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襄阳四中 2024 级高二下学期三月月考
数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线方程可直接求得准线方程.
【详解】由抛物线方程可得准线方程为： .
故选：B.
2. 圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径进行比较，得到答案.
【详解】圆 ，圆 ，
所以两圆圆心为 ， ，
所以 ，
两圆半径分别为 ， ，
所以 ，
所以两圆位置关系为外切.
故选：D.3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. 在区间 上单调递减 B. 在 处取得极大值
C. 在区间 上单调递减 D. 在 处取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数图象与函数极值、单调性关系一一分析即可.
【详解】对A，当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，故A错误；
对B，在 附近，导函数符号不变，则 在 处取不到极大值，故B错误；
对C，当 时，此时 单调递增，故C错误；
对D，由图知 为附近的最低点，则 在 处取得极小值，故D正确.
故选：D.
4. 中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走252里路，第一天
健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.则最后一天走了
（ ）
A. 4里 B. 16里 C. 64里 D. 128里
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意转化为等比数列模型，相当于求 ，直接套公式求即可.【详解】由题意得此人每天走的路程构成公比为 的等比数列，且前6项和为252.
设首项为 ，则有 ，解得： =128.
∴
故选：A
【点睛】（1）数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语
言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
5. 在空间直角坐标系中，直线 经过点 ，且其方向向量 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可.
【详解】因为 ，直线 的方向向量 ，
所以 ，
因为 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
故选：A6. 用一个与圆柱底面成 角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形分析椭圆的长半轴和短半轴与圆柱底面圆半径的关系，求出 得到离心率.
【详解】设圆柱 的底面半径为 ，则底面圆的直径为 ，
椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即 ，
长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得 ，
所以 ，
所以该椭圆的离心率 ，
故选：D.
7. 若函数 在区间 单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】将问题转化为 在区间 恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得.
【详解】 ，
因为函数 在区间 单调递增，
所以 在区间 恒成立，即 在区间 恒成立，
即 在区间 恒成立，
由对勾函数的单调性可得 故 .
故选：D.
8. 已知在数列 中， ， ， ，则 中的最大项是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 记 ，整理得出 的通项公式，分析当 时和当 时，即可得出
中的最大项为 .
【详解】记 ，由题意得 ，
整理可得 ，
得 ，即 ，又 ， ，所以 ，则 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
故 中的最大项为 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B. 4与9的等比中项为
C. 在公比不为1的等比数列 中，若 ，则mn的值可能为8
D. 等比数列 是递增数列，则 的公比
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由
等比数列的性质可知 ，即可求解；D选项举反例可判断.
【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为 ，
则 ，所以 是公差为 的等差数列，又 ，所以 是公比为 的等比数列，
所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确；
对于B选项，4与9的等比中项为 ，故B正确；
对于C选项，由等比数列的性质可知 ，且 ，
所以 ， 的可能值为 ， 或 ， 或 ， 或 ， 或 ， ，
则 ，或 ，或 ，故C正确；
对于D选项，当 ， 时，数列 是递增数列，故D错误.
故选：ABC
10. 如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为2，且
，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 异面直线 与 所成的角为 D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得 ，再根据数量积的运算律判
断B；根据 ，则 为异面直线 与 所成的角，即可判断C；计算 ，即
可判断D.【详解】对于A： ，故A正确；
对于B：因为 ，
所以
，
所以 ，即 ，故B错误；
对于C：因为 ， ，所以 ，
所以 为异面直线 与 所成的角，即异面直线 与 所成的角为 ，故C错误；
对于D：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：AD
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 作垂直于 轴的直线交
于 两点．若直线 的斜率是 的周长是16，则（ ）
A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2
C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是
【答案】BCD
【解析】【
分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合直角三角形边角关系求出 ，再逐项分析求解.
【详解】设 ，直线 ，由 ，得 ，
则 ，由直线 的斜率是 ，得 ，
由双曲线定义得 ，由 的周长是16，
得 ，即 ，则 ，而 ，
因此 ，解得 ，双曲线 ，
对于A，双曲线 的渐近线方程为 ，A错误；
对于B，双曲线 的实轴长是2，B正确；
对于C， ， 的面积是 ，C正确；
对于D， ， ，因此 的外接圆半径 ，D正
确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数 的单调减区间是_____.
【答案】
【解析】
【分析】求导，解不等式 即可.
【详解】 ，
解 得 ，
故 的单调减区间是 .
