A
高二 4月数学
注意事项：
1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定
位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
f(x)=+a
1.若函数 的导函数为f'(x),且f(2)=f'(2),则a=
B.-2 c.-4 D.-3
A.0
2.在空间四边形ABCD中，P,Q分别为线段AB,CD的中点，则PQ=
c.7+C
A.D±BC B.1B±C D.A±D
3.设公差不为0的等差数列a的前n项和为S?,若S?=20a1?,则Sg=
A.S? B.S C.S?2 D.S?
C:-B=1(a>0,b>0)的离心率为2,则x轴正半轴上到 C的渐近线距离为
4.已知双曲线
2的点的横坐标为
c.23 D.433
A.2√3 B.4
5.函数f(x)=(x2-3x+1)e?1的最小值为
A.-e B.-e?2 C.5e~2 D.e
6.已知正项等比数列|a的公比为q(q≠1),前99项和为A,数列1√a。|的前99项和为B,
则数列(-1)“√a。的前99项和为
A.A B c.-A D.-
数学(A) 第1页(共4页)7.已知a=In粤，b=-7,c=-sin,则
A.c<b<a B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b
8.已知点P(m,n)是椭圆C:4+3=1上的动点，则√m2+n2+2m+1+√m2+n2-2n+1+
2√m2+n2-2m+1的最大值为
A.8-√2 B.8+√2 C.4-√2 D.4+√2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若a,b,c|构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A.a,-b,c B.a-b,b-c,c-a
C.a+b,2a+b,4a+3b D.2a-b,c-a,a+b+c
10.已知函数f(x)的导函数f'(x)在[-4,3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是
y4
o
-4 -2 万 3x
A.f(x)在(-2,2)上单调递减 B.当x=-2时，f(x)取得极大值
C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.f(3)是f(x)在[-4,3]上的最大值
11.若数列\a|满足：存在正整数k,使得n>k时恒有an+a?-i=c(c为常数),则称数列{a为
“k阶等和数列”,其中c为该数列的“阶和”.已知无穷数列[b|是“3阶等和数列”,b?=1,
b?=2,b?=3,且“阶和”c=4,记数列{b的前n项和为S,则下列说法正确的是
A.b?+?=b
B.存在正整数m,使得b=0
C.存在无穷多个正整数p,使得S?=2S,
D.当B?=1b。-21,且|B的前m项和为2026时，m=3039
数学(A) 第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线y=cosx+e在x=0处的切线方程为________.
13.已知圆C的圆心在直线x+y=0上，若直线x-y-4=0与x-y-8=0被圆C所截得的弦
长均为2,则圆C的标准方程为_______.
14.已知数列a|的前n项和S。满足4S,=6+a,则S。的最小值为_____
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知直线l:x+ay-2=0.
(1)若直线I':3x-y=0与1垂直，求a的值；
(2)若直线l与抛物线y2=2x 交于A,B两点，0为坐标原点，求证：0A⊥OB.
16.(15分)
已知等差数列|a的前n项和为S,且S?=a2s=-49.
(1)求a与S;
6.-=-4..
(2)若 ,求|b。|的前n项和T。.
数学(A) 第3页(共4页)17.(15分)
如图，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，侧面ACC?A?是边长为3的正方形，D为A?B?的中点，
AD∩A?B=E,点F满足BF=2FC.
(1)求证：EF//平面ACC?A?;
(2)若BC=BA,,BA'·BA=9,求平面A?C?E与平面EFC,夹角的余弦值.
A,
C.
D
B.
E
c
A
下
Bl
18.(17分)
已知函数f(x)=lnx-2x+k√x(k∈R).
[4.2]
(1)若k=0,求f(x)在 上的最小值；
(2)讨论f(x)的零点个数；
√x+√?>?
(3)若f(x)有两个不同的零点x?,x?(x?<x?),证明：
19.(17分)
C:2+2+2=3
经过椭圆D:+=1(a>0,b>0,a≠b)的左、右顶点A,
已知曲线
A?,圆E:x2+(y-√3)2=r2(r>0)的圆心为D的一个焦点.
(1)求C,D的方程，并判断C与D的公共点个数.
(2)若r=2√3,
(i)证明：C上的点都在圆E内；
(ii)已知圆E与直线y=√3分别交于点G,H(点G在y轴左侧),点P(4√3,t)(t≠
√3),直线PG,PH分别与E交于另外一点M,N,当t变动时，证明直线GM,GN的
斜率之积为定值，且直线MN过定点.
数学(A) 第4页(共4页)高二4月数学(A)答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案 B
命题透析 本题考查导数的计算.
