数学-湖南师大附中2025-2026学年高二下学期第一次大练习_2024-2027高二（7-7月题库）_2026年04月高二试卷_260408湖南师大附中2025-2026学年高二下学期第一次大练习

高二下学期第一次大练习
数 学
命题：曹菲菲 胡美玲 刘芸 刘伟才 审题：胡美玲
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知集合A=-1,0,2  ，B= a   a2=1   ，则 ( )
A. 0  ∈A B. A∩B=∅ C. -1  ⊆B D. B⊆A
2. 若a∈R，则“a=4”是“复数z=a2-16+a+4  i为纯虚数”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 充要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若α⎳β，m⊂α,n⊂β，则m⎳n B. 若m⊥α，m⎳n，n⊥β，则α⎳β
C. 若α⊥β，m⊥α，则m⎳β D. 若m⊥α，m⎳n，n⎳β，则α⎳β
4. 在x-2  5 的展开式中，x2的系数为 ( )
A. -40 B. 40 C. -80 D. 80
5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是 ( )
A. μ >μ ，σ >σ B. μ >μ ，σ <σ C. μ <μ ，σ >σ D. μ <μ ，σ <σ
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6. 已知点P在抛物线C:x2=4y上，点P到C的焦点的距离与到直线y=-4的距离之比为t，则t的取
值范围是 ( )
1
A. 0,
4

1
B. 0,
2

1
C.   ,1
 4

1
D.   ,1
 2

7. 已知sinα+β  =2sinαsinβ，tanαtanβ=-2，则tanα+β  = ( )
4 4
A. - B. C. -2 D. 2
3 3
8. 已知数列a
n
 是各项为正数的等比数列，公比为q，在a ，a 之间插入1个数，使这3个数成等差数
1 2
列，记公差为d ，在a ，a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d ，⋯，在a ，a 之间插
1 2 3 2 n n+1
·1·入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为d ，以下能使得数列d
n n
 单调递增的是 ( )
3
A. q>1 B. 1<q< C. d <d D. d <d
2 1 2 2 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某市气象部门对本市的温度x(单位：℃)与相对湿度y%进行研究，记录了五组数据如表所示：
温度x 28 25 22 19 16
相对湿度y% 41 48 62 65 70
 
已知y与x线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为y=bx+112.2，则 ( )
A. y与x负相关 B. 经验回归直线一定经过点25,48 
C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数r>0
10. 已知函数 fx  及其导函数 fx  的定义域均为R，记gx  = fx  ，且 fx  - f-x  =2x，gx  +
g2-x  =0，则 ( )
A. g1 
fx
=0 B. y=

的图象关于点0,1
x
 中心对称
C. fx  +f2-x 
k=1
=0 D. ∑gk
100
 =-4950
1
11. 如图，在梯形ABCD中，BC⎳AD，AB=BC=CD= AD=4，E为AD的中点，将△ABE沿BE
2
折起到△A BE的位置，下列说法中正确的是 ( )
1
A. 在线段BE上存在点F，使BE⊥平面A CF
1
B. 点C到平面A BE 距离的最大值为3 2
1
80
C. 当三棱锥A -EBC外接球的表面积为 π时，平面A BE⊥平面BCDE
1 3 1
5 30
D. 当平面A BE⊥平面BCDE时，四棱锥A -BCDE的过BE的截面面积的最小值为
1 1 4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则
向上的点数之和是8的概率为 .
13. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，
圆D(后轮)的半径均为 3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上
·2· 
的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC⋅AP的最大值为 .
x2 y2
14. 双曲线 - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F ,F ，以右焦点F 为焦点的抛物线y2= 1 2 2
2pxp>0  与双曲线交于第一象限的点P，若PF 1  +PF 2  =3FF 1 2  ，则双曲线的离心率e= .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程
A
15. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3,bcos -asinB=0．
2
(1)求A；
3 3
(2)在AB边上存在一点E，使得AE=2EB，连接CE，若△ACE的面积为 ,∠BAC的平分线交
2
CF
CE于F点，求 的值．
FE
x2 y2
16. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点2,1
a2 b2

