文档内容
东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学 2024
届高三第一次六校联考试题
数学
命题人 中山市中山纪念中学 李健､周胜 审题人 黄华
本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，只需将答题卡上交.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D. 或
2.在复平面上，复数 的共轭复数 对应的向量 是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则 的离心率等于（ ）
A. B.3 C. D.2
学科网（北京）股份有限公司4.某种包装的大米质量 （单位： ）服从正态分布 ，根据检测结果可知
，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量 以上的袋数大约是（
）
A.5 B.10 C.20 D.40
5.已知等差数列 的公差不为 且 成等比数列，其前 项和为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1
或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95
和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ）
A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.575
7.已知奇函数 在 上是增函数，若 ，则 的大小关
系为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参
加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正
确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.高一年级学生人数为120人
B.无人机社团的学生人数为17人
C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人
D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法
10.已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上单调递增
D.当 时，
11.如图，正方体 的棱长为2，若点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.直线 可能与平面 相交
学科网（北京）股份有限公司B.三棱锥 与三棱锥 的体积之和为
C. 的周长的最小值为
D.当点 是 的中点时， 与平面 所成角最大
12.已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的解集为
B.当 时，
C. 有且只有两个零点
D.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随
机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，
8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.
14.已知 的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________.
15.设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图像都有对称中心 ，其中 满足 .已知三次函数
，若 ，则 __________.
16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂
直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆
，则C的蒙日圆O的方程为__________；在圆 上总存在点P，
使得过点P能作椭圆C的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
已知等差数列 满足 ，数列 是以1为首项，公比为3的等比数列.
学科网（北京）股份有限公司（1）求 和 ；
（2）令 ，求数列 的最大项.
18.（本小题12分）
在 中， 为 中点， .
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的长.
19.（本小题12分）.
如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，且与底面 垂直， 平面
是棱 上的动点.
（1）当 是棱 的中点时，求证： 平面 ：
（2）若 ，求点 到平面 距离的范围.
20.（本小题12分）
某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，
测量其尺寸（单位： ）得到如下统计表，其中尺寸位于 的零件为一等品，位于 ）和
的零件为二等品，否则零件为三等品.
生产线
甲 4 9 23 28 24 10 2
学科网（北京）股份有限公司乙 2 14 15 17 16 15 1
（1）完成 列联表，依据 的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品 非一等品 合计
甲
乙
合计
（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以 表
示这2个零件中一等品的数量，求 的分布列和数学期望 ，
（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行
检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检
验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将
从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，
是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
附： ，其中
21.（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ，短轴的顶点分别为 ，
四边形 的面积为 （点 在 轴的上方）为椭圆上的两点，点 在 轴上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，且直线 与圆 相切于点 ，求 .
22.（本小题12分）
已知函数 .
（1）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 和 有公切线，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学
2024 届高三第一次六校联考数学参考答案
一､单选题，二多选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C B C B A D AC BC BD ABD
三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）
13.7.85 14. 15.-2 16.
四､解答题
17.解：（1）解法一：因为数列 是以1为首项，公比为3的等比数列，
所以 ，因为 ，所以 .
因为数列 是等差数列，
所以 ，即 ，解得
所以 ，所以 .
解法二：因为数列 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以 ，
因为数列 是等差数列，设公差为 ，则 .
所以 ，
所以 所以
（2）因为 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， .
当 时， ，即， .
学科网（北京）股份有限公司所以数列 的最大项是第10项
18.解：（1）在 中， ，
由余弦定理可知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
（2）在 中，设 ，则由正弦定理 ，
即 ，得 ，所以 ，
，
所以 ，
所以 ，.
由正弦定理得： ，即 .
19.解：（1）证明：因为 平面 平面 ，且平面 平面 ，所以
.
取 的中点 ，连接 ，
因为 是棱 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ..
（2）取 的中点 ，连接 .
因为 是正三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以， 平面 .
因为 为 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
，所以 ，
设 ，其中 ，则
，
设平面 的法向量 ，
所以 ，
令 ，得 ，
设点 到平面 距离为 .
当 时， ；
当 时， ，则 ，
当且仅当 时等号成立.
学科网（北京）股份有限公司综上，点 到平面 距离的取值范围是 .
20.解：（1）由题意得列联表如下：
一等品 非一等品 合计
甲 75 25 100
乙 48 32 80
合计 123 57 180
依据小概率值 的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.
（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为 ，
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为 ，
的所有可能取值为 ，则
的分布列为：
0 1 2
（3）由已知零件为三等品的频率为 ，
学科网（北京）股份有限公司设余下的40个零件中三等品个数为 ，则 ，
设检验费用与赔偿费用之和为 ，若不对余下的所有零件进行检验，则 ，所以
，
若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为 元，
应对剩下零件进行检验..
21.解：（1）由题意知 ，四边形 为菱形，面积为 ，即 ，
又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ，直线 的方程为 ，
由 得 ，联立 得 ，
则 ，由 ，
得 ，
所以 ，
化简得 ，易知原点 到直线 的距离 ，
又直线 与圆 相切，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即
由 ，
得 ，即 ，
解得 ，则 ，满足 ，所以 ，
在Rt 中， .
22.解：（1）由题意，当 时，
设 ，
则 ，
，
令 ，得 （舍负），.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
.
根据题意 的取值范围为
（2）设函数 在点 处与函数 在点 处有相同的切线，
则
，
，代入 .
学科网（北京）股份有限公司得
问题转化为：关于 的方程 有解，
设 ，则函数 有零点，
，
当 时， .
问题转化为： 的最小值小于或等于0.
，
设 ，则
当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 .
由 知 ，
故 .
设 ，
则 ，故 在 上单调递增，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司的最小值 等价于 .
又 函数 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司
