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高三数学
本试卷共 6页．时量 120分钟．满分 150分．
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
{ } { }
1．（★）已知A= x∈Z|4−x2 ≥0 ，B= x| y = 1−x ，则AB=
A．[−2,1 ] B．(−∞,−2 ]
C．{
0,1
} D．{−2,−1,0,1 }
1
2．（★）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于
(2+i)2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（★）已知正实数a，b，c，满足2a =log b=c2，则a，b，c的大小关系不可能的是
0.5
A．a<b<c B．b<c<a
C．a<c<b D．b<a<c
4．（★）已知a，b 是平面内两个非零向量，那么“a//b ”是“存在λ≠0， a+λb = a + λb ”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（★）边长为1的等边三角形绕其一条边旋转一周，形成的几何体体积为
1 3
A． π B． π
4 2
1 3
C． π D． π
8 3
6．在△ABC中，∠BAC =120°，点D在BC边上，AD平分∠BAC．若AD=2，则AB+4AC 的最
小值是
A．20 B．18 C．17 D．16
7．设函数 f ( x )的定义域为R，且 f ( x )不恒为0，函数 p ( x )为奇函数，函数q ( x )为偶函数，下列结论
不正确的是
A．若 f ( x )为奇函数，则满足 f ( x )= p ( x ) q ( x )的 p ( x )与q ( x )存在无数对
B．若 f ( x )为偶函数，则满足 f ( x )=q ( p ( x )) 的 p ( x )与q ( x )存在无数对
学科网（北京）股份有限公司C．若 f ( x )是奇函数或偶函数，且满足 f ( x )= p ( x )+q ( x )，则 p ( x )=0与q ( x )=0中恰有一个成立
D．存在 f ( x )，使满足 f ( x )= p ( x )+q ( x )的 p ( x )与q ( x )不存在
x2 y2
8．已知F ，F 是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过点F 引∠FPF
1 2 a2 b2 1 1 2
c
的外角平分线的垂线，垂足为Q，且点Q与短轴顶点的最短距离为 ，则椭圆的离心率为
2
2 3
A． B．
3 4
4 5
C． D．
5 6
二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．（★）下列说法正确的是
A．数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B．若0< P ( C )<1，0< P ( D )<1，且P ( D ) =1−P(D|C)，则C，D相互独立
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
yˆ =0.4x+a，若其中一个散点坐标为(−a,5.4 )，则a=9
D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据( x ,y )，( x ,y )，…，( x ,y )调整为( x ,y +3 )，
1 1 2 2 n n 1 1
( x ,y +3 )，…，( x ,y +3 )，决定系数R2不变
2 2 n n
n n
∑( x −x )( y − y ) ∑(y − yˆ )2
i i i i
（附：b ˆ= i=1 ，aˆ = y−b ˆ x，R2 =1− i=1 ）
n n
∑(x −x)2 ∑(y − y)2
i i
i=1 i=1
10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线
4x+3y−12=0相切，下列选项中，圆C的面积可以是
4π
A．π B．
3
3π 8π
C． D．
2 5
lnx
11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线x= x 与函数 f ( x )= 的图象交于M 点，与x轴交于N
0 ex
点，其中x lnx =1，则
0 0
学科网（北京）股份有限公司A．x 为 f ( x )的极大值点
0
4 3
B． < x <
3 0 2
C． MN <e−2
17
−
D．设直线OM 的斜率为k，则k <e 6
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
9π 5π
12．（★）cos2 −cos2 =__________．
8 8
1 1 1
13．已知递增等比数列{ a }满足a +a +a =8， + + =2，则a =__________．
n 3 5 7 6
a a a
3 5 7
14．高三1班54个人围成一圈做游戏，每人手中都有一个硬币．游戏开始时，每个人同时独立且等概率
地选择将自己的硬币：保留或给左边的人或给右边的人，此后记手中没有硬币的人的个数为X ，则
E
(
X
)=__________．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（★）（本小题满分13分）
2026年7月31日，DeepSeek的V4－flash正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其
产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示
的频率分布直方图，每日使用时长不小于80分钟的用户称为“忠实粉丝”．
（1）估计该产品用户每日的平均使用时长x （同一组的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在[
60,80
)，[
80,100
)的用户中随机抽取8人，并从中随
机抽取2人作进一步分析，记X 为2人中“忠实粉丝”的人数，求X 的分布列和期望．
16．（★）（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P− ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，AD⊥ AB，
AD//BC，AD=4，AB= BC =2，点M 为线段PA的中点．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：DM ⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面MCD所成角的正切值．
17．（本小题满分15分）
已知点A ( 0,1 )，B ( 0,−1 )，H 为曲线Γ上三点（其中点H 为曲线上除A，B外任意一点），且满足
1
k ⋅k = ．
HA HB 4
（1）求曲线Γ的方程；
（2）已知圆O:x2 + y2 =1，曲线Γ的上焦点为F ，作圆O的切线CD交曲线Γ于C，D（y <0，
D
FFF FFF
y >0），在CD上取点Q使OQ⊥OD，判断OQ⋅OF 是否为定值．
C
18．（本小题满分17分）
1
已知 f ( x )= xex − ax3+ax ( a∈R )．
3
（1）若a =1，求 f ( x )的图象在 ( 0, f ( 0 )) 处的切线方程．
（2）若 f ( x )有三个极值点x ，x ，x ( x < x < x )．
1 2 3 1 2 3
（ⅰ）求a的取值范围；
1 1 1
（ⅱ）证明： + + >0．
x x x
1 2 3
19．（本小题满分17分）
对所有满足a =2且a2 +2a2 +4a −2a −3a a =0的数列{ a }，记i 为满足a =k的i的最小值
1 n+1 n n n+1 n n+1 n k i
（若不存在i，则记i =0）．
k
（1）若i =4，求k的可能取值；
k
（2）证明：若k =2n−1+2j( j∈{ 1,2,…,n−2 }) ，则i =n；
k
2n
（3）求∑i ．
k
k=1
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