3
，且离心率为
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过原点的直线l 与椭圆C交于P、Q两点，且在直线l :x-y+2 6=0上存在点M，使得
1 2
△MPQ为等边三角形，求直线l 的方程.
1
17. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的
1
离 散 曲 率 为 Φ P = 1 - 2π ∠Q 1 PQ 2 +∠Q 2 PQ 3 +⋯+∠Q k-1 PQ k +∠Q k PQ 1  ，其 中
Q i=1,2,⋯,k,k≥3 i  为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面Q PQ ，平面Q PQ ，⋯，平面 1 2 2 3
Q PQ 为多面体M的所有以P为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥P-ABC．
k 1
·3·(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
3
(2)若PA⊥平面ABC，AC⊥BC,AC=BC=2，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为 ．
8
30
问：棱PB上是否存在一点Q，使得直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为 ？若存在，求BQ
6
的长度；若不存在，请说明理由．
18. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如
果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重
复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 X n ，X n 的数学期望记为 EX n  ．
(1)求随机变量X 的分布列；
1
(2)设PX n =4+k  =p k=0,1,2 k  ，用含p k=0,1,2 k  的式子表示 EX n+1  ；
(3)求 EX n  ．
19. 设a为实数，函数 fx 
π
=asinx+tanx；0≤x< ．
2
(1)当a=-8时，分析f(x)的单调性；
(2)若a=0，证明：f(x)>3x-2；
π
(3)若任意满足a+b≥M的非负实数a,b,f(x)+b≥3x对 0≤x< 恒成立，求 M的最小值．
2
·4·高二下学期第一次大练习
数 学
命题：曹菲菲 胡美玲 刘芸 刘伟才 审题：胡美玲
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知集合A=-1,0,2  ，B= a   a2=1   ，则 ( )
A. 0  ∈A B. A∩B=∅ C. -1  ⊆B D. B⊆A
【答案】C
【详解】B= a   a2=1   =-1,1  ，
故0  ⊆A，A∩B=-1  ，-1  ⊆B，B不是A的子集，C正确，ABD错误.
故选：C
2. 若a∈R，则“a=4”是“复数z=a2-16+a+4  i为纯虚数”的 ( )
A. 充分非必要条件 B. 充要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【详解】若复数z=a2-16+a+4 
a2-16=0
i为纯虚数，则  ，解得a=4，
a+4≠0
所以“a=4”是“复数z=a2-16+a+4  i为纯虚数”的充要条件.
故选：B
3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A. 若α⎳β，m⊂α,n⊂β，则m⎳n B. 若m⊥α，m⎳n，n⊥β，则α⎳β
C. 若α⊥β，m⊥α，则m⎳β D. 若m⊥α，m⎳n，n⎳β，则α⎳β
【答案】B
【详解】对于A. 若α⎳β，m⊂α,n⊂β，则m与n平行或异面，故A错误；
对于B. 若m⊥α，m⎳n，n⊥β，则m⊥β，故α⎳β，故B正确；
对于C. 若α⊥β，m⊥α，则m⎳β或m⊂β，故C错误；
对于D. 若m⊂β，又m⊥α，根据面面垂直的判定，即有α⊥β，
若m⊄β，由于m⎳n，n⎳β，则m⎳β，过m任作一个面，使其和β相交于直线c，
根据线面平行的性质定理，m⎳c，又m⊥α则c⊥α，结合c⊂β，即α⊥β，故D错误..
4. 在x-2  5 的展开式中，x2的系数为 ( )
·1·A. -40 B. 40 C. -80 D. 80
【答案】C
【详解】x-2  5展开式中含x2的项为：C 5 3x2-2  3=-80x2，
所以x2的系数为-80.
5. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是 ( )
A. μ >μ ，σ >σ B. μ >μ ，σ <σ C. μ <μ ，σ >σ D. μ <μ ，σ <σ
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】C
【详解】令ξ ∼N(μ ,σ2),ξ ∼N(μ ,σ2)对应的正态密度函数分别为f(x),g(x)，
1 1 1 2 2 2
1 1
则函数f(x),g(x)图象的对称轴分别为x=μ ,x=μ ，且f(x) = ,g(x) = ，
1 2 max max
σ 2π σ 2π
1 2
1 1
观察图象，得μ <μ ， < ，所以μ <μ ，σ >σ .
1 2 1 2 1 2
σ 2π σ 2π
1 2
故选：C
6. 已知点P在抛物线C:x2=4y上，点P到C的焦点的距离与到直线y=-4的距离之比为t，则t的取
值范围是 ( )
1
A. 0,
4