4+a=-4 a=-2
解析 由 f(x)=÷+a=x2+a,,得f'(x)=-2x3=-2,由f(2)=f'(2),得 ,解得
2.答案 A
命题透析 本题考查空间向量的运算.
解析 因为P,Q分别为线段AB,CD的中点，所以PA+PB=0,CQ+DQ=0,因为PQ=PA+AD+DQ,PQ=PB+
BC+CQ,两式相加，得2 PQ=AD+B?,所以PQ=D+.
3.答案 B
命题透析 本题考查等差数列的性质.
s,=19(a+ai=19a?=20a?a,所以a?=0,4y+a?o+a?n=3a?=0,所以S?=s.
解析 因为
4.答案 D
命题透析 本题考查双曲线的几何性质.
a=√1+()=2,得鲁=3,
解析 由C的离心率为2,得 ,所以C的一条渐近线的方程为y=√3x,设所求
G5-+1-2,
x=43
点的横坐标为x?(x?>0),则- ,解得
5.答案 A
命题透析 本题考查利用导数研究函数的极值与最值.
解析 由f(x)=(x2-3x+1)e?1,得f'(x)=(x2-x-2)e?1=(x+1)(x-2)e?1.令f'(x)=0,得x=-1或
x=2,当x<-1或x>2时f'(x)>0f(x)单调递增，当-1<x<2时f(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)的极小
值为f(2)=(22-3×2+1)e=-e,又当x→-∞时，f(x)→0且f(x)>0,所以f(2)=-e也是f(x)的最小值.
6.答案 C
命题透析 本题考查等比数列的前n项和公式.
解析 由题知数列a1,√a。1.(-1)”√a均为等比数列，首项分 a √a -√a? 公比分别为
—1—√9,-√G,且1-9)=A,a[1-()=B,
,设数列(-1)”√a,|的前99项和为Q,则Q=
√a?1-(-√)”√01+”
Bo==L?(-0”= =A,所以Q=
,所以
7.答案 C
命题透析 本题考查构造函数并利用导数比较大小.
解析 设f(x)=Inx-x(0<x<1),则f'(x)=->0,f(x)在(0,1)上单调递增，所以fx)<ln1-1=-1,即
x=9,得1n粤<-7,
Inx<x-1(x∈(0,1)),取 ,即a<b;设g(x)=sinx-x(x<0),则g'(x)=cos x-1≤0,
x=-一，得一今<
g(x)在(-∞,0)上单调递减，所以g(x)>sin0-0=0,所以x<sin x(x<0),取
sin(-÷)=-sin7,
,即b<c.故a<b<c.
8.答案 B
命题透析 本题考查椭圆的定义、方程.
解析 设椭圆C的左、右焦点分别为F?(-1,0),F?(1,0),由椭圆的定义得1PF?1+IPF?I=4,设Q(0,1),则
√m2+n2+2m+1+√m2+n2-2n+1+2√m2+n2-2m+1=IPF?1+IPQI+21PF?I=8+IPQI-IPF?I≤
8+IF?Q1=8+√2,当点P为线段QF?的延长线与C的交点时取等号.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
9.答案 AD
命题透析 本题考查空间向量基本定理.
解析 对于A,易得a,-b,c不共面，故A正确；
对于B,因为a-b+b-c+c-a=0,所以a-b,b-c,c-a共面，故B错误；
对于C,因为4a+3b=2(a+b)+2a+b,所以a+b,2a+b,4a+3b共面，故C错误；
对于D,假设2a-b,c-a,a+b+c共面，则存在实数x,y,使得a+b+c=x(2a-b)+y(c-a),因为a,b,c不共
面，所以 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确.
10.答案 ABC
命题透析 本题考查根据导函数的图象判断函数的性质.
—2—解析 对于A,由题图可知x∈(-2,2)时，j'(x)<0,f(x)单调递减，故A正确；
对于B,C,由题图易知f(x)在(-4,-2)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，所以当x=
-2时，f(x)取得极大值，当x=2时，f(x)取得极小值，故B,C正确；
对于D,f(x)在[-4,3]上的最大值应是f(3)与f(-2)中的较大者，故D错误
11.答案 ACD
命题透析 本题考查新定义及数列的运算.
