文档内容
2024 届高三名校期末测试
数学
考生注意：
1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题
目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内
作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为（ ）
A.8 B.-8 C. D.
3.已知向量 ，若向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A.2 B. C.-2 D.
4.在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 五人站成一排，如果 必须相邻，那么排法种数为（ ）
A.24 B.120 C.48 D.607.若系列椭圆 的离心率 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知等差数列 （公差不为0）和等差数列 的前 项和分别为 ，如果关于 的实系数方程
有实数解，那么以下1003个方程 中，有实数解
的方程至少有（ ）个
A.499 B.500 C.501 D.502
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）
9.已知一组数据： ，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论
正确的是（ ）
A.中位数不变 B.平均数不变
C.方差不变 D.第40百分位数不变
10.双曲线 ，左､右顶点分别为 为坐标原点，如图，已知动直线 与双曲
线 左､右两支分别交于 两点，与其两条渐近线分别交于 两点，则下列命题正确的是（ ）
A.存在直线 ，使得
B. 在运动的过程中，始终有
C.若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值
D.若直线 的方程为 ，则双曲线 的离心率为11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体 容器， 是 的中点， 是 上的动点，则下列说
法正确的是（ ）
A.直线 与 所成的角为
B. 的周长最小值为
C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球 全部进入），则小球半径的最大值为
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.
13.已知函数 ，若 恒成立，则 __________.
14.已知抛物线 ，点 为抛物线上的动点，点 与点 的距离 的最小值
为2，则 __________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）在 中， 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）已知点 在线段 上，且 ，求 长.
16.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资
料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为 ，乙击中8环､9环､10环的概率分别为 ，
且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分布列与数学期望.
17.（15分）如图，圆台 的轴截面为等腰梯形 ， 为底面圆周上异于
的点.
（1）在平面 内，过 作一条直线与平面 平行，并说明理由.
（2）设平面 平面 与平面 所成角为 ，当四棱锥 的体积最大
时，求 的取值范围.
18.（17分）已知函数 .
（1）当 时，探究 零点的个数；
（2）当 时，证明： .
19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿
波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点 的距离之比 是
一个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，
其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，且椭圆 的离
心率为 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，过右焦点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 （点 在 轴上方），点 是椭圆
上异于 的两点， 平分 平分 .
①求 的取值范围；
②将点 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程.
2024 届高三名校期末测试·数学
参考答案､提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C A B C A D AD BD ACD
1.【答案】A
【解析】 ，又
.故选：A.
2.【答案】B【解析】因为 .故选：B.
3.【答案】C
【解析】由题 在 上的投影向量为 ，又 ，即
.故选：C.
4.【答案】A
【解析】在 中， ，则 ，
充分性：当 时， ，
，所以“ ”是“ ”的充分条件；
必要性：当 时，取 ，
此时满足 ，但 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件.
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
5.【答案】B
【解析】圆 圆心 ，半径为 ；
设 ，切线为 ，则 中， ，所以
.故选：B.6.【答案】C
【解析】将 看成一体， 的排列方法有 种方法，然后将 和 当成一个整体与其他三个人一共4
个元素进行全排列，即不同的排列方式有 ，根据分步计数原理可知排法种数为 ，故选：C.
7.【答案】A
【解析】椭圆 可化为 .
因为 ，所以离心率 ，解得： .故选：A.
8.【答案】D
【解析】由题意得： ，其中 ，
，代入上式得： ，
要方程 无实数解，则 ，显然第502个方程有解.设方程
与方程 的判别式分别为 ，
则
，
等号成立的条件是 ，所以 至多一个成立，同理可证： 至多一个成立， 至多一个成立，且 ，综上，在所给
的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9.【答案】AD
【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为 ，
其中位数为25，平均数是 ，
方差是 ，
由 ，得原数据的第40百分位数是第4个数24.
将原数据去掉12和45，得 ，
其中位数为25，平均数是 ，
方差是 ，
由 ，得新数据的第40百分位数是第3个数24，
故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.
故选：AD.
10.【答案】BD
【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线 分别与双
曲线联立，渐近线联立，分别求出 和 坐标，从而可对 项判断；根据 ，求出
，从而可对D项判断.
