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广东省广州市 2026-2027 学年高三上学期开学模拟卷
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，故 .
2. 已知 ，则复数 的虚部为
A．－1 B．2 C．i D．1
【答案】D
【解析】因为 ，可得 ，
则 ，所以复数 的虚部为1.
3.已知 为单位向量， ， ，则 在 上的投影数量为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
已知 ，将等式两边平方并展开得 ，
又因为 ，所以解得 ；则 在 上的投影数量为 ，故B正确 .Word仅供教研使用，请勿商用
4.若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，
所以 .
5.若数列 与 都是等比数列，则“ 与 均为递增数列”是“数列 为递增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取 ，此时 均为递增数列， ， 为常数列；
取 ，则数列 为递增数列，此时可取 ，
其中 为递减数列， 为递增数列.
综上可得：“ 与 均为递增数列”是“数列 为递增数列”的既不充分也不必要条件.
6.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台
是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”， ， ，
则该“刍童”外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接 ，设 ，连接 ，Word仅供教研使用，请勿商用
由棱台 侧棱相等，得该棱台的外接球球心在直线 上，
设外接球球心为 ，而 ，
由 ，得球心 在线段 的延长线上，如图所示：
由 ，得 ，则 ， ，
所以所求外接球表面积为 .
7.已知函数 的导函数为 ，对任意的实数x都有 ，则不等式
的解集是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
即 ，所以 （其中c为常数），
因此， ，由 可得 ，故 ，
显然， 是 上的偶函数．当 时， ，
所以， 在 上是增函数，
因为 ，所以 ，所以解集为 .
8.如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么
称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的
正整数？
A．511 B．2584 C．9841 D．17711Word仅供教研使用，请勿商用
【答案】C
【解析】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出
现先减后增”，也等价于“该正整数从左往右单调递增或单调递减，或先增后减”，
因为平衡数中没有数字重复出现，不包含数字0，所以只能从 中不重复地选取，
先从 中选 个数，除了最大数，每个其他数字可以选择放在左边或右边，且一旦选定左右分组，顺
序就被唯一确定：左边递增，右边递减，但注意：如果所有数字都在左边（递增）或都在右边（递减）也算，
所以总数恰好 .
，从 中选 个数，有 种选法，排列方法有 种， ，
，从 中选 个数，有 种选法，排列方法有 种， ，
，从 中选 个数，有 种选法，排列方法有 种， ，
一共有 ，
设 ，
所以 ，解得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设函数 ，若 在区间 上单调递增，则下列说法中正确的是
A．存在 使得函数 为奇函数
B．函数 的最大值为
C． 的取值范围为
D．存在4个不同的 使得函数 的图象关于 对称
【答案】BC
【解析】由题意得Word仅供教研使用，请勿商用
，
故 ，
因此不存在 ，使得函数 为奇函数，故A错误；
由于 ，故 ，即 的最大值为 ，故B正确；
由于 在区间 上单调递增，
故 ，解得 ，故C正确；
令 ，解得 ，
结合 知 的取值为 ，共8个值，故D错误.
10.已知函数 ，则
A． 有两个极值点
B． ，使得 为增函数
C． ，使得点 为曲线 的对称中心
D．当 时，过点 且与曲线 相切的直线恰有两条
【答案】AC
【解析】 ，
求导得 ，令 ，得 ，
又因为 ，
所以 有两个不等的实根 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，Word仅供教研使用，请勿商用
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 有两个极值点，不存在 ，使得 为增函数，故A正确，B错误；
若曲线 关于点 对称，则 对 恒成立，
又 ，
，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以当 时，使得点 为曲线 的对称中心，故C正确；
当 时， ，求导得 ，
设切点为 ，切线斜率为 ，
所以曲线在点 处的切线方程为 .
又切线过点 ，所以 ，
整理得 .