解析 对于A,由题意知ba+3+b?=4,b?+6+ba+3=4,两式相减，得ba+6=b?,故A正确；
对于B,数列|b。|的前6项依次为1,2,3,3,2,1,结合b+6=b。可知1b|是周期为6的周期数列，其各项依次
为1,2,3,3,2,1,…,故B错误；
对于C,由对B的分析可得S??=2S?m=24n,故C正确；
对于D,易知 Ba+3=B,且|B?I的前6项依次为1,0,1,1,0,1,记|BI的前n项和为T,则T?=2n,T?039=
2026,即|B的前m项和为2026时，m=3039,故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案 x-y+2=0
命题透析 本题考查导数的几何意义.
解析 设f(x)=cosx+e2,则f'(x)=-sinx+e3,所以f(0)=2.f'(0)=1,所以所求切线方程为y-2=x-0,
即x-y+2=0.
13.答案(x-3)2+(y+3)2=3
命题透析 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 两平行直线x-y-4=0,x-y-8=0均与直线x+y=0垂直，且交点分别为A(2,-2),B(4,-4),C为
a=13+3-4=2,
AB的中点，所以C(3,-3),点C到直线x-y-4=0的距离 所以圆C的半径r=
√i2+(√2)2=√3,所以圆C的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=3.
43
14.答案
命题透析 本题考查递推数列、等比数列的性质.
解析 因为4S。=6+a,,当n=1时，4S?=6+S,得S?=2.当n≥2时，4S?=6+S。-5,即S。=--s-1+2,
3
s.-2=-3(s--2), {s.-2}是以
整理可得 ,所以数列 为首项， 为公比的等比数列，所以S,-
3=去×(-3)?',s.=3+÷×(-一)
,S.∈(3,2), ,s。=(3,3).
.当n为奇数时， ,当n为偶数时，
43
则S。的最小值为-
—3—四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题透析 本题考查两直线的位置关系和直线与抛物线的位置关系.
解析(1)由题知直线I'的斜率k′=3,…………………………………………………(1分)
k=-一
设直线l的斜率为k,则 ……………………………………………………(2分)
因为11I,所以k·K′=-1·3=-1,……………………………………………………(4分)
解得a=3.…………………………………………………………………(6分)
(2)直线l:x+ay-2=0与抛物线y2=2x的方程联立，消去x,得y2+2ay-4=0,A=4a2+16>0,…(8分)
(,).5(产，).
设 ,则y,y?=-4,………………………………………(10分)
OA·DB=(+y,y?=4-4=0,
所以
所以OA⊥OB.……………………………………………………………………………(13分)
16.命题透析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，分组、裂项相消法求和.
解析(1)设\a,|的公差为d.
,+21-
由S?=as=-49,得 ……………………………………(2分)
解得a?=-1,d=-2,……………………………………(4分)
所以a=a?+(n-1)d=-1+(n-1)×(-2)=-2n+1,……………………………………(6分)
s.=a+0.)=n(-1-2n+1)=-m2.
…………………………………………(8分)
(2)由(1)知an=-2n+1,S。=-n2,
b.=(-2n+1)(-2n-1)=1+(2n-1)(2n+1)=1+2(2--2n-+1)………………(11分)
所以
T。=n+2(1-一+方号+…2n-1-2n+1)
所以
=n+÷(1-2n+1)=2+2
…………………………………(15分)
17.命题透析 本题考查线面平行的证明和利用空间向量求两平面的夹角.
解析(1)如图，连接A?C.
战，-A=2,……………………………………(1分)
因为D为A?B?的中点，所以
因为BF=2F,所以=2.……………………………………………………………………(2分)
A,=熙C
所以 ,所以EF//A?C.……………………………………………(4分)
—4—-
---
因为EFα平面ACC?A?,A?CC平面ACC?A?,所以EF//平面ACC?A?,·……………………………·(6分)
42
A,
C.
D
B?
E
y
Ai.
C
F
B
x
(2)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AB⊥AA,
因为BC=BA?,BA=BA,AA,=AC,所以△BAC≌△BAA,,所以AB⊥AC,
所以AB,AC,A4,两两互相垂直.………………………………………………………………(7分)
因为BA,·BA=BA2=9,所以AB=3.
以A为坐标原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A,(0,0,3),C?(0,3,3),E(1,0,2),F(1,2,0),
所以EC;=(-1,3,1),EF=(0,2,-2),EA,=(-1,0,1).………………………………………………(9分)
设平面A?C?E的法向量为m=(x,y,z),
即
则
取x=1,得m=(1,0,1).…………………………………… ………………………………(11分)
设平面EFC?的法向量为n=(a,b,c),
2-2-
万-
则 即
取c=1,得n=(4,1,1).……………………………………… ……………………………………(13分)
设平面A?C?E与平面EFC?的夹角为θ,
c =1m11n-2×√18=6.