1
B. 0,
2

1
C.   ,1
 4

1
D.   ,1
 2

【答案】C
【详解】设Px 0 ,y 0  y 0 ≥0  ,C的焦点为F，
则PF  =y +1，
0
PF 则t=  y +1 3 1 = 0 =1- ∈  ,1
y +4 y +4 y +4  4
0 0 0
 .
故选：C.
7. 已知sinα+β  =2sinαsinβ，tanαtanβ=-2，则tanα+β  = ( )
4 4
A. - B. C. -2 D. 2
3 3
【答案】A
详解】由sin(α+β)=2sinαsinβ，得sinαcosβ+sinβcosα=2sinαsinβ，
1 1
等式两边同时除以sinαsinβ，得 + =2，
tanβ tanα
tanα+tanβ
即 =2，又tanαtanβ=-2，所以tanα+tanβ=-4，
tanαtanβ
tanα+tanβ 4
所以tan(α+β)= =- .
1-tanαtanβ 3
故选：A
·2·8. 已知数列a
n
 是各项为正数的等比数列，公比为q，在a ，a 之间插入1个数，使这3个数成等差数
1 2
列，记公差为d ，在a ，a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为d ，⋯，在a ，a 之间插
1 2 3 2 n n+1
入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差为d ，以下能使得数列d
n n
 单调递增的是 ( )
3
A. q>1 B. 1<q< C. d <d D. d <d
2 1 2 2 3
【答案】C
【详解】对于A，数列a
n
 是各项为正数的等比数列，则q>0,a >0，由题意，a =a +(n+1)d ，
n n+1 n n
a -a a (q-1)
则d = n+1 n = n .
n n+1 n+1
d a (q-1) n+1 q(n+1) 5 d 5 4
当q>1时，d >0，由 n+1 = n+1 × = ，若取q= ，则 4 = × =1，
n d n+2 a (q-1) n+2 4 d 4 5
n n 3
即d =d ，即此时不能使数列d
4 3 n
 单调递增，故A错误；
d q(n+1)
对于B，当q>1时，d >0， n+1 = ，则数列d
n d n+2 n
n

q(n+1)
单调递增，等价于 >1，
n+2
n+2 n+2 1 3
即q> 对任意n∈N∗恒成立.因为当n∈N∗时，函数y= =1+ 的最大值为 ，所
n+1 n+1 n+1 2
3
以q> ，故B错误；
2
a (q-1) a q(q-1)
对于C，当d <d 时， 1 < 1 ，因a >0，则化简得(2q-3)(q-1)>0，解得0<q<
1 2 2 3 n
3
1或q> .
2
d q(n+1)
当0<q<1时，d <0，因 n+1 = <1，则得d >d ，即数列d
n d n+2 n+1 n n
n

3
单调递增；当q> 时，
2
由B项知，数列d
n
 单调递增，故C正确；
a q(q-1) a q2(q-1) 4
对于D，当d <d 时， 1 < 1 ，化简得(3q-4)(q-1)>0，解得0<q<1或q> .
2 3 3 4 3
4 7 d 7 2 14
对于q> 时，若取q= ，则 2 = × = <1，则得d <d ，即此时不能使数列d
3 5 d 5 3 15 2 1 n
1
 单调递
增，故D错误.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某市气象部门对本市的温度x(单位：℃)与相对湿度y%进行研究，记录了五组数据如表所示：
温度x 28 25 22 19 16
相对湿度y% 41 48 62 65 70
 
已知y与x线性相关，根据表中的数据计算得经验回归方程为y=bx+112.2，则 ( )
A. y与x负相关 B. 经验回归直线一定经过点25,48 
C. 当温度为10℃时，相对湿度大约为87.2% D. 样本相关系数r>0
【答案】AC
【详解】A.由表格可知，温度x越小，y越大，所以y与x负相关，故A正确；
 28+25+22+19+16  41+48+62+65+70
B.x= =22，y= =57.2，所以经验回归直线一定经过点
5 5
·3·22,57.2  ，故B错误；
   