故答案为：
13. 数列 满足， ，则数列 的前9项和为____．
【答案】30
【解析】
【分析】根据题意求得 ，得到数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，数列
是首项为 ，公差为2的等差数列，据此求得 的通项公式，分 为奇数和偶数，结合等
差数列求和公式，即可求解．
【详解】由 ，可得 ，
两式相减，可得 ，又由 且 ，可得 ，
所以数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
即 为奇数时， ， 为偶数时， ，
所以 ，所以 ．
故答案为：30．
14. 已知直线 与 交于 两点，
（1） 时， ______；
（2）若在圆上或其内部存在一点 ，使得 ，则 的取值范围为______．
【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求
解；
（2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
所以圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
圆心 到直线 的距离为
.
所以弦长
（2）由 ，得圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
由在圆上或其内部存在一点 ，使得 ，需使得以 为弦的圆心角 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ,即 ，解得 ，即 或 .
且直线 与 交于 两点，
所以 ，解得
故实数 的取值范围为 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程.
（2）当 ，求函数 的极值.
【答案】（1）
（2）极小值 ，极大值
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得；
的
（2）对函数求导，分析函数 单调性，即得函数的极值.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，
所以 ，而 ，故函数 在点 处的切线方程为 .
【小问2详解】
当 时， ，函数的定义域为 ，
则 ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
故函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在 处取得极小值 ；
在 处取得极大值 .
16. 已知 是等差数列， 是公比大于0的等比数列，且 ， ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ， 列方程组求解即可；
（2）错位相减法求 即可.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 是公比大于0的等比数列，且 ，所以 是各项都为正数的等比数列，设其公比为 .
由 可得： ，
解得 或 （负值舍去），
则 ， ；
【小问2详解】
由（1）知 ，
所以 ，
两式相减可得
，
整理得 .
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，
， 为 的中点，平面 与棱 交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）若 为 的中点，平面 平面 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）证明 平面 ，再根据线面平行的性质可得 ，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，即可求出答案.
【小问1详解】
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为 是 的中点，
所以 为 的中点．
【小问2详解】
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，因此 ，
故 两两垂直，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，所以 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
由图知，二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
18. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且椭圆 过点 .过 作两条互相垂直的直
线 与 分别与椭圆交于 四点.记弦 的中点分别是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与 轴不重合，求△ 面积的最大值；
（3）求证：直线 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，利用椭圆的定义可求得 ，进而可求得 ，可求椭圆 的方程；
（2）设直线 的方程为： ，与椭圆联立方程组，根据韦达定理可得
，结合基本不等式求得△ 面积的最大值；
（3）设 ，由题意可得定点在点在 轴上，设为 ，由（2）可得 的坐
标，进而利用 ，可得 ，可求得定点坐标.
【小问1详解】
因为椭圆 的左､右焦点分别为 ，所以 ，
又椭圆 经过点 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程 .
【小问2详解】由题可设直线 的方程为： ，
由 得， ，
令 ，则 ，所以 ，
又因为 时， 单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 面积的最大值为 .
【小问3详解】
设 ，
（i）当 或 与 轴重合时，直线 为 轴.
若直线 过定点，则该点在 轴上，设为 ，
（ii）当 与 都不与 轴重合时，由（2）可知：
，
把 换成 可得 ，因为
且 ，所以 .
解得： ，
所以直线 过定点 .
19. 已知 为正项数列 的前n项和，且 ．
（1）求 的通项公式．
（2）已知数列 满足：① ，② ，③ ．
（i）求 ．
（ii）证明： ．
（iii）若 ，求q的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i） ， ， ；（ii）证明见解析；（iii）
【解析】
【分析】（1）由 与 关系推导证明 是等比数列，进而求出其通项公式；
（2）（i）通过 与条件 矛盾分析确定的 值；（ii）推导证明 与 的关系；
（iii）利用等比数列通项得到 ，结合 的不等式求解 的范围.
【小问1详解】
将 代入 ，得 ．由 ，得 ，
两式相减得 ，即 ，
因为 为正项数列，所以 ，则 为等比数列，且首项和公比均为q，
所以 ．
【小问2详解】
（i） ，若 ，则 ，得 ，这与 矛盾，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，得 ．
同理得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
（ii）证明： ，又 ，所以 ．
，
得 ，即 ．
（iii）因为 ，
所以 ．
，
因为 ，所以 ，即 ，
由 ，且，
可得 ，又 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列．
因 ，所以 ，
为
若 ，则 ，即 ，
解得 ．