则
j6
故平面A?C?E与平面EFC?夹角的余弦值为 …………………………………(15分)
18.命题透析 本题考查利用导数研究函数的性质.
解析(1)当k=0时，(x)=ln x-2x、f'(x)=÷-2=1-2,xe(0,+∞),
—5—[云，去] [÷.2]
易知f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，………………………(2分)
又(4)-f(2)=1n4-2-(In2-4)=--3ln2>÷-3=2>0,
所以
()>(2)f(x)在[4,2]上的最小值为f(2)=ln2-4.…………………………………(5分)
k=2-1,
(2)由(x)=0,得
×-In×=21-21n
设√x=1,由题意知t>0,则
k=2-2ln
所以方程 的实根个数就是f(x)的零点个数.………………………………………………(6分)
g(1)=21-2ln,则g(z)=2-2-21n=2+2ln-2.
设
h'(4)=4v+2>0,
设h(t)=22+2lnt-2,则
所以h(t)在(0,+∞)上单调递增，又h(1)=0,
所以当te(0,1)时，h(t)<0,g'(t)<0,g(1)单调递减，
当te(1,+00)时，h(t)>0,g'(t)>0,g(t)单调递增，
所以g(t)的最小值为g(1)=2,g(t)在(0,1),(1,+∞)上的取值范围都是(2,+∞),……………(10分)
k=21-2h k=21-21n
所以k<2时，方程 没有实根，f(x)没有零点，k=2时，方程 有1个实根，f(x)有1个零
k=21-2ln
点，k>2时，方程 有2个实根，f(x)有2个零点，………………………………………(12分)
2地
214-2号+5-0
。
(3)设√x?=L?,√x?=L?,则由f(x?)=f(x?)=0,得 即
两式相减，得2(1mt?-In t)-2(?-号)+A(L?-2)=0,整理得k=2(1+t?)-2(n-22……(14分)
1?+?>2,
,即证z+?>(1+t?)-,-12,
要证
即证
二>0
1?-t?<0,<1,1n<0,
因为t?<t?,所以 ,故 ,不等式成立，
√x?+√x?>2
即 …………………………………………………………………(17分)
—6—19.命题透析 本题考查圆锥曲线综合问题.
解析(1)由题知圆E的圆心为(0,√3),其是D的一个焦点，所以b>a,且b2-a2=3.……………(1分)
2+2+y2=31
因为在曲线C的方程 中，x≠0,且C经过D的两个顶点(±a,0),
x2+2+y2=3,
所以a2+2a=3,解得a=1,故C的方程为 ,……………………(2分)
+x2=1.
则b2=a2+3=4,D的方程为 …………………………………………………(3分)
4+x2=1
将x2+2+y2=3与 联立，得3x?-x2-2=0,
即(x2-1)(3x2+2)=0,解得x=±1,
所以C与D只有2个公共点A?,A?.…………………………………………………(5分)
2+3+2=3,
(2)(i)由(1)知C的方程为
>0.
因为 所以x2+y2<3,即曲线C上的点都在圆0:x2+y2=3内，………………………(7分)
圆E是以E(0,√3)为圆心，2√3为半径的圆，
圆0与圆E的圆心距IOEI=√3=2√3-√3,两圆内切，且圆O在圆E内，………………………(9分)
所以曲线C上的点都在圆E内.…………………………………………………………(10分)
(ii)由题意，得G(-2√3,3),H(2√3,3).
61525
由P(4√3,1),得直线PG,PN的斜率分别为 ………………………………………(11分)
-2-5
易知GH为圆E的直径，则GN⊥PN,所以GN的斜率为
×(-23)=-3
所以GM,GN的斜率之积为 ,为定值. ……………………………(13分)
易知直线MIN的斜率不为零，设M(x?,y?),N(x?,y?),MN:x=my+n,
与x2+(y-√3)2=12联立，得(m2+1)y2+(2mn-2√3)y+n2-9=0,
x+y?=-2m-23一,=，m2-9
所以 ………………………(14分)
因为GM,GN的斜率之积为
—7—.+-2万5-25(m,+7+25)?5+25
所以
m》+(m+2-5m)Yy+5)→(a+2.5)
整理得3m2+n2+2√3mn+3m+√3n-6=0,
即(√3m+n+2√3)(√3m+n-√3)=0,………………………………………(16分)
因为直线x=my+n不过点G(-2√3,√3),所以√3m+n+2√3≠0,
所以√3m+n-√3=0,n=√3-√3m,代人x=my+n,得x=m(y-√3)+√3,
该直线过定点(√3,√3).…………………………………………………(17分)
—8—