C.57.2=22b+112.2，得b=-2.5，所以y=-2.5x+112.2，当x=10时，y=87.2，
所以当温度为10°C时，相对湿度大约为87.2%，故C正确；
D.因为y与x负相关，所以样本相关系数r<0，故D错误.
10. 已知函数 fx  及其导函数 fx  的定义域均为R，记gx  = fx  ，且 fx  - f-x  =2x，gx  +
g2-x  =0，则 ( )
A. g1 
fx
=0 B. y=

的图象关于点0,1
x
 中心对称
C. fx  +f2-x 
k=1
=0 D. ∑gk
100
 =-4950
【答案】ABD
【详解】对于A，因为gx  +g2-x  =0，
令x=1，得g1  =0，故A正确；
对于B，因为fx  -f-x  =2x，
f(x) f(-x)
当x≠0时， + =2，
x -x
f(x)
所以y= 的图象关于点0,1
x
 对称，故B正确；
对于C，假设f(x)+f(2-x)=0成立，
求导得f(x)-f(2-x)=0，
即g(x)-g(2-x)=0，又g(x)+g(2-x)=0，
所以g(x)=0，令x=0，得g0  =0，
因为fx  -f-x  =2x，
所以f(x)+f(-x)=2，即g(x)+g(-x)=2，
令x=0，得g(0)=1，
所以g0  =0与g(0)=1矛盾，故C错误；
对于D，因为g(x)+g(-x)=2，g(x)+g(2-x)=0，
所以g(2-x)-g(-x)=-2，g(0)=1，g1  =0，g2  =-1，
所以有g(n+2)-g(n)=-2,n∈N*，
所以数列g(n)  的奇数项是以0为首项，-2为公差的等差数列，
数列g(n)  的偶数项是以-1为首项，-2为公差的等差数列，
又g2  -g1  =-1，n∈N*，
所以数列g(n)  是以0为首项，-1为公差的等差数列，
所以g(n)=1-n，
100
所以 ∑g(k)=0+-1
k=1
 +-2  +···+-99 
0-99
=
 ×100
=-4950，故D正确．
2
1
11. 如图，在梯形ABCD中，BC⎳AD，AB=BC=CD= AD=4，E为AD的中点，将△ABE沿BE
2
折起到△A BE的位置，下列说法中正确的是 ( )
1
·4·A. 在线段BE上存在点F，使BE⊥平面A CF
1
B. 点C到平面A BE 距离的最大值为3 2
1
80
C. 当三棱锥A -EBC外接球的表面积为 π时，平面A BE⊥平面BCDE
1 3 1
5 30
D. 当平面A BE⊥平面BCDE时，四棱锥A -BCDE的过BE的截面面积的最小值为
1 1 4
【答案】ACD
1
【详解】在梯形ABCD中，BC⎳AD，AB=BC=CD= AD=4，E为AD的中点，连接AC,CE，
2
如图：
则四边形BCDE、四边形ABCE均为平行四边形，则BE⎳CD，且BE=CD=AB，
△ABE为等边三角形，∠BAD=60°，▱ABCE和▱BCDE均为菱形，
于是BE⊥AC，CD⊥AC，设AC与BE交于点O，则OA=OC=2 3，
对于A，翻折后BE⊥A O，BE⊥OC，如图：
1
又A O∩OC=O,A O,OC⊂平面A OC，则BE⊥平面A OC，
1 1 1 1
因此在线段BE上存在点F(即点O)，使BE⊥平面A CF，A正确；
1
对于B，由BE⊥平面A OC，BE⊂平面A BE，得平面A OC⊥平面A BE，
1 1 1 1
则△A OC边A O上的高d是点C到平面A BE的距离，而d≤CO=2 3，
1 1 1
因此点C到平面A BE的距离的最大值为2 3，B错误；
1
80 20
对于C，设三棱锥A -EBC外接球的半径为R，其表面积4πR2= π，得R2= ，
1 3 3
设等边△CBE，等边△A BE外接圆圆心分别为O ,O ，令外接球球心为M，
1 1 2
则MO ⊥平面BCE，MO ⊥平面A BE，连接MB，BO ，如图：
1 2 1 1
·5·2 4 3 1 2 3 20
BO = OC= ，OO =OO = OC= ，R2=MB2=BO2+MO2= ，
1 3 3 1 2 3 3 1 1 3
2 3 2 3
得MO = ，同理得MO = ，即MO =OO =OO =MO ，因此四边形MO OO 是菱形，
1 3 2 3 1 1 2 2 1 2
AO⎳MO ，AO⊥平面BCDE，而AO⊂平面A BE，则平面A BE⊥平面BCDE，C正确；
1 1 1
对于D，设四棱锥A -BCDE的过BE的截面与A D交于点P，与A C交于点Q，连接OQ，如图：
1 1 1
由BE⎳CD，BE⊄平面A CD，CD⊂平面A CD，得BE⎳平面A CD，
1 1 1
又BE⊂平面BEPQ，平面BEPQ∩平面A CD=PQ，则BE⎳PQ，又BE≠PQ，
1
因此四边形BEPQ为梯形，而BE⊥平面A OC，OQ⊂平面A OC，则BE⊥OQ，
1 1
即OQ为梯形BEPQ的高，当平面A BE⊥平面BCDE时，∠A OC=90°，则A C=2 6，
1 1 1
且 ∠ OA C = 45 ° ，设 A Q = x ( 0 < x < 2 6 ) ，在 △ A OQ 中 ，OQ =
1 1 1
A Q2+A Q2-2A O⋅A Q⋅cos∠OA C
1 1 1 1 1
A Q 4x 2x
= x2-2 6x+12，由△A PQ∽△A DC，得PQ= 1 ⋅CD= = ，则S
1 1 A C 2 6 6 BEPQ
1
1 1 2x
= (PQ+BE)⋅OQ=  +4
2 2 6