【解析】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；
对于 项：设直线 ，与双曲线联立 ，得：
，设 ，由根与系数关系得： ，
所以线段 中点 ，
将直线 ，与渐近线 联立得点 坐标为 ，
将直线 与渐近线 联立得点 坐标为 ，
所以线段 中点 ，
所以线段 与线段 的中点重合，所以 ，故B项正确；
对于C项：由B项可得 ，因为 为定值，
当 越来越接近渐近线 的斜率 时， 趋向于无穷，
所以 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误；
对于D项：联立直线 与渐近线 ，解得 ，
联立直线 与渐近线 ，解得 由题可知， ，
所以 即 ，
，解得 ，所以 ，故D项正确.
故选：BD.
11.【答案】ACD
【解析】 选项，连接 ，由于 为 的中点，
所以 ，又 平面 ，所以直线 平面 ，又 平面 ，所以 ，故 正确；
选项，把 沿着 展开与平面 在同一个平面内，连接 交 于点 ，则 的最
小值即为 的长，由于 ，
，
，
所以 ，故
的周长最小值为 ，B错误；
选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，
设球心为 ，取 的中点 ，连接 ，过点 作 垂直于 于点 ，
则 为 的中心，点 在 上，过点 作 于点 ，
因为 ，所以 ，同理 ，
则 ，故 ，设 ，故
，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，C正确；选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面
相切，设小球半径为 ，四个小球球心连线是棱长为 的正四面体 ，由 选项可知，其高为
，由 选项可知， 是正四面体 的高， 过点 且与平面 交于 ，与平面
交于 ，则 ，由 选项可知，正四面体内切球的半径是高的 ，如图正四面体
中， ，正四面体 高为
，解得 ， 正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.【答案】3920 微信公众号：智慧学库
【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是 ，
是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为
，故答案为 .
13.【答案】1
【解析】由题意得 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，与 矛盾；②当 时，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
因为 恒成立，所以 ，
记
当 时， 单调递增，
当 时 单调递减，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .
14.【答案】
【解析】设
（i）当 ，即 时， 有最小值 ，即 有最小值 ，解得
，由于 ，故 .
（ii）当 ，即 时， 有最小值 ，即 有最小值 ，解得 或
12.
综上， 的值为 .
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，由余弦定理得 ，
即 ，则可得 ；
（2）由余弦定理 ，
，
则在 中，由正弦定理可得 ，
.
16.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件 ，
则事件 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则
.
（2）由题可知 的所有可能取值为 ，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则 ，
所以 ，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以 .17.【解析】（1）取 中点 ，作直线 ，直线 即为所求，取 中点 ，连接 ，则有
，如图，在等腰梯形 中， .
四边形 为平行四边形.
，又 平面 平面 ，
平面
（2）由题意作 平面 ，即 为四棱锥 的高，
在Rt 中， ，当且仅当 时取等号，此时
点 为 重合，
梯形 的面积 为定值， ，
当 最大，即点 与 重合时四棱椎 的体积最大，又 ，以 为原点，
射线 分别为 轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形 中，
，此梯形的高 ，显然 为 的中位线，
，
，
设 ，则 ，设平面 的一个法向量 ，则 ，
取 ，
令 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，综上 .
18.【解析】（1） ，定义域为 .
二次函数 的判别式为 ，对称轴为 .
当 时，二次函数 的图象开口向上，
① ，即 时， 在 上无零点；
② ，即 时， 在 上有1个零点 ；
③ ，即 时， 在 有2个不同的零点；
综上，当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上有1个零点；
当 时， 在 有2个不同的零点；
（2）由（1）分析知，当 时， 在 上有1个零点，设零点为 ，
则 ，解得， ，进一步，当 时， ，当 时， ，
所以
易证 ，所以
.
19.【答案】（1） （2）① ②
【解析】（1）方法①特殊值法，令 ，且 ，解得 .
，椭圆 的方程为 ，
方法②设 ，由题意 （常数），整理得：
，故 ，又 ，解得： .
，椭圆 的方程为 .
（2）①由 ，又 ，
（或由角平分线定理得），令 ，则 ，设 ，
则有 ，又直线 的斜率 ，则代入 得： ，即 ，
.
②由（1）知， ，由阿波罗尼斯圆定义知，
在以 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，则
有 ，即 ，解得： .
又 ，故
又 ，
.
解得： 直线 的方程为 .