令 ，求导得 ，
令 ，得 ，解得 或 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，Word仅供教研使用，请勿商用
所以函数有极大值 ，极小值 ，
又当 时， ，当 时， ；
所以 与 轴有唯一交点，所以 有唯一解，
所以方程 有唯一解，
所以当 时，过点 且与曲线 相切的直线恰有一条，故D错误.
11.已知 为正整数， 的方程为 ，则下列结论正确的有
A．对任意正整数 ，直线 平分 的面积
B．对任意正整数 ，直线 与 相切
C．存在正整数 ，使得直线 与 相交
D．对任意正整数 与 相交
【答案】ABD
【解析】对于A，将 的方程化简得 ，所以圆心坐标为 .
可知直线 经过 的圆心，所以对任意正整数 ，直线 平分 的面积，A正确；
将 的方程化简得 ，
可知圆心到直线 的距离为 ， 与 轴相切，
故直线 关于直线 的对称直线也与 相切，所以B正确；
结合B选项可知圆心到直线 的距离 ，所以直线 与 相离，所以C错误；
将 的方程化简得 ，其圆心坐标为 ，半径为 .
的方程为 ，化简为
，其圆心坐标为 ，半径为 .Word仅供教研使用，请勿商用
所以 与 的圆心距始终为 ，而对任意正整数 与 的半径之和 ，
对任意正整数 有 ，半径之差 ，所以对任意正整数 与 相交，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知双曲线 ： 的焦距是虚轴长的 倍，则 的离心率为________.
【答案】
【解析】由题意得 ，故 ， ，
又 ，故 ，即 ，可得 .
13.若 的展开式中含 的项的系数为28，则实数 _______.
【答案】30
【解析】因为 的通项展开式为 ， ，
若 里取 ，则 的展开式只能取含 的项，即 ,
此时展开式中含 的项的系数是 ；
若 里取 ,则 的展开式只能取含 的项，即 ,
此时展开式中含 的项的系数是 ；
若 里取 ,则 的展开式只能取含 的项，即 ,
此时展开式中含 的项的系数是 ；
合并系数可得 ，解得 .
14.数列 共2026项，现剔除前两项 ， 并将 作为最后一项，
组成一个新的数列 ，显然数列 共2025项.循环此操作剔除前两项 ， ，并将 作为最后
一项，组成一个新的数列 ，显然 共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为
________.
【答案】4052Word仅供教研使用，请勿商用
【解析】第一次变换是：删除两项 ，添加 ，
∵ ，正好是 新添加的项，
也就是说，数列 中每一项加1的积，等于数列 中每一项加1的积，也等于数列 中每一项加1的
积……
原数列是 共2026项，
每项加1后，初始乘积为： ，
每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后，
数列只剩1项，设为 ，根据不变量，有 ，解得 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 ;
(2)若 ， ， 为 的中点，求 的长 .
【解析】（1）由正弦定理得
由 ，得 .
因为 ，所以 ，故 .
即 .又因为 ，所以 ，
所以 ，故 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，又 ，所以 .
因为 为 的中点， ，
则 ，所以 .
16.一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取Word仅供教研使用，请勿商用
小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出．
(1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率；
(2)记抽取3次取出白球的数量为 ，求随机变量 的分布列和期望.
【解析】（1）记事件 “第2次取出的小球为黑球”，事件 “第1次取出的小球为白球”，
则 ， ，
所以 ．
（2）由题意， 的所有可能取值为 ， ， ， ，则
，
，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
期望为： .
17.如图，在三棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， ．
为 的中点， 为 的三等分点（靠近 点）．
(1)请用 表示 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)设 为 的中点，过 的平面与射线 、 分别交于点 、 ，求三棱锥 体积的最小
值．Word仅供教研使用，请勿商用
【解析】
（1）由题意，连接 ，如图所示，
由 为 的中点， 为 的三等分点（靠近 点），
则
.