1
x2-2 6x+12= ⋅ (x+2 6)2(x2-2 6x+12)，
6
设f(x)=(x+2 6)2(x2-2 6x+12)，求导得fx 
6
=4x(x+2 6)x-
2
 ，
6
当x∈0,
2

6
时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x∈ ,2 6
2
 时，f(x)>0，f(x)单调递增，
6 6
则当x= 时，f(x) =f
2 min 2

1125 1 6
= ，(S ) = ⋅ f
4 BEPQ min 6 2

5 30
= ，
4
3 5 30 5 30
而S = AB2=4 3> ，S =2S =8 3，因此截面面积的最小值为 ，D正
△A 1 BE 4 4 BCDE △BCE 4
确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则
向上的点数之和是8的概率为 .
5
【答案】
36
·6·【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对x,y  ，则共有6×6=36个基本事件，
其中向上点数之和为8的情况有2,6  ,(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)，共5种，
5
所以满足条件的概率为 .
36
5
故答案为： .
36
13. 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，
圆D(后轮)的半径均为 3，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上
 
的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC⋅AP的最大值为 .
【答案】60
【详解】方法一：以点D为坐标原点，DA为x轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A-8,0  ，C-2,2 3  ，
点P在以D为圆心， 3为半径的圆上，可设P 3cosθ, 3sinθ  ，

∴AC=6,2 3 

，AP= 3cosθ+8, 3sinθ  ，
 
π
∴AC⋅AP=6 3cosθ+6sinθ+48=12sinθ+
3
 +48，
π
则当sinθ+
3

 
=1时，AC⋅AP取得最大值12+48=60.
    
方法二：AC⋅AP=AC⋅AD+DP 
    
=AC⋅AD+AC⋅DP=AC 

2 +AC 

⋅DP 
 
cos<AC,DP>
=4 3 
   
2+4 3× 3cos<AC,DP>=48+12cos<AC,DP>，
     
则当AC与DP同向，即cos<AC,DP>=1时，AC⋅AP取得最大值为12+48=60.
x2 y2
14. 双曲线 - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F ,F ，以右焦点F 为焦点的抛物线y2= 1 2 2
2pxp>0  与双曲线交于第一象限的点P，若PF 1  +PF 2  =3FF 1 2  ，则双曲线的离心率e= .
【答案】2
p
【详解】根据题意可设F ,0 2 2  ，双曲线的半焦距为c，Px 0 ,y 0  ，则p=2c，
过F 作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF 为抛物线的准线，
1 1
·7·则PA  =PF
2
 ，
PF 由双曲线的定义及已知条件可知 1  -PF 2  =2a
PF
1
 +PF
2

