QQQQAABBLLQQQSUQooggiAgQAABBIAJAABAhBChACQAFQykCgACMECQQkAkAACACCCKgKOgOgBRAEAAIIAMAAAIAyBSNRANBAABAA=A}=#}}#}