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
过点 作 ，垂足为 ，如图所示，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 面 ， 面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
过 作 ，垂足为 ，由 平面 ，
所以 ，所以 平面 ，则 为直线 与平面 所成角，
由题意可知 ，Word仅供教研使用，请勿商用
根据余弦定理得： ，
所以 ， ,
设直线 与平面 所成角为 ，
在直角三角形 中有：
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）由（2）知， ， ， ，
以 为原点，以 所在直线分别为 轴，在平面 内，以与 垂直的直线为 轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
则 ，
由于 四点共面，则存在实数 ，使得 ，Word仅供教研使用，请勿商用
即 ，解得 ，
而 ，故 ，解得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
而 到平面 的距离为 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立 .
18.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 为椭圆上一点（异于点 ， ），
， 的面积最大值为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 为直线 上一点（不在坐标轴上），若直线 与椭圆 相切于点 ．
（ⅰ）判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）过点 作直线 交直线 于点 ，且 ，求 的最大值．
附：过椭圆 上一点 的切线方程为 .
【解析】 (1) 依题意，当点 位于上、下顶点时， 面积最大，则 ，得 ．
又因为 ，所以 ， ，故椭圆 的标准方程为 .
(2) (i) 直线 平行于直线 ，理由如下：
由（1）知， ，则 ， ．设点 ， ，Word仅供教研使用，请勿商用
则直线 的方程为 ．
令 ，有 ，得 ．
又 ，
则 ．
因为点 在椭圆上，满足 ，即 ，
代入得 ，
显然直线 与 不重合，故直线 平行于直线 .
(ii) 因为直线 平行于直线 ，
所以 ．
方法一：设点 的坐标为 ， ，
椭圆在点 处的切线方程为 ，代入点 的坐标得 ，故 ．
代入椭圆方程 得 ，
整理得 ，故 ，
则 ，故 ．
又 ，所以 ，
故直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．Word仅供教研使用，请勿商用
联立得 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 ．
方法二：由题意知 ，
则直线PA的方程为 ，
直线QB的方程为 ．
联立可得
得 ，
故 ．
设函数 ， ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， 取得最大值为 .
19.对于定义在区间 上的函数 ，若 对一切 恒成立，则称直线
是 的一个“ 函数”．Word仅供教研使用，请勿商用
(1)若 ，分别判断 和 是否为 的 函数并说明理由；
(2)设 ， ．若 是 的一个 函数，求 的取值范围；
(3)设 为无穷实数列．令 ．已知 与其 函数 的图象有公共点，其
公共点的横坐标为 ．是否存在 ，使得 为非常数的无穷等比数列？证明你的结论.
【解析】 (1)函数 ，由 ，得 ，则 ，
当 时， ，因此 恒成立，
即 恒成立，所以 是 的 函数；
当 时， ，取 ， ， ，
此时 ，所以 不是 的 函数.
(2)函数 ，由 是 的一个 函数，
得 ，不等式 恒成立，
令函数 ，由 ，得 ，
求导得 ， ，
当 时， ，则 恒成立， 在 上单调递增，
因此 恒成立， ；
当 时，由 ， ， 在 上单调递减， ，因此 ，
当 时，方程 的两个实根 ，
而 且对称轴 ，故 ，
由 ，得 或 ；由 ， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，得 ，Word仅供教研使用，请勿商用
因此 ， ，所以 的取值范围是 .
(3)函数 与其 函数 的图象有公共点，
函数 与 在 上的图象公共点横坐标为 ，且 恒成立，
则 ，令函数 ，于是 恒成立，
且 ，即 为 在 上的最小值点，
求导得 ，由 ，得 ，
令函数 ，求导得 ，则 ，
由 为最小值点，得 ，则 ，解得 ；
假设存在 使 为非常数无穷等比数列，
设 ， ，若 ，则数列 严格递增，
当 （ 表示 的整数部分）时， ，与 矛盾；
若 ，则数列 严格递减，当 时， ，
则存在正整数 ，使得当 时， ，与 矛盾；
若 ，数列 为常数列，与“非常数”矛盾，
所以不存在数列 使得 为非常数的无穷等比数列 .