 ，则 PF 1

=6c
 =3c+a
PF
2
 =3c-a=PA 
 ，

由勾股定理可知AF
1
 2=y2=PF
0 1
 2-PA  2=12ac，
x2 y2 9a2 12ac
易知y2=4cx ,∴x =3a，即 0 - 0 = - =1，
0 0 0 a2 b2 a2 c2-a2
整理得2c2-3ac-2a2=0,∴2c+a  c-2a  =0，
c
∴c=2a，即离心率为e= =2.
a
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程
A
15. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=3,bcos -asinB=0．
2
(1)求A；
3 3
(2)在AB边上存在一点E，使得AE=2EB，连接CE，若△ACE的面积为 ,∠BAC的平分线交
2
CF
CE于F点，求 的值．
FE
π 3
【答案】(1) (2)
3 2
【解析】
【小问1详解】
A A
由bcos -asinB=0及正弦定理得sinBcos -sinAsinB=0，
2 2
A A A
又sinB≠0，所以cos -2sin cos =0，
2 2 2
因为A∈0,π 
A π
，所以 ∈0,
2 2

A A 1
，所以cos ≠0,sin = ，
2 2 2
A π π
所以 = ,A=
2 6 3
【小问2详解】
3 3 3 9 3
因为AE=2EB，S = ，所以S = S = ，
△ACE 2 △ABC 2 △ACE 4
1 π 9 3
则S = bcsin = ，
△ABC 2 3 4
所以bc=9，
又由余弦定理得b2+c2-a2=bc，可得b2+c2=18，
联立方程解得b=c=3，
·8·CF CA 3
由角平线定理得 = =
FE AE 2
x2 y2
16. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点2,1
a2 b2

3
，且离心率为
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过原点的直线l 与椭圆C交于P、Q两点，且在直线l :x-y+2 6=0上存在点M，使得
1 2
△MPQ为等边三角形，求直线l 的方程.
1
x2 y2 2
【答案】(1) + =1；(2)方程 y=0或y= x.
8 2 3
4 1
 + =1
 a2 b2
x2 y2
【详解】(1)由题 c 3 ，解得a=2 2，b= 2，c= 6，∴椭圆C的方程为 + =1
e= =
 a 2 8 2

a2=b2+c2
(2)由题，当l 的斜率不存在k=0时，此时PQ
1
 =2 2，直线l :x-y+2 6=0与x轴的交点
2
-2 6,0  ，不满足题意；
当l 的斜率存在时，设直线l :y=kx，
1 1
y=kx

与椭圆联立x2 y2 得1+4k2
+ =1
8 2

8
x2=8，x2= ，
1+4k2
设Px 0 ,y 0  ，则Q-x 0 ,-y 0 
8 8k2
，∴x2= ,y2= ,∴PO 0 1+4k2 0 1+4k2 
81+k2
= x2+y2= 0 0

， 1+4k2
又PQ的垂直平分线方程为y=- 1 x，由   y=- k 1 x ，解得   x=- 2 k+ 6 1 k ，
k x-y+2 6=0 y= 2 6
k+1
2 6k 2 6
∴M- ,
k+1 k+1
 ，∴MO 
24k2+1
=

k+1 
，∵△MPQ为等边三角形，
2
∴MO  = 3PO 
24k2+1
，即

k+1 
81+k2
= 3
2

，
1+4k2
2 2
解得k=0或k= ，∴直线l 的方程为y= x或y=0；
3 1 3
2
综上可知，直线l 的方程为y=0或y= x.
1 3
17. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的
1
离 散 曲 率 为 Φ P = 1 - 2π ∠Q 1 PQ 2 +∠Q 2 PQ 3 +⋯+∠Q k-1 PQ k +∠Q k PQ 1  ，其 中
Q i=1,2,⋯,k,k≥3 i  为多面体M的所有与P相邻的顶点，且平面Q PQ ，平面Q PQ ，⋯，平面 1 2 2 3
Q PQ 为多面体M的所有以P为公共点的面．现给出如图所示的三棱锥P-ABC．
k 1
·9·(1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和；
3
(2)若PA⊥平面ABC，AC⊥BC,AC=BC=2，三棱锥P-ABC在顶点C处的离散曲率为 ．
8
30
问：棱PB上是否存在一点Q，使得直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为 ？若存在，求BQ
6
的长度；若不存在，请说明理由．
2 3
【答案】(1)2 (2)存在，BQ= .
3
【解析】
【小问1详解】
1
根据离散曲率的定义得Φ =1- ∠APB+∠BPC+∠APC
P 2π
 ，
1
Φ =1- ∠PAB+∠BAC+∠PAC
A 2π

