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襄阳四中 2027 届高三年级 8 月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．样本数据 ， ， ， ， 的平均数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知(1+2𝑥)𝑛的展开式的各项系数之和为81，则𝑛 =( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． . D． .
4．某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为 ，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概
率为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．(−2,+)
6．为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局将安排包括甲､乙在内的 4 名城区教师前往三所乡镇学校
支教．若每所学校至少安排 1 名教师，每名教师只去一所学校，则甲､乙不安排在同一个学校的概
率为( )
1 11 1 5
A． B． C． D．
12 12 6 6
7．从 ， ， ， ， ， ， 这 个数中任选 个组成一个没有重复数字的“五位凹数 ”
（满足 ），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．设 ，记 ，
令有穷数列 为 零点的个数 ，则有以下两个结论：①存在 ，使得 为
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{#{QQABAYI0pgCY0AbACQhqE0H0CwiYsgKjLIokwQAcOARCARFABAA=}#}常数列；②存在 ，使得 为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
二、多选题：本题共3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得
6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．Am =nAm−1（m,n为正整数且nm1）
n n−1
B．满足方程Cx2−x =C5x−5的x值可能为x=1或x=3
16 16
C．甲、乙、丙等5人排成一列, 若甲与丙不相邻，则共有36种排法
D．把6个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少分一个球的分法有10种
10. 下列说法正确的是（ ）
A．若线性回归方程为 ，则样本数据 的残差为−0.2
B．已知随机变量 ， 满足 ，若 ， ，则 ，
C．已知随机事件 ，且 ，若 ，则事件 相互独立
D．已知随机变量 ，且函数 为偶函数，则
11. 已知函数 ，则（ ）
A．若存在实数 ，使得 ，则
B．当 时，过原点且与曲线 相切的直线不存在
C．当 时，方程 有3个不相等的实数根
D．当 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知变量 、 的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为 ，则 ____.
13. 已知函数 在 处取得极值0，则 ________．
14．一个不透明的袋中有分别标有数字 ， ， ， 的相同小球．规定每人每次从中随
机抽取 3 个，记录好标号后将小球放回袋中．现有两人依次各抽取 1 次，记 为这 个小球中至
少被取出1次的小球的个数，则 的数学期望 __________．
襄阳四中2027届高三年级8月质量检测数学试卷 第2页（共4页） (cid:19)(cid:26)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知在 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求 ；
(2)求含 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
16．在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治
保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学
业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各 名进行调查统计．记事件
“成绩优良”， “有固定阅读习惯”，据统计 ， ．
(1)补全 列联表，依据小概率=0.001的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有
关？
有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计
成绩优良 100
成绩一般 100
合计
(2)为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建
人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选 人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，
求 的分布列与期望．
参考公式与数据： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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{#{QQABAYI0pgCY0AbACQhqE0H0CwiYsgKjLIokwQAcOARCARFABAA=}#}17. 已知函数 .
(1)判断函数 的单调性；
(2)已知 在 上的最小值为2，求k的值；
(3)若 恒成立，求k的取值范围.
18. 在襄阳市第四中学举办的体育节乒乓球活动中，甲、乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比
赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是 （ ），各局比赛之
间的结果互不影响，且没有平局．
(1) 时，若两人共进行5局比赛．设两人所赢局数之差的绝对值为 ，求 的概率；
(2) 时，若两人共进行 （ ， ）局比赛．记事件 表示“在前 局比赛中
甲赢了 （ ）局”．事件 表示“甲最终获胜”．请写出 ， ，
， 的值（直接写出结果即可）；
(3)若两人共进行了 （ ）局比赛，甲获胜的概率记为 ．当 时，试判断
与 的大小，并说明理由．
19．设 ，若对任意的 ，且 ，函数 与 满足关系
，则称函数 是函数 在区间 上的 级控制函数．
(1)判断函数 是否是函数 在区间 上的1级控制函数，并说明理由；
(2)若函数 是函数 在区间 上的 级控制函数，求实数 的最大值；
(3)若函数 是函数 在区间 上的2026级控制函数，且函数
在区间 上存在两个零点 ，求两零点之积 的取值范围．
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