1
,Φ =1- ∠PBA+∠ABC+∠PBC
B 2π
 ，
1
Φ =1- ∠PCA+∠BCA+∠PCB
C 2π

又因为∠APB+∠BPC+∠APC+∠PAB+∠BAC+∠PAC+∠PBA+∠ABC+∠PBC
+∠PCA+∠BCA+∠PCB=4π
1
所以Φ +Φ +Φ +Φ =4- ×4π=2．
P A B C 2π
【小问2详解】
∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC,PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC,
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，
1
∵Φ =1- ∠PCA+∠BCA+∠PCB
C 2π

3 1 π π
= ，即1- ∠PCA+ +
8 2π 2 2

3
=
8
π
∴∠PCA= ，∴PA=AC=BC=2，
4
过点Q作QG⎳PA交AB于G，连接CG，
·10·因为PA⊥平面ABC，所以QG⊥平面ABC，
所以∠GCQ为直线CQ与平面ABC所成的角，
30
假设棱PB上存在点Q，使得直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为 ，
6
30
则cos∠QCG= ，
6
设BQ=x(0<x≤2 3)，
依题意可得，PA=2,AB= AC2+BC2= 22+22=2 2，
PB= PA2+AB2= 22+2 2 
PA 3
2=2 3，sin∠PBA= =
PB 3
AB 6
cos∠PBA= = ，
PB 3
3 6
由假设可得QG=BQsin∠PBA= x,BG=BQ⋅cos∠PBA= x，
3 3
在△BCG中，
2 6 2 2 4 3
CG= BC2+BG2-2BC⋅BG⋅cos∠CBG = 4+ x2-2×2⋅ x⋅ = 4+ x2- x，
3 3 2 3 3
30 6
又cos∠GCQ= ，所以sin∠GCQ= 1-cos2∠GCQ= ，
6 6
sin∠GCQ 5
则tan∠GCQ= = ，
cos∠GCQ 5
3
QG 3 x 5
所以tan∠GCQ= = = ，
CG 4+ 2 x2- 4 3 x 5
3 3
2 3
解得：x= 或x=-2 3(舍)
3
2 3 1
即BQ= ，故BQ= BP，
3 3
30
所以点Q为线段PB的靠近点B的三等分点时，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为 ，此
6
2 3
时BQ= .
3
18. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如
果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重
复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 X n ，X n 的数学期望记为 EX n  ．
(1)求随机变量X 的分布列；
1
·11·(2)设PX n =4+k  =p k=0,1,2 k  ，用含p k=0,1,2 k  的式子表示 EX n+1  ；
(3)求 EX n  ．
【答案】(1)
X 4 5
1
2 1
P
3 3
(2)EX n+1 
13 31
= 3 p 0 + 6 p 1 +6p 2 (3)EX n 
5
=6-2× 6 
n
【解析】
【小问1详解】
根据题意X 的可能取值为4,5，
1
X 1 =4即一次摸球摸到白球，PX 1 =4 
4 2
= = ， 6 3
X 1 =5即一次摸球摸到黑球，PX 1 =5 
2 1
= = ， 6 3
所以X 的分布列为
1
X 4 5
1
2 1
P
3 3
【小问2详解】设第n次摸球摸到黑球为事件A ，X 的取值可能为4，5，6，
n n+1
则PX n+1 =4  =PX n =4 

PA ∣X =4 n+1 n 
4 2
=p × = p ， 0 6 3 0
PX n+1 =5  =PX n =4  PA n+1 ∣X n =4  +PX n =5 

PA ∣X =5 n+1 n 
2 5 1 5
=p × +p × = p + p ，
0 6 1 6 3 0 6 1
PX n+1 =6  =PX n =5  PA n+1 ∣X n =5  +PX n =6 

PA ∣X =6 n+1 n 
1 1
=p × +p ×1= p +p ，
1 6 2 6 1 2
所以EX n+1 
2 1 5
=4× p +5× p + p 3 0 3 0 6 1 
1
+6× p +p 6 1 2 
13 31
= p + p +6p ． 3 0 6 1 2
【小问3详解】
由(2)及p 0 +p 1 +p 2 =1,EX n  =4p +5p +6p 得， 0 1 2
EX n+1 
13 31 5
= 3 p 0 + 6 p 1 +6p 2 = 6 4p 0 +5p 1 +6p 2  +p 0 +p 1 +p 2 
5
= 6 EX n  +1，
所以EX n+1 
5
-6= 6 EX n   -6  ，又EX 1 
2 1 5
-6=4× +5× -6=- ， 3 3 3
所以 EX n   -6 
5 5
是以- 为首项， 为公比的等比数列， 3 6
所以EX n 
5 5
-6=- × 3 6 
n-1
，即EX n 
5
=6-2× 6 
n
.
19. 设a为实数，函数 fx 
π
=asinx+tanx；0≤x< ．
2
(1)当a=-8时，分析f(x)的单调性；
(2)若a=0，证明：f(x)>3x-2；
·12·π
(3)若任意满足a+b≥M的非负实数a,b,f(x)+b≥3x对 0≤x< 恒成立，求 M的最小值．
2
π
【答案】(1)f(x)在 0,
 3

π π
上单调递减，在 ,
3 2
 上单调递增.
(2)证明见解析 (3)2
【解析】
【小问1详解】
当a=-8时, fx 
π
=-8sinx+tanx,0≤x< ，
2
则fx 
sinx
=-8cosx+
cosx

 1 1-8cos3x
=-8cosx+ =
cos2x cos2x
1-2cosx
=
 1+2cosx+4cos2x 
，
cos2x
π
由于0≤x< ,∴cosx>0，则1+2cosx+4cos2x>0，
2
π 1
故当0≤x< 时，cosx> ，f(x)<0，f(x)单调递减，
3 2
π π 1
当 <x< 时，cosx< ，f(x)>0，f(x)单调递增，
3 2 2
π
故f(x)在 0,
 3

π π
上单调递减，在 ,
3 2
 上单调递增.
【小问2详解】
当a=0时，fx 
π
=tanx,0≤x< ，
2
令 g x 
π
= tanx - 3 x + 2 , x ∈  0,
 2
 ，可 得 g x 
1 1-3cos2x
= - 3 = =
cos2x cos2x
1+ 3cosx  1- 3cosx 
，
cos2x
令gx 
3 3
=0，即1- 3cosx=0，解得cosx= ，设cosx = ， 3 0 3
当0≤x<x 0 时，g(x)<0，g(x) 0,x 0  上单调递减，
π π
当x <x< 时，g(x)>0，g(x)在x ,
0 2 0 2
 上单调递增，
故g(x)的最小值为g(x )=tanx -3x +2，
0 0 0
3 π
由于cosx = ，x ∈ 0,
0 3 0  2

1-cos2x π
，则tanx = 0 = 2< 3，则x < ，
0 cosx 0 3
0
π
故g(x )> 2-3× +2= 2-π+2>0，
0 3
故gx 
π
>0，即tanx-3x+2>0,x∈ 0,
 2
 ，即f(x)>3x-2；
【小问3详解】
π
由题意知任意满足a+b≥M的非负实数a,b,asinx+tanx+b≥3x对 0≤x< 恒成立，
2
即有b≥M-a，则asinx+tanx+b≥asinx+tanx+M-a，
即对任意的a∈0,M

，需a(sinx-1)+(tanx+M-3x)≥0恒成立，
由于sinx-1<0，故令φa  =a(sinx-1)+(tanx+M-3x)，
则φa  在a∈0,M  时单调递减，则φa  =φM
min
 =Msinx+(tanx-3x)，
故只需φM  ≥0，即Msinx+(tanx-3x)≥0，
·13·令Gx 
π
=Msinx+(tanx-3x)，0≤x< ，
2
Gx 
1 1+Mcos3x-3cos2x
= +Mcosx-3= ,
cos2x cos2x
当M=2时，1+2cos3x-3cos2x=cosx-1  2 2cosx+1  ≥0，
此时Gx  ≥0，Gx 
π
在 0,
 2
 上单调递增，则Gx  ≥G0  =0，Msinx+(tanx-3x)≥0成立；
当M>2时，显然Gx  =Msinx+(tanx-3x)>2sinx+(tanx-3x)≥0；
若M<2，则计算G(0)=1+M-3=M-2<0，
即当x→0时，Gx  <G0  =0，不符合题意；
故M的最小值为2.
·14·